Siły bezwładności w ruchu po okręgu Sylwester Aleksander Kalinowski II LO Elbląg, 2005 Ruch ciała może być obserwowany względem różnych układów odniesienia i ten sam ruch może zostać sklasyfikowany różnie przez różnych obserwatorów. Newton sformułował zasady dynamiki dla Inercjalnego Układu Odniesienia (IUO), tzn. dla układu związanego z gwiazdami, które uważał za nieruchome. Tak określony układ odniesienia jest, dla zjawisk przebiegających na Ziemi, z dobrym przybliżeniem nieruchomy. W naszych rozważaniach wystarczy, gdy przyjmiemy że Ziemia jest IUO. Każdy układ odniesienia poruszający się z przyspieszeniem względem IUO jest Nieinercjalnym Układem Odniesienia (NUO).

IUO N -N Kamień wirujący na sznurku po okręgu pod wpływem napięcia nici N Kamień a) Ręka Rozpatrzmy względem IUO kilka charakterystycznych ruchów po okręgu. Interesować nas będą siły działające na ciała. Na rysunku a) przedstawiono kamień przymocowany do sznurka i wirujący po okręgu w płaszczyźnie poziomej. Do kamienia jest przyłożona siła napięcia sznurka N (jej źródłem jest ręka chłopca – sznurek jest tylko "przekaźnikiem" tej siły). Siła N powoduje ruch kamienia po okręgu. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, kamień reagując przykłada do ręki chłopca siłę -N.

IUO Księżyc Fg -Fg a) Ręka -N N Ziemia b) Kamień Kamień wirujący na sznurku po okręgu pod wpływem napięcia nici N Księżyc poruszający się po okręgu wokół Ziemi pod wpływem siły grawitacji Fg Na rysunku b) przedstawiono Ziemię i poruszający się wokół niej po okręgu (w przybliżeniu) Księżyc. Ziemia przykłada do Księżyca siłę grawitacji Fg a Księżyc do Ziemi siłę –Fg (trzecia zasada dynamiki). Ruch Księżyca wokół Ziemi po okręgu odbywa się pod wpływem siły Fg.

IUO Księżyc Fg -Fg a) Ręka -N N Ziemia b) Kamień Kamień wirujący na sznurku po okręgu pod wpływem napięcia nici N Księżyc poruszający się po okręgu wokół Ziemi pod wpływem siły grawitacji Fg Elektron - Fel -Fel + Na rysunku c) przedstawiony jest elektron w atomie wodoru poruszający się po okręgu wokół jądra pod wpływem siły elektrycznej Fel. Elektron do jądra przykłada siłę –Fel (trzecia zasada dynamiki). Proton c) Elektron w atomie wodoru poruszający się po okręgu wokół jądra pod wpływem siły elektrycznej Fel

IUO Księżyc Fg -Fg a) Ręka -N N Ziemia b) Kamień Kamień wirujący na sznurku po okręgu pod wpływem napięcia nici N Księżyc poruszający się po okręgu wokół Ziemi pod wpływem siły grawitacji Fg Elektron - Fel -Fel Moneta Płyta gramofonu T + Na rysunku d) moneta leżąca na obracającej się płycie gramofonowej podlega działaniu siły tarcia T a płyta gramofonowa sile –T (trzecia zasada dynamiki). Ruch monety po okręgu odbywa się pod wpływem siły T. Z powyższych rysunków wynika, że siły działające na ciała poruszające się po okręgu (N, Fg, Fel, T) są skierowane wzdłuż promienia do środka okręgu, po którym porusza się ciało. Wydaje się naturalnym nazywać je siłami dośrodkowymi. Z rysunków tych wynika również, że siły działające na ciała centralne (-N, -Fg, -Fel, -T) są skierowane wzdłuż promienia od środka okręgu, po którym porusza się ciało. Wydaje się również naturalnym nazywać je siłami odśrodkowymi. Proton -T c) d) Elektron w atomie wodoru poruszający się po okręgu wokół jądra pod wpływem siły elektrycznej Fel Moneta na płycie gramofonu poruszająca się pod wpływem siły tarcia T

W IUO występują: Siła dośrodkowa Fd działająca na ciało poruszające się po okręgu (N, Fg, Fel,, T) Siła odśrodkowa Fo działająca na ciało centralne (-N, -Fg, -Fel, -T) Podsumowując dotychczasowe rozważania przyjmujemy, że W IUO występują: siła dośrodkowa Fd - działająca na ciało poruszające się po okręgu i siła odśrodkowa Fo - działająca na ciało centralne.

Rozpatrzymy zachowanie się ciała znajdującego się w wagonie poruszającym się po prostoliniowym torze, który przechodzi w łuk okręgu. Analizy sił dokonamy względem IUO i NUO. Kolejne rysunki będą przedstawiały spojrzenie na wagon z góry. Względem IUO Niech wagon porusza się jednostajnie po prostoliniowym torze a wszystkie siły działające na ciało, znajdujące się przy jednej ścianie, niech się równoważą. Na prostoliniowym odcinku toru ciało nie zmienia swojego położenia względem ścian wagonu (położenie I). Jest to zgodne z pierwszą zasadą dynamiki. IUO I

Względem IUO Jeśli ciało może ślizgać się po podłodze wagonu bez tarcia, to mimo, że przed położeniem II wagon zaczął skręcać w prawo, to ono w dalszym ciągu trwa w ruchu jednostajnym prostoliniowym - brak jest sił, które by zmieniły jego stan. Stan ten zgodny jest z pierwszą zasadą dynamiki. II IUO I

III II IUO I Względem IUO Wagon dalej porusza się po okręgu, a ciało w dalszym ciągu trwa w ruchu jednostajnym prostoliniowym - dalej brak jest sił, które zmieniłyby jego ruch. Tak będzie aż do chwili, gdy ciało zetknie się ze ścianą wagonu (położenie III). II IUO I

IV III II IUO I r r Względem IUO N R IV r r O III Względem IUO Gdy ściana dotrze do ciała (położenia III, IV), to zaczyna ono poruszać się po okręgu o środku w punkcie O i promieniu r. Od tego momentu ściana wagonu wywiera na ciało niezrównoważoną siłę R. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki ciało teraz naciska na ścianę wagonu z siłą N=R. II IUO I

IV III mad=R R=N=Fo Fd=Fo II IUO I r r Względem IUO Siła R jest siłą dośrodkową, ponieważ to ona powoduje ruch ciała po okręgu. Dynamiczne równanie ruchu ciała jest: mad=R. Siła N jest siłą odśrodkową: R=N=Fo. II IUO I

IV III mad=R R=N=Fo Fd=Fo II IUO I NUO I r r Względem NUO Obserwator nieinercjalny (znajdujący się w wagonie) obserwując ciało do położenia I powie: „siły działające na ciało równoważą się i zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki, względem mojego układu odniesienia, czyli wagonu, pozostaje ono w spoczynku”. II IUO I NUO I

IV III mad=R R=N=Fo Fd=Fo Fb=mab ab=2s/t2 II II IUO I NUO I r r Względem NUO Od położenia drugiego II obserwator nieinercjalny zauważa, że ciało oddala się od jednej ściany z przyspieszeniem. Wie on, że zgodnie z drugą zasadą dynamiki każdy ruch przyspieszony odbywa się pod wpływem jakiejś niezrównoważonej siły. Dokonując pomiarów drogi i czasu znajdzie przyspieszenie ciała (np ze wzoru ab=2s/t2) i siłę powodującą ruch ciała przedstawi wzorem Fb=mab. Nie będzie umiał jednak wskazać źródła tej siły. Nazwie ją siłą bezwładności Fb. Godząc się na istnienie siły, która nie ma źródła w innym ciele, obserwator nieinercjalny poświęca trzecią zasadę dynamiki po to, by móc stosować drugą i pierwszą. II II IUO I NUO I

IV III III mad=R R=N=Fo Fd=Fo Fb=mab II II IUO I NUO I r r Względem NUO Sytuacja taka ma miejsce aż do chwili dotarcia ciała do przeciwległej ściany (do położenia III): zgodnie z drugą zasadą dynamiki ciało poruszało się z przyspieszeniem pod wpływem niezrównoważonej siły bezwładności Fb. II II IUO I NUO I

IV IV III III mad=R R=N=Fo Fd=Fo Fb=R II II IUO I NUO I r r r r Względem NUO Po dotarciu ciała do ściany (położenie IV) wywiera ono na nią siłę nacisku N, a ściana (zgodnie z trzecią zasadą dynamiki) przykłada do niego siłę R. Od tego momentu ciało względem wagonu spoczywa, więc siły na nie działające równoważą się (pierwsza zasada dynamiki). Warunek równowagi sił działających na ciało ma postać: Fb=R, gdzie R=N. Zauważmy, że od tego momentu NUO dla ciała jest ono samo (układ odniesienia związany z wagonem jest tożsamy z układem związanym z ciałem). II II IUO I NUO I

IV IV III III mad=R R=N=Fo Fd=Fo Fb=Fbo=Fo Fbo=R II II IUO I NUO I r r Względem NUO Po skonfrontowaniu ze sobą tego co działo się z ciałem względem IUO i względem NUO obserwator nieinercjalny zauważy, że występująca w NUO siła bezwładności Fb ma ten sam kierunek, wartość i zwrot co siła odśrodkowa Fo występująca w IUO. Dlatego nazwie ją siłą bezwładności odśrodkową Fbo. Warunek równowagi sił działających na ciało przyjmie postać: Fbo=R. II II IUO I NUO I

Siła bezwładności odśrodkowa Fbo bezwładności - tyle powie obserwator nieinercjalny, -odśrodkowa - doda obserwator inercjalny Zwróćmy uwagę na kolejność słów w określeniu siła bezwładności odśrodkowa: - bezwładności - tyle tylko (i nic więcej) powie obserwator nieinercjalny (analizujący zachowanie się ciała względem NUO), - odśrodkowa - doda obserwator nieinercjalny, jeśli będzie miał możliwość porównania swoich obserwacji względem NUO z tym, co się działo względem IUO.

Fd- siła dośrodkowa działająca na ciało poruszające się po okręgu, IUO Fd- siła dośrodkowa działająca na ciało poruszające się po okręgu, Fo- siła odśrodkowa działająca na ciało centralne. NUO Fbo- siła bezwładności odśrodkowa działająca na ciało. Zwróćmy uwagę na to, że: - w IUO występują siły dośrodkowa Fd i odśrodkowa Fo, -w NUO występuje siła bezwładności odśrodkowa Fbo. Tam gdzie jest siła bezwładności odśrodkowa Fbo, to nie ma ani siły dośrodkowej Fd, ani odśrodkowej Fo.

b) wypukły o promieniu krzywizny r=100 m? Samochód o masie m=1000 kg jedzie przez most z prędkością v=108 km/h. Jaką siłą samochód naciska na most, gdy most jest: a) poziomy b) wypukły o promieniu krzywizny r=100 m? b) wklęsły o promieniu krzywizny r=100m? Problemy związane z ruchem po okręgu przedstawimy na przykładzie czterech typowych zadań. Interesować nas będą siły działające na ciało. Analiz dokonamy względem IUO i NUO. Oto pierwsze z nich.

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? Q IUO

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Samochód naciska na most siłą N a most reagując przykłada do samochodu siłę R (trzecia zasada dynamiki). Jakie są wartości sił R i N?

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Ponieważ samochód porusza się jednostajnie po linii prostej, więc zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki siły na niego działające równoważą się. Zachodzi więc Q=R i R = N.

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Warunek równowagi sił działających na samochód jest: R=Q. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki R=N, więc N=Q=mg. Nacisk samochodu na most jest równy jego ciężarowi. R=Q

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Warunek równowagi sił działających na samochód jest: R=Q. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki R=N, więc N=Q=mg. Nacisk samochodu na most jest równy jego ciężarowi. R=Q R=N

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Warunek równowagi sił działających na samochód jest: R=Q. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki R=N, więc N=Q=mg. Nacisk samochodu na most jest równy jego ciężarowi. R=Q R=N Q=mg

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Warunek równowagi sił działających na samochód jest: R=Q. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki R=N, więc N=Q=mg. Nacisk samochodu na most jest równy jego ciężarowi. R=Q R=N Q=mg N=mg

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R v Q N Warunek równowagi sił działających na samochód jest: R=Q. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki R=N, więc N=Q=mg. Nacisk samochodu na most jest równy jego ciężarowi. R=Q R=N Q=mg N=mg nacisk jest równy ciężarowi ciała

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . Q r Względem IUO. Do samochodu jadącego po wypukłym moście ziemia przykłada ciężar Q. O

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R N Q r Względem IUO. Samochód naciska na most siłą N a ten reaguje przykładając do samochodu siłę R (trzecia zasada dynamiki). Jaką wartość mają siły R=N? O

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R N Q Względem IUO. Samochód porusza się po okręgu o promieniu r, musi więc podlegać wypadkowej sile skierowanej do punktu O (sile dośrodkowej Fd). Musi zachodzić Q>R, bo tylko wtedy siła wypadkowa będzie skierowana do punktu O (będzie siłą dośrodkową). O

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R N Q mad=Q-R r Względem IUO. Dynamiczne równanie ruchu samochodu jest: mad=Q-R. O

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R N Q mad=Q-R r R=N, Q=mg, ad= Względem IUO. Zachodzi: R=N, Q=mg, ad=v2/r. O

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R N Q mad=Q-R r R=N, Q=mg, ad= Względem IUO. Z powyższych zależności otrzymujemy N=m(g-v2/r). Nacisk ciała na most jest mniejszy od jego ciężaru. O N=m(g - ) nacisk jest mniejszy niż ciężar

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO . R N Q mad=Q-R r R=N, Q=mg, ad= Względem IUO. Ciekawa sytuacja ma miejsce wtedy, gdy przy określonej prędkości zajdzie g=v2/r. Wtedy N=0 i samochód przestanie naciskać na most - samochód (i pasażerowie w nim znajdujący się) znajdzie się w stanie nieważkości. O N=m(g - ) nacisk jest mniejszy niż ciężar gdy g = to N=0

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? Fbo IUO NUO . . R R N Q N Q mad=Q-R r r R=N, Q=mg, ad= Względem NUO. Ciało podlega działaniu tych samych sił co w IUO: ciężaru Q i reakcji mostu R i występuje jeszcze siła bezwładności odśrodkowa Fbo o takiej wartości, kierunku i zwrocie, że wypadkowa tych trzech sił jest równa zero. O O N=m(g - ) nacisk jest mniejszy niż ciężar gdy g = to N=0

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? Fbo IUO NUO . . R R N Q N Q mad=Q-R mabo+R=Q r r R=N, Q=mg, ad= Względem NUO. Warunek równowagi sił działających na ciało jest: Fbo+R=Q. O O N=m(g - ) nacisk jest mniejszy niż ciężar gdy g = to N=0

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? Fbo IUO NUO . . R R N Q N Q mad=Q-R mabo+R=Q r r R=N, Q=mg, ad= =abo Względem NUO. Przyspieszenie bezwładności abo ma taką samą wartość jak przyspieszenie dośrodkowe ad, zatem: abo=ad=v2/r. Pozostałe zależności są jak w IUO i otrzymujemy takie same rozwiązanie. O O N=m(g - ) nacisk jest mniejszy niż ciężar gdy g = to N=0

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O r . Q Względem IUO. Do samochodu jadącego po wklęsłym moście ziemia przykłada ciężar Q.

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O r R . Q N Względem IUO. Samochód naciska na most siłą N a ten reaguje przykładając do samochodu siłę R (trzecia zasada dynamiki). Jaką wartość mają siły R=N?

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O r R . Q N Względem IUO. Samochód porusza się po okręgu o promieniu r, musi więc podlegać wypadkowej sile skierowanej do punktu O (sile dośrodkowej Fd). Musi zachodzić Q<R, bo tylko wtedy siła wypadkowa będzie skierowana do punktu O (będzie siłą dośrodkową).

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O r R . Q N Względem IUO. Dynamiczne równanie ruchu jest: mad=R-Q. mad=R-Q

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O r R . Q N Względem IUO. Zachodzi ponadto: R=N, Q=mg i ad=v2/r. mad=R-Q R = N, Q = mg, ad=

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O r R . Q N Względem IUO. Otrzymujemy: N=m(g+v2/r). Z tego wynika, że nacisk ciała na podłoże jest większy od jego ciężaru: N>Q. mad=R-Q R = N, Q = mg, ad= N=m(g + ) nacisk jest większy niż ciężar

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? IUO O O NUO r r R R . . Q N Q Fbo N Względem NUO Ciało podlega działaniu tych samych sił co w IUO: ciężaru Q i reakcji mostu R oraz takiej sile bezwładności odśrodkowej Fbo, że wypadkowa tych trzech sił jest równa zero. mad=R-Q R = N, Q = mg, ad= N=m(g + ) nacisk jest większy niż ciężar

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? O IUO O NUO r r R R . . Q N Q Fbo N Względem NUO Warunek równowagi sił działających na ciało jest: Q+Fbo=R. mad=R-Q Q+Fbo=R R = N, Q = mg, ad= N=m(g + ) nacisk jest większy niż ciężar

1. Dane: m=1000 kg, v=108 km/h=30 m/s. Szukane: N=? O IUO O NUO r r R R . . Q N Q Fbo N Względem NUO Warunek równowagi sił działających na ciało jest: Q+Fbo=R. mad=R-Q Q+Fbo=R R = N, Q = mg, ad= = abo, Fbo = mabo N=m(g + ) nacisk jest większy niż ciężar

. . IUO R Q mad =Q-R R Q mad=R-Q Względem IUO Podsumowując zadanie 1 porównajmy ze sobą siły działające na samochód jadący po moście wypukłym i wklęsłym względem IUO i NUO. W IUO istnieje wypadkowa siła mad=Q-R lub mad=R-Q. Q mad=R-Q

. NUO mabo+R=Q R Q Fbo Q+Fbo=R Względem NUO W NUO siły działające na samochód równoważą się: R+Fbo=Q lub R=Q+Fbo.