FRAKTALE W SZTUCE Joanna Lewandowska IV rok geoinformatyka

Rys historyczny rozwoju geometrii fraktali Około sto lat temu pojawiły się dziwne konstrukcje, których nie można było zaliczyć do geometrii klasycznej.   Pierwsze fraktale powstały na przełomie XIX i XX wieku. Ich twórcami byli matematycy: Georg Cantor, Helge von Koch, Wacław Sierpiński. W roku 1883 Georg Cantor zaproponował konstrukcję nazwaną później jego imieniem. Odcinek [0,1] dzielimy na trzy równe części i usuwamy środkową. Z pozostałymi dwoma odcinkami postępujemy analogicznie. W konsekwencji takiego postępowania w granicy nieskończonej ilości kroków powstaje zbiór punktów Cantora. W 1904 roku matematyk Helge von Koch zaproponował konstrukcję nieco odmienną. Część środkową odcinka zastąpił przez ząbek utworzony z dwóch odcinków o długości 1/3. Następnie postąpił tak ze wszystkimi czterema powstałymi odcinkami i tak do nieskończoności. Powstała krzywa jest nieskończona, ciągła, nie przecina się z sobą i nie posiada w żadnym punkcie stycznej.

Rys historyczny rozwoju geometrii fraktali W 1916 roku Wacław Sierpiński rozszerzył zbiór Cantora na dwa wymiary. Kwadrat jednostkowy podzielił na dziewięć i wyrzucił środkowy. Postępował tak z każdym nowo powstałym kwadratem. Powstały fraktal nazywany jest często dywanem albo kwadratem Sierpińskiego. Analogicznie można postąpić z trójkątem, którego boki dzielimy na dwie części i powstałe punkty łączymy co doprowadzi do powstania kolejnego trójkąta i tak dalej. W 1926 roku Karl Menger przeniósł dywan Sierpińskiego w trzy wymiary i tak powstała gąbka Mengera.

Rys historyczny rozwoju geometrii fraktali Za twórcę teorii fraktali uważa się Benoit Mandelbrota, który pokusił się o zdefiniowanie czym są fraktale. W roku 1982 opublikował książkę pt. „The Fractal Geometry of Nature”. Moment ten można uznać za początek istnienia we współczesnym świecie pojęcia fraktal oraz innych pojęć z nim związanych. Zauważył, że bardzo dużo fraktali występuje w przyrodzie, np. liście, rośliny, płatki śniegu, linie brzegowe; są to poszarpane nieregularne kształty, których nie możemy opisać za pomocą figur znanych z geometrii klasycznej (prostokąty, trójkąty, koła). Zadawał sobie pytanie: Dlaczego na tak proste i regularne struktury jak drzewo czy dmuchawiec nie ma prostej formuły? I doszedł do wniosku, żeby utożsamienie obiektu geometrycznego ze wzorem na niego zastąpić utożsamieniem obiektu z przepisem na jego tworzenie. Dotychczas matematyka absolutnie nie była w stanie podać wzoru na układ geometryczny drzewa. Mandelbrot poradził sobie z tym. Najprościej rzecz ujmując, rzekł: weź „igreka”, zastąp jego górne kreski trochę mniejszymi „igrekami” i w otrzymanym rysunku zrób to samo, zastępując każdą górną kreskę proporcjonalnie pomniejszonym „igrekiem”. Postępuj tak w nieskończoność. Otrzymany obiekt jest fraktalem i jak każdy fraktal posiada on ważną cechę - samopodobieństwo.

Geometria Mandelbrota Aby stworzyć ciekawsze obrazy należy do równań tworzących fraktale dodać element losowości. Rysunek pokazuje jak zmieniają się drzewa wraz z wprowadzaniem ulepszeń w przepisie tworzenia. W pierwszej linii wprowadzono losowość do długości gałęzi i co za tym idzie podstawiane „igreki” nie mają już równej długości „rogów”. W drugim rzędzie poza losowością w długości gałęzi została dodana losowość w rozłożystości. W rzędzie trzecim dodany został trzeci rodzaj losowości, a mianowicie losowość co do liczby rozgałęzień („igreki” mogą mieć więcej „rogów”). W ten sposób powstają coraz wierniejsze wizerunki drzew.

Geometria Mandelbrota W ten sposób Benoit Mandelbrot diametralnie zmienił podejście do geometrii, czyniąc niemożliwe możliwym. Cenne idee Mandelbrota szybko wywołały zainteresowanie wśród rzeszy naukowców i amatorów. Gdy stworzono fraktalne modele dla większości obiektów w przyrodzie zaczęto generować fraktale „od tak sobie”. Te, o których mówię nie wiele już mają wspólnego z samą geometrią przyrody, lecz są przepiękne. Losowa konstrukcja krzywej Kocha

Zbiory Julii Pierwszymi fraktalnymi obiektami matematycznymi oderwanymi od rzeczywistości były zbiory Julii. Zbiór Julii jest zbiorem punktów na płaszczyźnie. Każdy punkt posiada pewien kolor, który otrzymuje się przy pomocy iteracji. Operacji tych trzeba wykonać bardzo, bardzo wiele. Zbiory Julii, jak to fraktale, również są samopodobne, lecz już nie ściśle i dobrze, bo dzięki temu mamy do czynienia z prawdziwie nieskończoną różnorodnością. Każde powiększenie jest inne, lecz we wszystkich pojawia się jakby ten sam motyw przewodni. Na dodatek zbiorów Julii jest nieskończenie wiele.

Zbiory Mandelbrota Najsłynniejszym i najbardziej popularnym fraktalem jest zbiór Mandelbrota. Mieszcząc się na jednym rysunku zbiór ten zawiera informację (matematyczną) o wszystkich zbiorach Julii (czyli jest lokalnie podobny do odpowiedniego zbioru Julii). Jednocześnie posiada te same własności co zbiory Julii - jest samopodobny, lecz nieściśle i co za tym idzie można go powiększać w nieskończoność. W zbiorze Mandelbrota wszędzie powtarzają się te same kształty, ale za każdym razem powtórzenie jest trochę inne. Niektórzy twierdzą, że jest on nie tylko najpiękniejszym, ale również najbardziej skomplikowanym obiektem jaki kiedykolwiek zobaczono.

Fraktale a sztuka Wielkie teorie naukowe zawsze miały wpływ na świat sztuki. Wiele osób wkrótce po zapoznaniu się z nową geometrią zadało sobie pytanie o stosunek fraktali do sztuki. Posiadamy w ręku wzór matematyczny i go wizualizujemy w odpowiedni sposób. Powstaje obraz o niesłychanych własnościach i co więcej takich obrazów możemy stworzyć nieskończenie wiele. Następnie jest on dynamiczny - można krok po kroku się w niego zagłębiać. Obrazy te robią wrażenie i jest to rodzaj wrażenia zupełnie nowego typu. Nierzadko komuś wyrwie się z ust „to jest piękne!”. Artystą tutaj nie jest człowiek tylko matematyka. Zbiory Julii pozwalają, tworząc ogromny materiał eksperymentalny, docenić piękno nie tylko samego obrazu, lecz również piękno konstrukcji intelektualnej prowadzącej do tych zbiorów. Fraktale otworzyły nowe możliwości tworzenia sztuki.

Początki sztuki fraktalnej Pierwsza wystawa, która odbyła się w 1984 roku odniosła wielki sukces i miała swoją kontynuację w książce pt. „Piękno fraktali” autorstwa H.O. Peitgen’a i P.H. Richter’a. Następna wystawa była naprawdę wielkim sukcesem. W 1985 roku w Londyńskim Muzeum Nauk Przyrodniczych zorganizowano wystawę zatytułowaną „Granice chaosu: obrazy zespolonych układów dynamicznych”. Wtedy to przyciągnęła ona 140000 widzów. Począwszy od tamtego czasu wystawa ta odwiedziła ponad 100 miast w ponad 30 krajach. Świadczy to o ogromnym zainteresowaniu obrazami fraktalnymi. Także rozwój komputerów i internetu w latach 90-tych bardzo znacznie spopularyzował dostęp do obrazów fraktalnych.

Różne zastosowania W związku z rozwojem grafiki fraktalnej ułatwiona została codzienna praca grafików komputerowych. Gdy potrzebują oni obrazu stoku górskiego lub drzewa zamiast przeszukiwać setki zdjęć posługują się odpowiednimi modelami do generowania takich obrazów. Z grafiki fraktalnej skorzystała też sztuka filmowa. Fraktale wykorzystano w filmie Star Trek II: The Wrath of Khan do przedstawienia krajobrazu planety Genesis, a także w filmie Powrót Jedi do stworzenia księżyców Endora i Gwiazdy Śmierci. Coraz częściej można spotkać w mediach osoby korzystające z grafik fraktalnych w swojej codziennej pracy. Przykładem takiej osoby jest Jhane Barnes, która wykorzystuje wzory fraktalne do projektowania tkanin. Geometria fraktali daje zupełnie nowe możliwości osobom zajmującym się sztuką użytkową.

Sztuka fraktalna Jako oddzielny gatunek sztuki, sztuka fraktalna liczy sobie około 15-20 lat. Jest to dziedzina, w której polu zainteresowań znajdują się struktury fraktalne bądź zbiory, które charakteryzuje ich własna nieskończoność (fragment struktury przypomina jej całość) oraz nieskończony stopień dokładności odwzorowania ich szczegółów niezależnie od przyjętej skali. Generowanie fraktali może być artystycznym poszukiwaniem, matematycznym badaniem naukowym, bądź po prostu przyjemnym spędzaniem czasu. Niemniej jednak, sztuka fraktalna w wyraźny sposób wyróżnia się spośród wszystkich pozostałych poprzez to, czym jest oraz czym nie jest.

Sztuka fraktalna Ze względu na swoją intrygująca formę fraktale opuściły obszar matematycznych abstrakcji i znalazły się w kręgu zainteresowań artystów plastyków. Dzisiaj można powiedzieć, że zadomowiły się już w ich pracowniach na dobre, aczkolwiek nadal pozostają domeną niezbyt licznego grona profesjonalistów. Fraktale tworzone są głównie za pomocą komputerów, dzięki zastosowaniu numerycznych procedur iteracyjnych. Są obiektami tworzonymi przy pomocy metod cyfrowych, ponieważ wymagają wielu powtórzeń bardzo precyzyjnych funkcji matematycznych, które określają ich kształt.

Sztuka fraktalna nie jest... • Sztuka fraktalna nie jest przypadkowa w tym znaczeniu, że nie jest losowa ani że brak w niej jakichkolwiek zasad. Opierając się na matematycznych wzorach, wykonanie fraktala jest ściśle przyczynowo uwarunkowane. • Sztuka fraktalna nie jest czymś, co może dobrze zrobić każdy użytkownik komputera. Oczywiście każda osoba posiadająca komputer może tworzyć fraktalne obrazy, ale nie oznacza to, że stanie się ona prawdziwym mistrzem sztuki fraktalnej. • Sztuka fraktalna nie jest skomputeryzowaną sztuką tworzoną wyłącznie przez komputer. W procesie twórczym używa się komputera, jednakże jego obliczeniami kieruje artysta.

Sztuka fraktalna jest... • Sztuka fraktalna jest pełna ekspresji, a język artystów zajmujących się sztuką fraktalną nie jest bardziej ograniczony niż język artystów używający tradycyjnych środków wyrazu. • Sztuka fraktalna jest wymagająca: wymaga wkładu, wysiłku i inteligencji. Artysta musi ukierunkować zestaw formuł obliczeniowych, tekstur obrazu, schematów barw, palet oraz innych niezbędnych parametrów. Każdy bez wyjątku z tych elementów należy modyfikować, regulować i dopasowywać w taki sposób, by utworzyły one pożądaną kombinację. • Przede wszystkim twórczość fraktalna jest po prostu tym, co powstaje w wyniku procesu twórczego artystów: SZTUKĄ. • Sztuka fraktalna jest twórcza. Ostateczny wizerunek fraktala musi być stworzony, podobnie jak fotografia czy namalowany obraz. Może być on zarówno podobizną jakiegoś obiektu, jak też abstrakcyjną wizją opartą na bazowej formie fraktala. Artyści, którzy zajmują się grafiką fraktalną tworzą obraz, łącząc ze sobą podstawowe jego elementy takie jak kolor czy kompozycja.

Sztuka fraktalna Obecnie galerie i muzea chętnie organizują wystawy poświęcone tej nowej dziedzinie sztuki, cieszą się one wielkim zainteresowaniem odwiedzających. Obrazy najbardziej znanych artystów, które poza galeriami sztuki można znaleźć przede wszystkim w internecie, mają w sobie coś niezwykłego, zaskakują bogactwem form i charakterystycznych stylów, są na krawędzi sennych marzeń i matematycznych abstrakcji. Trudno odmówić tym pracom miana dzieła sztuki, a ich twórcom - wyobraźni i plastycznych zdolności.

W jaki sposób tworzyć fraktalne obrazy? Do końca lat 90-tych praca grafika wykorzystującego w swoich pracach fraktale polegała na żmudnej obróbce obrazu w zaawansowanym edytorze graficznym. Wykonana w ten sposób praca łączyła w sobie elementy grafiki fraktalnej i tradycyjnej grafiki komputerowej. Sytuacja zmieniła się wraz z pojawieniem się narzędzia o nazwie ULTRA FRACTAL, stworzonego w Borland Delphi przez programistę Frederika Slijkermana. To była prawdziwa rewolucja, która kroczy wciąż do przodu. Przykładem takiej sztuki może być urzekająca swym pięknem praca pani Janet Parke Preslar pt. "Toccata and fugue", w której autorka wykorzystała zeskanowaną partyturę, którą zaimportowała do generatora fraktali.

W jaki sposób tworzyć fraktalne obrazy? Załączone do programu tutorial i instrukcja umożliwiają w łatwy sposób poznanie możliwości Ultra Fractal'a i oswajają z jego podstawowymi funkcjami. Możliwości programu są imponujące, ponieważ w najnowszej wersji można powiększyć struktury fraktala 1016000 razy. Jeden komputer do tak skomplikowanych obliczeń raczej nie wystarczy, więc program oferuje również obliczeniową pracę w sieci. Ultra Fractal oferuje niespotykane dotąd możliwości. Największą zaletą Ultra Fractal'a jest możliwość pracy na wielu warstwach. Można nadawać im różne stopnie przezroczystości, przenikać je wzajemnie, wprowadzać warstwy maskujące, dowolnie modyfikować palety barw, nadawać poszczególnym kolorom stopnie przezroczystości, wykorzystywać efekty deformujące. Do atutów Ultra Fractal'a należy prosta, intuicyjna i bardzo elastyczna obsługa.

W jaki sposób tworzyć fraktalne obrazy? W internecie dostępnych jest również wiele innych programów do generowania grafiki fraktalnej. Najbardziej popularnym i dostępnym jest FRACTINT. Można dzięki niemu stworzyć m.in. układy IFS, zbiory Julii, zbiory Mandelbrota, L-układy, automaty komórkowe oraz układy dynamiczne - wszystkie dwu- i trójwymiarowe. Z powstałych obrazów - dzięki programowi typu ray tracer (m.in. povray) - wykonać można krajobrazy fraktalne. Natomiast program Vistapro do układu powierzchni, jezior, gór czy drzew dopasowuje oświetlenie.

Wybór kolorów Generalnie obraz fraktalny generowany jest w 2 krokach: Program przypisuje liczbę dla każdego pixela obrazu. Użytkownik modyfikuje mapowanie tych liczb w kolory. W tym miejscu decydujące są już tylko talent i uczucia artystyczne. Teoretyczna liczba możliwych wyborów jest zapierająca dech w piersiach. Jest ona tak duża, że tak naprawdę nie ma większego sensu - to jest mniej więcej 102000. Tylko w przypadku, gdy liczby są z przedziału od 1 do 1000 i są mapowane 256 kolorami i jeśli ktoś mógłby rozważyć 1000 milionów wyborów na sekundę i jeśli rozpoczął to w dniu powstania Ziemi, to tylko 1025 z możliwych wyborów sprawdziłby do dziś – prawie nic porównując z ich całkowitą liczbą.

Wybór kolorów Obrazy na tej stronie odpowiadają zróżnicowanym interpretacją tych samych prac komputerowych. Jedna może zamieniać się w kolejną tylko poprzez kilka kliknięć myszką. Programy do tworzenia obrazów fraktalnych proponują automatyczne układy kolorów. Zielono żółty obraz został właśnie uzyskany w ten sposób, bez ingerencji użytkownika w kolory. Dwa obrazy poniżej pokazują co może się stać, kiedy „namieszamy” przy kolorowaniu. W tym po lewej obszar po środku wypełniony jest bezkształtną miazgą, w tym po prawej wizerunek jest bardziej czytelny ale brakuje mu siły. Wybór kolorów dla obrazów fraktalnych może być bardzo łatwy, kiedy używamy do tego odpowiednie programu (np. Fractint), ale może być też bardzo trudny.

Konkurs „Fractulus” Konkurs po raz pierwszy odbył się w 1997 i odbywał się corocznie do 2000 roku włącznie, każdy z dużym sukcesem. Po roku 2000 ekipa organizująca konkurs zrezygnowała na rzecz innych projektów. Wszystkie prace były wykonywane przez ochotników. Cele konkursu to:  pokazanie obecnego stanu sztuki fraktalnej danie każdemu szansy na pokazanie własnych prac uzyskanie od ludzi reakcji na sztukę fraktalną wyzwanie dla artystów, by badać nowe, nieznane techniki po prostu wiele zabawy z konkursu Zasady konkursu nie były stałe. Ustalane były każdego roku poprzez wysyłanie e-maili z propozycjami zasad przez środowisko artystów i uczestników konkursu z lat poprzednich. Dyskusja często robiła się gorąca, ale koniec końców zawsze dochodzono do porozumienia. Zasady konkursu były wynikiem tego porozumienia. W konkursie mógł wziąć udział każdy chętny, a także każdy mógł głosować na zgłoszone prace do konkursu w każdej kategorii poprzez wejście na stronę internetową konkursu „Fractulus”.

Konkurs „Fractulus” – prace

Konkurs „Fractulus” – prace

„Fractulus” ’99 Zwycięzcy Kategorie:  Emotion  Organic  Mechanical  Abstract  Quote Interpretation  Limited Color  Best Color Best Lighting  Best Texture Artistic Expression  Best Overall 2D  3D  Animations Kategoria: Emotion – 2 miejsce Kategoria: Best Lighting – 1 miejsce „A Pale Midnight Sun...” Sylvie Gallet Kategorie: Abstract, Best Texture, Artistic Expression, Best Overall 2D 1 miejsca „Taupensky” Janet Parke Preslar Kategoria: Best Color „Deep Jungle” Arne Richter 3 miejsce Kategoria: Emotion „Jealousy” Gerald Abrecht 1 miejsce

„Fractulus” 2000 Zwycięzcy Kategorie:  Nature  Artifice  Scene  Abstract  Interpretation Limited Color Classical ‘Brot Movement  Best Color Best Lighting  Best Texture  Best Still Kategorie: Artifice, Best Lighting, Best Still „Opaline Tower” Morgan Bell 1 miejsca Kategoria: Abstract „Endicott” Janet Parke Preslar 2 miejsce Kategoria: Nature - 2 miejsce Kategoria: Best Color – 3 miejsce „Athene’s Jewel Tree” Garth Thornton Kategoria: Scene – 1 miejsce Kategoria: Best Still – 2 miejsce „Just A Perfect Summer Morning” Gissel Escudero

Czy aby na pewno sztuka? Wykorzystując jedynie matematyczne wzory komputer jest w stanie stworzyć przeróżne obrazy, od kwiatu paproci czy chmury do czegoś co przypominać może abstrakcyjne lub surrealistyczne obrazy bądź senne marzenia. Aby stworzyć taki obraz potrzeba tylko trochę wiedzy z zakresu programowania lub skorzystać z gotowego programu do tworzenia obrazów fraktalnych. Czy obrazy takie można nazwać sztuką? - to trudne pytanie i w głównej mierze zależy od prywatnej definicji sztuki każdego człowieka. Nie da się jednak ukryć, że matematyczne formułki potrafią wygenerować obrazy, które większość ludzi zachwycają i intrygują. A o to, czy takie obrazy są dziełami sztuki można spierać się bez końca. I nie można rozstrzygnąć tego sporu. Pozostaje nam tylko obserwacja naszych reakcji podczas zetknięcia z obrazami fraktalnymi.

Na koniec... Chcąc znaleźć chociażby jedno sensowne uzasadnienie dla tego fraktalnego szaleństwa, chciałabym przytoczyć słowa profesora Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos": "Do czego służą fraktale i dlaczego tak dużo ludzi na świecie zajmuje się tym tematem? Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest to, że fraktale są bardzo ładne i sprawiają wiele radości tym, którzy je odkrywają i tym, którzy je oglądają„. Tym samym mogę jedynie zachęcić wszystkich do samodzielnych prób i zabawy z fraktalami. Tylko uwaga! Fraktale wciągają, a ich głębia jest nieskończona.

Sztuka fraktalna w internecie www.fractalus.com - strona poświęcona sztuce fraktalnej i konkursowi „Fractalus”, ogromna galeria grafik. www.fractalarts.com - serwis na temat sztuki fraktalnej. www.fractovia.org - informacje na temat fraktali, galeria obrazów. www.infinite-art..com - galeria z fraktalami autorstwa Kerry Mitchell i Janet Parke. www.parkenet.org/jp/index.html - strona domowa Janet Parke, dużo informacji na temat programu Ultra Fractal, wspaniała galeria prac. www.fractalus.com/gumbycat/ - galerie prac Lindy Allison. www.fractal-recursions.com - galeria z potężnymi zasobami fraktalnych grafik.