OPCJE Ograniczenia na cenę opcji Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Amerykańskie instrumenty pochodne Opcje amerykańskie

Notacja K - cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward T - okres (w latach) pozostający do dostawy S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu F – cena terminowa kontraktu forward f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S0, St, ST, (F0= K)

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: w chwili T: S T < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S T > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy ST - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa ST - K

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Wniosek 2. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem wartość portfela w chwili początkowej musi być także równy wartości opcji, czyli C0 = P0 + f gdzie C0 , P0 ceny odpowiednio opcji kupna , opcji sprzedaży, f - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C0 = P0 + (S0 - e-rT K)

Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Prawdziwe jest stwierdzenie: Jeżeli w chwili końcowej wartość dwóch portfeli jest jednakowa (PT ), to również w chwili początkowej ich wartości musiały być równe Przypuśćmy przeciwnie; w chwili początkowej wartość portfela pierwszego P1 była mniejsza niż drugiego P2 Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa: Krótka sprzedaż portfela P2 , zakup portfela P1 Ulokowanie kwoty (P2 - P1) na oprocentowanym koncie W chwili końcowej Rozliczenie krótkiej sprzedaży (oddanie kwoty PT uzyskanej z portfela pierwszego) Uzyskanie arbitrażowego zysku (P2 - P1) erT

Ograniczenia na cenę opcji kupna oraz opcji sprzedaży Ce cena europejskiej opcji kupna Pe cena europejskiej opcji sprzedaży Ca cena amerykańskiej opcji kupna Pa cena amerykańskiej opcji sprzedaży r stopa procentowa bez ryzyka So cena akcji w chwili początkowej T termin realizacji opcji K cena wykonania opcji

Ograniczenia na cenę opcji kupna Ceny opcji kupna spełniają następujące nierówności So ≥ Ca ≥ Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 ) Uzasadnienie Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli Ca ≥ Ce cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję bezpośrednio, zatem So ≥ Ca z parytetu kupna-sprzedaży (Ce – Pe = So – K e-rT ) Ce = So – K e-rT + Pe wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy Pe ≥ 0,) zatem Ce ≥ So – K e-rT Stąd i nierówności Ce ≥ 0 otrzymujemy Ce ≥ max( So – K e-rT, 0 )

Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące nierówności K ≥ Pa ≥ Pe ≥ max(Ke-rT –S0 ,0) Uzasadnienie Gdyby K < Pa , to wystawiając opcję z cena wykonania K uzyskujemy – w najgorszym przypadku Pa- K (zysk arbitrażowy) Gdyby Pe erT – K > 0 to oznaczało by to możliwość arbitrażu (inwestor uzyskałby w chwili T przynajmniej Pe erT – K ). Zatem musi być: K – Pe erT ≥ 0 czyli K e-rT ≥ Pe z parytetu ceny opcji otrzymujemy Pe = Ce - So + K e-rT oraz Ce ≥0, zatem Pe ≥ Ke-rT -So , ponieważ Pe ≥ 0, więc Pe ≥ max(Ke-rT –S0 ,0)

Równość cen opcji kupna Ca = Ce Twierdzenie. Ceny europejskiej i amerykańskiej opcji kupna na akcje nie przynoszące dywidendy są równe (zakładamy tę samą cenę wykonania i dzień wygaśnięcia dla obu opcji)

Równość cen opcji kupna Ca = Ce Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, ceny nie są równe. Ponieważ Ca ≥ Ce więc wtedy Ca > Ce . Wtedy t = 0 Wystawiamy opcję amerykańską zajmujemy długą pozycję na europejskiej opcji Różnicę Ca - Ce lokujemy przy stopie r dla t <T jeśli opcja amerykańska jest realizowana, pożyczamy akcję, sprzedajemy (jako wystawca) po cenie realizacji K, kwotę K lokujemy przy stopie r. t = T możemy zrealizować opcję europejską kupując akcję za K (jeśli cena akcji jest większa) i zamknąć krótką sprzedaż akcji Realizujemy zysk arbitrażowy (Ca - Ce )e rT +K e r(T-t) – K > 0 Jeśli dla t < T opcja amerykańska nie jest realizowana, to zysk arbitrażowy wynosi (Ca - Ce )e rT

Amerykański instrument pochodny Amerykański instrument pochodny może być zrealizowany w każdym momencie n 0nN z wypłatą f(S(n)). Oczywiście, może być zrealizowany tylko raz. Wartość instrumentu pochodnego w chwili n będziemy oznaczać DA(n)

Model dwustanowy dwuetapowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji

Amerykańska opcja sprzedaży W węzłach d, e, f wartość opcji jest równa wartości funkcji wypłaty z opcji, czyli max { K – S2, 0 } oznaczmy ją przez f(S2). Cena końcowa akcji S2 przyjmuje jedną z trzech wartości: S0u2, S0ud, S0d2, Ponieważ rozważamy amerykańską opcję, która może być zrealizowana przed dniem wygaśnięcia, zatem istotne jest wyznaczenie jej wartości we wszystkich węzłach grafu. Zakładamy, że opcja może być zrealizowana właśnie w chwilach odpowiadających węzłom grafu.

Amerykańska opcja sprzedaży Jako wycenę opcji węzłach b, c przyjmuje się maksimum z : wyceny przeprowadzonej jak w przypadku opcji europejskiej w modelu jednoetapowym , wypłaty z opcji realizowanej w danym węźle, przy cenie akcji odpowiadającej rozpatrywanemu węzłowi Wycena opcji w węźle a przebiega podobnie tj. jest maksimum z dwóch liczb: wyceny opcji europejskiej w modelu jednoetapowym uwzględniającej wycenę opcji amerykańskiej w węźle b i c wypłaty z opcji realizowanej w węźle a.

Amerykańska opcja sprzedaży. Model dwuetapowy (1)

Amerykańska opcja sprzedaży Uwaga. Wyceny w poszczególnych węzłach oznaczają wyceny w zależności od scenariusza zmian ceny akcji. Jeżeli np. w t =1 w węźle c wypłata z opcji jest większa od wyceny w modelu jednostopniowym, to oznacza że w przypadku zaistnienia tego scenariusza należy wykonać tę opcję (nie czekać do wygaśnięcia)

Amerykańska opcja sprzedaży. Przykład

Wycena amerykańskiego instrumentu pochodnego o funkcji wypłaty f zależnej od ceny akcji, wygasający w t = 2 Przez amerykański instrument pochodny o funkcji wypłaty f wygasający w chwili t = 2 rozumiemy instrument zależny od instrumentu bazowego (np.. akcji), którego cena zmienia się jak w modelu dwumianowym. Instrument może być zrealizowany w chwilach: t=0, t=1, t=2. Wypłata z instrumentu zależy od ceny instrumentu bazowego. Przykładami amerykańskich instrumentów pochodnych są amerykańskie opcje kupna oraz opcje sprzedaży Algorytm wyceny tego instrumentu jest uogólnieniem postępowania przy wycenie amerykańskiej opcji sprzedaży

Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = 2 jako ciąg 3 zmiennych losowych Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = 2 z funkcją wypłaty f można identyfikować z ciągiem 3 zmiennych losowych DA (2), DA (1), DA (0) zdefiniowanych w rekurencji wstecznej.

Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = 2 jako ciąg 3 zmiennych losowych

Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = N

Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = N jako ciąg N+1 zmiennych losowych Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = N z funkcją wypłaty f można identyfikować z ciągiem (N+1) zmiennych losowych DA (N), DA (N-1),…, DA (1), DA (0) zdefiniowanych w rekurencji wstecznej