Przenoszenie błędów (rachunek błędów) Niech x=(x 1,x 2,...,x n ) będzie n-wymiarową zmienną losową złożoną z niezależnych składników o rozkładach normalnych z wariancjami  1 2,  2 2,...,  n. Wtedy funkcja skalarna y=f(x) tej zmiennej losowej jest zmienną losową opisywaną w przybliżeniu rozkładem normalnym o następującej wariancji:

Jeżeli elementy x są skorelowane to we wzorze występuje pełna macierz wariancji-kowariancji

Pobieranie próby Populacja generalna: zbiór wyników wszystkich możliwych doświadczeń określonego typu. Próba n-wymiarowa: zbiór n wyników doświadczeń. Wyniki j-tej próby przedstawiamy w postaci n-wymiarowej zmiennej losowej x (j) =(x 1 (j),x 2 (j),...,x n (j) ). Wektor ten ma rozkład prawdopodobieństwa g(x)=g(x 1,x 2,...,x n ).

Pobieranie losowe 1. g(x)=g 1 (x 1 )g 2 (x 2 )...g n (x n ) (prawdopodobieństwa pobrania poszczególnych elementów próby są niezależne od siebie), 2. g 1 (x)=g 2 (x)=...=g n (x)=f(x) (poszczególne rozkłady muszą być identyczne z rozkładem gęstości dla populacji).

Dystrybuanta empiryczna (rozkład w próbie) W n (x)=n x /n n x – liczba elementów próby takich że x j  x. W n (x) dąży do prawdziwej dystrybuanty F(x) dla n 

Przedstawianie rozkładów z próby Wykresy liniowe (jednowymiarowe) Histogramy –Wykresy schodkowe –Wykresy słupkowe –Wykresy impulsowe Konstrukcja histogramu h(x)=n(x<y  x+  x) h(x 1,x 2,...,x n )=n(x 1 <y 1  x 1 +  x 1,x 2 <y 2  x 2 +  x 2,..., x n <y n  x n +  x n )

Przedstawienie wyników pomiarów oporu 100 pojedynczych oporników Wykres liniowy Histogram – wykres słupkowy Histogram – wykres schodkowy Histogram – wykres z zaznaczonymi przedziałami błędów Zależność postaci histogramów z próby dla czterech różnych szerokości przedziałów

Statystyki i estymatory Statystyka: funkcja określona na elementach próby, np. średnia. Estymator: przybliżona wartość parametru rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczona z próby. S=S(x 1,x 2,...,x n ) Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana nie zależy od liczby elementów próby. Estymator jest zgodny jeżeli jego wariancja dąży do zera wraz ze wzrostem liczby elementów próby.

Estymator wartości średniej rozkładu Estymator wartości średniej jest zatem estymatorem nieobciążonym i zgodnym.

Estymator wariancji rozkładu (nieobciążony i zgodny)

Estymator wariancji wartości średniej: Estymator odchylenia standardowego wartości średniej: Estymator błędu ochylenia standardowego:

Rozkład wariancji z próby (rozkład  2 ) Pobieramy próbę x 1,x 2,...,x n z rozkładu normalnego o a=0 i  =1. Dystrybuanta rozkładu zmiennej x 2 =x 1 2 +x x n 2 jest dana następującą funkcją: gdzie  (y) jest funkcją gamma Eulera (silnią uogólnioną na liczby rzeczywiste).

Zatem sam rozkład wariancji jest dany następującą funkcją