Korelacje czasowo-przestrzenne w modelach dynamicznych Przedstawiono formalizm kwantowej teorii rozpraszania, modele kaskadowe typu QMD oraz modele typu hydrodynamicznego Krzysztof Zberecki Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

Zagadnienia Podstawy kwantowej teorii rozpraszania Formalizm Twierdzenie optyczne Wzór Breita-Wignera Model UrQMD zderzeń ciężkich jonów Przedstawienie modelu Charakterystyki czasowo-przestrzenne Funkcje korelacyjne Podejście hydrodynamiczne Model Teaney-Shuryak Dane z modelu Dumitru

Kwantowa teoria rozpraszania rozpatrujemy rozpraszanie elastyczne rozwiązanie ścisłe otrzymuje się z rozwiązania równania: na zewnątrz obszaru działania sił ruch cząstki (układu) można opisać za pomocą fal płaskich: Rozwiązanie ścisłe będzie miało postać równania całkowego Co można inaczej zapisać jako:

Kwantowa teoria rozpraszania – c.d. współczynnik zwany jest amplitudą rozpraszania czyli na dużych odległościach od centrum rozpraszania fala rozproszona (drugi składnik poprzedniego wzoru) jest całkowicie wyznaczona amplitudą rozpraszania amplituda rozpraszania definiuje również przekrój czynny:

Metoda fal parcjalnych jeżeli potencjał pola rozpraszającego ma symetrie kulistą to moment pędu jest całką ruchu, oznacza to, że stany odpowiadające różnym wartościom momentu pędu uczestniczą w rozpraszaniu niezależnie od siebie – dlatego można przedstawić falę padającą w postaci superpozycji fal parcjalnych należących odpowiednio do każdej z wartości momentu pędu: biorąc pod uwagę postać f. Bessela na dużych odległościach od centrum wtedy postać asymptotyczną f.f. padającej można przedstawić jako:

Metoda fal parcjalnych – c.d. analogicznie można rozwinąć falę będącą rozwiązaniem problemu rozproszeniowego: wstawiając f.f. takiej postaci do równania Schroedingera otrzymuje się funkcję R a co za tym idzie postać f.f końcowej, przy czym zmianie ulega tylko amplituda fal rozproszonych w centrum, stąd R ma postać dla kr>>l: wykorzystując oba rozwinięcia na fale parcjalne fal padającej i końcowej oraz wyrażenie na R otrzymuje się następującą postać asymptotyczną f. f końcowej:

Metoda fal parcjalnych – c.d. Amplituda rozpraszania wyraża się poprzez parametr Sl w następujący sposób: Parametry Sl wyrażają jednoznacznie amplitudę rozpraszania, są one liczbami zespolonymi, więc można je zapisać jeszcze w innej formie za pomocą przesunięcia fazowego: Dla rozpraszania ku przodowi (q=0) amplituda rozpraszania ma postać: Biorąc pod uwagę wzór na różniczkowy przekrój czynny i całkując po wszystkich kątach daje to wzór na całkowity przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne:

Twierdzenie optyczne Całkowity przekrój czynny przedstawiony powyżej składa się parcjalnych przekrojów czynnych, odnoszących się do określonej wartości l: Maksymalna wartość takiego l-tego przekroju czynnego wynosi: Biorąc pod uwagę jawną postać amplitudy rozpraszania można zapisać jej część urojoną jako: Porównując to wyrażenie z poprzednio zapisanym wyrażeniem na całkowity przekrój czynny rozpraszania elastycznego otrzymuje się związek zwany twierdzeniem optycznym: Czyli całkowity przekrój czynny jest wprost proporcjonalny do urojonej części amplitudy rozpraszania ku przodowi

Twierdzenie optyczne – c.d interpretacja twierdzenia optycznego nazwa bierze się stąd, że podobne twierdzenie zostało po raz pierwszy odkryte dla fal elektromagnetycznych można udowodnić, że jest ono przejawem zasady zachowania prawdopodobieństwa wyraża fakt, że padająca fala płaska po „uderzeniu” w centrum rozpraszające staje się źródłem kulistej fali typu Huyghensa, fala ta powstaje kosztem fali padającej, a więc natężenie fali biegnącej do przodu musi ulegać zmniejszeniu – fala ta jest jak gdyby absorbowana natężenie fal Huyghensa mierzone jest przez całkowity przekrój czynny i stąd równość tych dwóch wielkości W elektrodynamice rolę równania ciągłości dla prawdopodobieństwa pełni równanie ciągłości dla energii pola

Wzór rezonansowy rozpatrując rozpraszanie dwóch cząstek i traktując jedną z nich jako centrum rozpraszania to jeżeli dla danego l i przy określonej długości fali k amplituda rozpraszania elastycznego osiąga maksimum to mówi się, że dwie oddziałujące cząstki rezonują uwzględniając zależność amplitudy rozpraszania od przekroju czynnego widać, że maksimum przypada dla d=p/2: rozwijając ctgd(E) w szereg Taylora wokół punktu Er określającego energię w rezonansie otrzymuje się:

Wzór rezonansowy – c.d. zaniedbując dalsze człony rozwinięcia i zakładając, że dostaje się, że: korzystając z wzorów na przekrój czynny i podstawiając wartość otrzymaną powyżej dostaje się wzór rezonansowy Breita-Wignera: Szerokość G określona jest tak, że przekrój czynny rozpraszania elastycznego maleje o czynnik 2 w stosunku do max. gdy Szerokość i czas życia rezonansu połączone są wzorem:

Model UrQMD zderzeń ciężkich jonów Model N-ciałowy służący do symulowania zderzeń ciężkich jonów przy wysokich energiach na zasadzie przypadek za przypadkiem Struktura modelu Inicjalizacja Równania ruchu Uwzględnienie zderzeń i produkcji cząstek Kryterium zderzenia Przekroje czynne Czasy życia rezonansów

Inicjalizacja, równania ruchu Założenie funkcji falowych nukleonów pocisku i tarczy w postaci pakietu gaussowskiego Odpowiednie ograniczenia na początkowe położenia i pędy Założone potencjały Yukawy Coulomba „Pauliego” Propagacja przeprowadzana za pomocą równań Hamiltona:

Zderzenia i produkcja cząstek Warunek zajścia kolizji Zderzenia wyłącznie binarne Przekroje czynne parametryzowane, parametryzacja zależna od rodzaju zderzenia, ogólnie: Uwzględnione rodzaje oddziaływań nukleon-nukleon i rezonansów nukleonowych anihilacja barion-antybarion mezon-mezon i barion-mezon nieznane - AQM

Zderzenia i produkcja cząstek – c.d Obliczanie nieznanych przekrojów czynnych – addytywny model kwarkowy (AQM) Czasy życia rezonansów Użycie zasady równowagi szczegółowej Oddziaływania hadronów przy wysokich energiach – fragmentacja „strun” – dla przekazów pędu powyżej 2GeV/c Rozkład kątowy wyprodukowanych cząstek (in-medium two-body scattering) Efekty kolorowe

i double ratios dla energii STAR-a Funkcje korelacyjne i double ratios dla energii STAR-a Au+Au sqrt(s)=130 GeV b 0-3 fm p+K- Y (–1,1) pt (0.1,1)

i double ratios dla energii STAR-a Funkcje korelacyjne i double ratios dla energii STAR-a Au+Au sqrt(s)=130 GeV b 0-3 fm p+K+ Y (–1,1) pt (0.1,1)

Time shift dla energii STAR-a Au+Au sqrt(s)=130 GeV b 0-8 fm kaony wcześniej kaony wcześniej Dt=1.5fm/c Dt=2.5fm/c

Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p+

Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p

Krotności dla wybranych cząstek CENTRAL 5500 GeV 4p Y <-1,1> MIN-BIAS p+ 6950 1020 2420 320 p- 6980 1030 2440 330 K+ 770 120 260 40 K- 720 110 240 35 p 340 230 25 L 150 20 60 10

Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K- Y (–1,1) pt (0.1,1) Cut=0.02GeV/c

Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K- Y (–1,1) pt (0.1,1)

Pb+Pb sqrt (s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K+ Y (–1,1) pt (0.1,1) Cut=0.02GeV/c

Pb+Pb sqrt (s)=5500 GeV b 0-3 fm p+K+ Y (–1,1) pt (0.1,1)

Time shift dla energii ALICE Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm kaony wcześniej Dt=0.8 fm/c

Time shift dla energii ALICE Pb+Pb sqrt(s)=5500 GeV b 0-3 fm kaony wcześniej Dt=1.0 fm/c

Hydrodynamika służy do opisu układów składających się z dużej ilości cząstek układ jest traktowany jako ośrodek ciągły tj. można zdefiniować „element płynu” jako obszar wielkości znacznie większej niż odległości międzycząsteczkowe dynamikę układu rozumie się jako dynamikę elementów płynu stosuje się więc opis makroskopowy charakteryzując układ wielkościami termodynamicznymi takimi jak entropia czy energia wewnętrzna jednocześnie używając wielkości klasycznych takich jak pęd w odniesieniu do elementu płynu

Hydrodynamika – c.d. równania opisujące ruch elementów płynu (a właściwie rozkład odpowiedniego pola, np. prędkości) otrzymuje się poprzez wykorzystanie zasad zachowania: masa pęd energia wewnętrzna + równanie stanu definiujące rodzaj „cieczy”

Hydrodynamika – przypadek relatywistyczny w przypadku relatywistycznym należy zastosować zapis kowariantny, wtedy równania można zapisać w postaci: tensor energii-pędu (stress tensor) jest postaci: Prędkość jest dana wzorem:

Hydrodynamika w zderzeniach ciężkich jonów – model Teaney - Shuryak opisuje początkową ewolucję układu po zderzeniu traktując ekspandujący obszar jako ciecz o właściwościach odpowiednich do etapu ekspansji poszczególne etapy: rozwiązanie numeryczne równań hydrodynamiki relatywistycznej z odpowiednimi warunkami początkowymi i przy odpowiednich założeniach z zadanym równaniem stanu tworzenie cząstek z powstałej hiperpowierzchni za pomocą procedury Coopera i Frye’a

Teaney – Shuryak – c.d. równania hydrodynamiczne: warunki początkowe – entropia, gęstość (barionowa) są proporcjonalne do rozkładu nukleonów biorących udział w reakcji:

Teaney – Shuryak – c.d. równanie stanu – założono że istnieją trzy fazy: faza odpowiadająca QGP faza mieszana faza hadronowa dla danych warunków początkowych brane jest odpowiednie równanie stanu

Teaney – Shuryak – c.d. W miarę jak system rozszerza się i stygnie dochodzi w końcu do sytuacji w której z obszaru hydrodynamicznego zaczynają się rodzić cząstki Zdarzenie to traktuje się jako tzw. freezeout, otrzymując pewną hiperpowierzchnię dla której temperatura równa jest pewnej temperaturze krytycznej (T freezeout) Do hiperpowierzchni otrzymanej dla takiej temperatury stosuję się tzw. recepturę Coopera i Frye’a: Posługując się tą procedurą otrzymuje się rozkłady dla danego (i-tego) rodzaju cząstek

Wyniki z hydro na przykładzie implementacji Dumitru-Rischke

Wyniki z hydro – c.d.

Porównanie hydro z UrQMD – rozkłady dynamiczne sqrt(s)=130 GeV/n central hydro, warunki początkowe dla 130GeV/n central

Porównanie hydro z UrQMD – rozkłady dynamiczne sqrt(s)=130 GeV/n central hydro, warunki początkowe dla 130GeV/n central

Konkluzje Modele typu QMD i typu hydro są modelami dynamicznymi Podstawową wadą modeli typu QMD jest inicjalizacja i pierwsze etapy propagacji – zaletą zdolność przeprowadzania reakcji z udziałem rezonansów Podstawową wadą modeli typu hydro jest brak możliwości przeprowadzenia rozpadów rezonansów ale zaletą fizyczny model inicjalizacji Widać więc, że zwłaszcza dla wysokich energii najlepszym wyjściem jest połączenie obu modeli

Literatura [1] A.S. Dawydow „Mechanika kwantowa” [2] D.H. Perkins „Wstęp do fizyki wysokich energii” [3] I. Białynicki-Birula, M.Cieplak, J. Kamiński „Teoria kwantów” [4] S.Bass et. al. „Microscopic models for ultrarelativistic heavy ion collisions”, nucl-th/9803035 [5] L. D. Landau „Hydrodynamika” [6] D. Teaney, J. Laurent, E. Shuryak „A hydrodynamic description of heavy ion collisions at SPS and RHIC”, nucl-th/0110037 [7] A. Dumitru, D. Rischke „Collective dynamics in high relativistic heavy ion collisions”, Phys. Rev. C vol. 59, 354