Wstęp do metod numerycznych Wykład 8 Różniczkowanie numeryczne dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki http://wbieniec.kis.p.lodz.pl/pwsz

Pochodna funkcji - przypomnienie Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x0 w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Wówczas pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 oznaczamy symbolem: i definiujemy jako następującą granicę: (1a) Wzór równoważny (1b) Inne spotykane oznaczenia dla funkcji danej wzorem y=f(x) Oznaczenie Leibnitza Oznaczenie Lagrange’a Oznaczenie Cauchy’ego

Pochodna - przykład Oblicz pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x0=2. Liczymy wartość pochodnej w punkcie x0 korzystając z definicji: Możemy również wyprowadzić ogólny wzór dla tej funkcji Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.

Pochodne – gotowe wzory Działania na pochodnych Przykłady

Zadanie różniczkowania numerycznego Na podstawie znajomości wartości yi funkcji f(x) w punktach xi (narzuconych lub wybieranych) wyznaczyć wartość D pochodnej funkcji w punkcie a, czyli nachylenie stycznej do funkcji w punkcie a (2) Motywacja 1. Postać analityczna funkcji jest zbyt skomplikowana. 2. Wartość funkcji znana jest tylko w niektórych punktach. Przykłady zastosowania różniczkowego w technice • Czułość przyrządu, nachylenie charakterystyki przetwarzania, wrażliwość układu • Prędkość i przyspieszenie wyznaczane na podstawie sygnału położenia • Nachylenie (gradient) w metodach poszukiwania minimum funkcji Wyznaczanie przybliżone tych wartości np. przez lokalną linearyzację. W obliczeniach małej precyzji wystarczają proste metody dwupunktowych ilorazów różnicowych.

Podejścia do rozwiązania problemu Metoda różnic skończonych Metoda polegająca na przybliżeniu pochodnej funkcji poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowanej przestrzeni. Można ją wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego, bądź z rozwinięcia w szereg Taylora. W przypadku silnie zaszumionych danych różniczkowanie metodą różnic skończonych może dać fatalny efekt. Wówczas przybliżamy daną funkcję wielomianem interpolacyjnym, a następnie wielomian ten łatwo różniczkujemy.

Metody ilorazu różnicowego Pochodną funkcji przybliżamy ilorazem różnicowym (3a) Inny zapis (3b) Typy ilorazów różnicowych Iloraz zwykły: f(x) zastępujemy prostą y = a x + b poprowadzoną przez x i x + h (4) (5) Iloraz wsteczny f(x) zastępujemy prostą y = a x + b poprowadzoną przez x-h i x

Typy ilorazów różnicowych Iloraz centralny: f(x) zastępujemy prostą y = a x + b poprowadzoną przez x-h i x+h. (6) Iloraz centralny z wykorzystaniem paraboli: f(x) zastępujemy parabolą y=ax2+bx+c poprowadzoną przez punkty x-h, x, x+h Wzór: patrz – metody rozwiązywania równań nieliniowych

Brook TAYLOR (1685-1731) Matematyk brytyjski, uczęszczał do szkoły St.John’s College w Cambridge. Od 1712 członek Towarzystwa Królewskiego (Royal Society) w Londynie. W 1715 opublikował pracę „Methodus Incrementorum Directa et Inversa” (Metoda przyrostów), na temat rachunku różnic skończonych, dając podstawy teorii rachunku różniczkowego oraz teorii interpolacji. W 1708 ułożył równanie drgań harmonicznych (opublikowane w 1714), sformułował równanie struny, prowadził prace w zakresie balistyki i teorii perspektywy w malarstwie. W 1719 zrezygnował ze stanowiska w Towarzystwie Królewskim i porzucił studiowanie matematyki. Zajmował się również mechaniką, a pod koniec życia filozofią.

Metoda różnic skończonych – wzór Taylora Wartość każdej funkcji f(x) można wyrazić w otoczeniu tego punktu x za pomocą tzw szeregu Taylora (7) Zdefiniujemy operator różniczkowania (8) (9) Zdefiniujemy operatory dla różnicy zwykłej  i wstecznej  (10a) (10b) (10c)

Wzór Taylora Z porównania zależności otrzymujemy wzór na równość operatorów Logarytmujemy obie strony równania Oraz podnosimy do potęgi k. Ponieważ To (11)

Wzór Taylora Możemy zatem łatwo wyprowadzić wzory na pochodne każdej funkcji za pomocą różnic zwykłych Dokładność liczenia pochodnej zależy od tego ile mamy punktów funkcji

Wzór Taylora – różnice wsteczne Zauważmy, że Zatem mamy Wstawiając tę zależność do wzoru otrzymujemy

Wzór Taylora – różnice wsteczne Ponieważ (12) to Możemy zatem wyprowadzić wzory na dowolne pochodne funkcji f(x) wyrażone za pomocą różnic wstecznych:

Różnice centralne Wyprowadzone wcześniej wzory różniczkowania numerycznego funkcji f(x) w punkcie x = x0 mają tę wadę, że wykorzystuje się w nich jedynie wartości funkcji f(x) dla argumentów leżących z jednej strony x0. Wady tej nie posiadają wzory wykorzystujące wartości funkcji f(x) po prawej i po lewej stronie punktu x = x0. Są to wzory symetryczne, oparte na różnicach centralnych (korzystamy z wzoru (7)). Zdefiniujmy operator różnicy centralnej (13)

Różnice centralne Korzystając z (13) mamy Następnie obliczamy Rozwijając D w szereg Taylora mamy: (14) Możemy teraz zapisać wzór na iloraz centralny (np. dla jednego punktu wstecz i do przodu) (15)

Przybliżanie wielomianem interpolacyjnym Wzory na pochodną z wykorzystaniem ilorazu różnicowego są możliwe do zastosowania wyłącznie wtedy, gdy węzły próbkowania funkcji są równoodległe. W przeciwnym wypadku należy skorzystać z wielomianów interpolacyjnych w postaci: Klasycznej Newtona Lagrange’a Funkcję przybliżamy wielomianem, a następnie obliczamy pochodną wielomianu. Dla wielomianu w postaci Pochodna jest łatwa do obliczenia i wynosi Stopień wielomianu zależy od tego, ile węzłów funkcji w otoczeniu punktu x0 chcemy użyć do obliczenia pochodnej.

Pochodna z użyciem wielomianu Newtona Przybliżając funkcję f(x) wielomianem interpolacyjnym P(x) w punktach x1 … xN Możemy przybliżyć pochodną funkcji poprzez pochodną wielomianu, która wynosi Podstawiając za x węzeł o poszukiwanej pochodnej (zeruje się większość składników) uzyskujemy formułę różnicową (w przód, wstecz lub centralną), przy czym węzły interpolacji nie muszą być równoodległe.

Pochodna z użyciem wielomianu Newtona - przykład Przybliż pochodną funkcji wielomianem interpolującym opartym na trzech punktach. Zastosuj różnice zwykłe – w przód. Szybko obliczamy współczynniki: Pochodna w dowolnym punkcie przedziału interpolacji jest następująca

Pochodna z użyciem wielomianu Newtona - przykład Sprawdźmy wzór dla węzłów równoodległych, gdzie x2=x1+h, x3=x1+2h Również możemy policzyć wartości pochodnej w węzłach x=x1, x=x2, x=x3

Pochodna z użyciem wielomianu Lagrange’a Podobnie, jak w poprzednim przykładzie weźmiemy pod uwagę trzy sąsiednie węzły funkcji, np. x0, x1, x2.

Pochodna z użyciem wielomianu Lagrange’a Np. dla x=x0 mamy: Sprawdźmy zależność dla węzłów równoodległych, x1=x0+h, x2=x0+2h. Np. dla x=x1 mamy:

Literatura: 1. Jakub Grzegorczyk http://matematyka.pisz.pl/strona/359.html 2. Michał Budzyński, MATEMAKS, http://www.matemaks.pl/pochodne.html 3. Agata i Piotr Fronczak, Agatka&Piotr Online, http://www.if.pw.edu.pl/~agatka/numeryczne.html