Zapraszam do obejrzenia mojej prezentacji na temat bardzo ciekawego zagadnienia, jakim jest wstęga Möbiusa.

August Ferdinand Möbius (1790-1868) Urodził się w miejscowości Schulpforta w Niemczech. Do 13 roku życia uczył się w domu, później rozpoczął naukę w szkole. Studiował matematykę oraz fizykę i astronomię. Z powodu swojej skromności zajmował niepozorne stanowisko astronoma w drugorzędnym niemieckim obserwatorium. W wieku 68 lat przekazał on Akademii Paryskiej rozprawę, o powierzchniach „jednostronnych”, która zawierała niektóre spośród najbardziej zadziwiających faktów tego nowego rodzaju geometrii. Swoją popularność zawdzięcza przede wszystkim „wstędze Möbiusa”, powierzchni o pewnych charakterystycznych własnościach.

Topologia (gr. topos – miejsce, logos – nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo punktów). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury. Przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie powierzchni bez jej rozerwania i „zlepienia” różnych punktów.

Wstęga Möbiusa Powstaje z prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden z końców o 180°. Powinna wyglądać tak: Posiada ona dwie ważne cechy, o których dowiemy się później – podczas eksperymentów.

Eksperyment 1 Robimy 2 kółka, ale jedno sklejamy po półobrocie paska. Najlepiej stosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm . Pośrodku każdego z nich rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości. Co zauważamy ?

Zauważamy, że w przypadku kółka linia została narysowana tylko po jednej stronie , a w przypadku wstęgi Möbiusa po obu stronach. Wnioski: Wstęga Möbiusa jest powierzchnią jednostronną (ma tylko jedną stronę). Gdybyśmy na przykład chcieli pokolorować ją tylko po jednej stronie, zakolorowalibyśmy całą jej powierzchnię. Ponadto wstęga ta ma tylko jedną krawędź.

Eksperyment 2 Wykorzystujemy figury z poprzedniego ćwiczenia. Przecinamy każdą z nich wzdłuż narysowanej wcześniej linii. Co otrzymujemy ?

W przypadku rozcięcia obręczy otrzymujemy dwie obręcze, ale dwa razy węższe. Natomiast w przypadku rozcięcia wstęgi Möbiusa otrzymujemy ponownie wstęgę, tym razem już dwustronną. Jest ona 2 razy węższa i 2 razy dłuższa niż na początku.

Zastosowania wstęgi Möbiusa Wstęga ta znalazła zastosowanie w technice. Poza tym jest ona lubianym elementem dekoracyjnym. Fontanna przed gmachem Fermi National (USA)

Ogród Rzeźb w Muzeum Sztuki w Baltimore, w stanie Maryland (USA). Rzeźba przy wejściu do Science Center na Uniwersytecie Harvarda w Cambridge, w stanie Massachusetts (USA).

Fontanna w muzeum nauki La Villette w Paryżu, gdzie woda płynie w kształcie wstęgi Möbiusa.

Wstęga Möbiusa jest także wykorzystana np. w logo firmy Renault albo w symbolu recyklingu czy też w matematycznym symbolu nieskończoności.

Ma ona również inne zastosowania : istnieją książki sklejone w kształt wstęgi Möbiusa, które można czytać w kółko i to zaczynając z dowolnego miejsca, w narciarskich skokach akrobatycznych jedna z ewolucji nosi nazwę "koziołek Möbiusa", gdyż ciało narciarza zakreśla w czasie jej wykonywania fragment wstęgi Möbiusa, w technice używa się pasów transmisyjnych skręconych w kształt wstęgi Möbiusa, co powoduje, że ich powierzchnia zużywa się jednakowo po obu stronach, w kinematografii taśma filmowa w kształcie wstęgi Möbiusa pozwala na wielokrotną emisję filmu bez konieczności wymiany szpuli z taśmą.

Eksperyment 3 Sklejamy ponownie wstęgę Möbiusa, ale tym razem używamy szerszego paska (np. 5 cm). Następnie wykonujemy 2 równoległe rozcięcia wzdłuż. Co otrzymujemy ?

Po rozcięciu wstęgi Möbiusa dwoma równoległymi cięciami otrzymujemy dwie wstęgi połączone ze sobą.

Eksperyment 4 Robimy nacięcie w pasku, z którego skleimy wstęgę Möbiusa. Następnie przewlekamy jeden koniec paska przez szczelinę i sklejamy końce tak, jak przy wykonywaniu wstęgi. Na końcu przedłużamy nacięcie wzdłuż całego paska. Co powstaje ?

W wyniku sklejenia wstęgi Möbiusa po uprzednim przewleczeniu jednego z jej końców przez szczelinę powstałą wskutek zrobienia nacięcia w pasku otrzymujemy dwie osobne wstęgi Möbiusa.

Podsumowanie Wstęga Möbiusa powstaje po sklejeniu końców prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden koniec o 180°, Jest to niezwykła topologicznie powierzchnia, mająca jedną stronę i jedną krawędź, Została odkryta w 1858 roku przez Augusta F. Möbiusa, Jest stosowana w wielu dziedzinach, np. w technice, architekturze, W wyniku jej odpowiedniego rozcinania można otrzymać bardzo ciekawe efekty.

Eksperyment 5 Na zakończenie eksperyment nie bardzo na czasie, bo związany z walentynkami, ale można otrzymać bardzo ciekawy efekt. Sklejamy pod kątem prostym dwie czerwone wstęgi, jedną prawostronnie i jedną lewostronnie skręconą, a następnie rozcinamy je wzdłuż środka. Co otrzymujemy?

Otrzymujemy dwa połączone ze sobą serca  .

Źródła informacji „Ścieżki matematyki” N. Langdon, Ch. Snape, wyd. GWO Wrocławski Portal Matematyczny http://www.matematyka.wroc.pl/ Wikipedia, wolna encyklopedia http://pl.wikipedia.org/Wiki/Wstega_Möbiusa http://matematyczny.blox.pl/2006/11/Wstega-Mobiusa.html

Dziękuję za uwagę Dziękuję za obejrzenie mojej prezentacji na temat wstęgi Möbiusa. Autor prezentacji: Maciej Woźniak kl. III a