OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU WYKŁAD 3 METODY OBLICZANIA PRZEPŁYWU POMIĘDZY DWOMA ZBIORNIKAMI, OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU

1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

Zagadnienie przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu rzeczywistego można rozwiązać pisząc równanie Bernoulliego dla przekroju na powierzchni cieczy zbiornika zasilającego oraz przekroju na końcu ostatniego przewodu albo, przekrojów położonych na powierzchniach cieczy zbiorników. 1.1. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-3 ma postać

po przekształceniu po oznaczeniu oraz podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy

Po wprowadzeniu pojęcia oporności hydraulicznej w R* w postaci: równanie przybiera postać Strumień objętości wynosi Od jakich wielkości zależy oporność hydrauliczna R* ?

Widać, że wyznaczenie strumienia objętości wymaga znajomości oporności hydraulicznej, która to z kolei wielkość zależy od współczynników strat zależnych od strumienia objętości. Jeżeli znamy wartości współczynników strat to znamy oporność hydrauliczną i możemy obliczyć strumień objętości jako Przy braku znajomości współczynników strat do wyznaczenia oporności hydraulicznej i strumienia objętości konieczne jest zastosowanie metody kolejnych przybliżeń (opis w dalszej części).

1.2. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 Alternatywne równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 leżących na powierzchniach cieczy w zbiornikach ma postać Po analogicznych przekształceniach i podstawieniach zdefiniowanych wielkości otrzymujemy

Gdzie oporność hydrauliczna układu wynosi równanie przybiera postać Strumień masy jest zatem wynosi Równania Bernoulliego dla przekrojów 1-2 oraz 1-3 sprowadzają się do tej samej postaci, gdy

2. Charakterystyka przewodu 2.1. Charakterystyka prostego odcinka przewodu o wymiarach l, d gdzie jest opornością hydrauliczną liniową przewodu o wymiarach l, d.

W ruchu laminarnym , więc Czyli w ruchu laminarnym straty liniowe zależą wprost proporcjonalnie od strumienia objętości. W ruchu turbulentnym, dla Re>Regr, współczynnik strat liniowych  zależy tylko od chropowatości przewodu, natomiast nie zależy od Re, a więc nie zależy też od qv. Równanie przybiera więc postać: Czyli w rozwiniętym ruchu turbulentnym straty liniowe zależą od kwadratu strumienia objętości.

Rys.3. Charakterystyka przepływu przewodu Należy zauważyć, że w ruchu laminarnym strata energii zależy od d4, a w ruchu turbulentnym od d5.

2.2. Charakterystyka oporu miejscowego Wysokości straty energii na oporze miejscowym obliczamy ze wzoru: gdzie  jest współczynnikiem strat miejscowych, a  średnią prędkością przepływu za przeszkodą.

W ogólnym przypadku współczynnik strat miejscowych  zależy od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa, ale powyżej granicznej liczby Re, zwykle dla Re>104, nie ma ona już wpływu na , zatem w tym przypadku współczynnik  konkretnego oporu miejscowego jest stały. Po podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy gdzie: jest opornością hydrauliczną oporu miejscowego.

2.3. Ekwiwalentny współczynnik oporu liniowego W jaki sposób zastąpić przewód o znanych parametrach d, l,  przeszkodą lokalną o równoważnym współczynniku oporu miejscowego e ? stąd e - jest ekwiwalentnym (równoważnym) współczynnikiem oporu liniowego.

2.4. Charakterystyka przepływowa szeregowego systemu hydraulicznego Na podstawie uogólnionego równania Bernoulliego, zapisanego dla przekrojów 1-2, otrzymamy: gdzie

natomiast jest opornością hydrauliczną zastępczą szeregowego systemu hydraulicznego. Charakterystyka przepływu przybiera więc postać: Oporność hydrauliczna zastępcza dla k-tego przewodu wynosi gdzie : k = 1, 2, 3, …, n jest numerem elementu systemu, a Rk opornością hydrauliczną k-tego odcinka tworzącego system hydrauliczny.

Charakterystyka przepływu k-tego odcinka systemu ma postać , (k = 1, 2, …, n) Ponieważ Oporność hydrauliczną można zapisać w prostszej postaci: oraz

lub graficznie (na przykładzie dwóch przewodów):

2.5. Charakterystyki przepływowe, oporność hydrauliczna i jej jednostki

3. Energia rozporządzalna na początku lub końcu systemu Oznaczając gdzie Δe jest różnicą wysokości energii na początku e1 i końcu systemu e2 „+” dla wlotu do zbiornika „-” dla wylotu ze zbiornika

Wlot do zbiornika

Wylot ze zbiornika

4. Metoda graficzna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami Przekrój 0-0 dzieli układ hydrauliczny na dwie części

Energia rozporządzalna w przekroju 0 wynosi: od strony przekroju 1 od strony przekroju 2 Gdzie RA – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 1-0 RB – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 0-2 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

Przedstawiając powyższy układ równań w formie graficznej otrzymujemy

5. Metoda iteracyjna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami Metoda iteracyjna stosowana jest przy braku znajomości współczynników strat (liniowych lub miejscowych).

Krok 1. Wybór wartości początkowej  dla każdego przewodu poprzez przyjęcie dowolnej wartości z przedziału zmienności współczynnika strat liniowych, poprzez rozwiązanie zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu idealnego. Krok 2. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla  z kroku 1. Krok 3. Obliczenia na podstawie wybranej formuły współczynników  dla strumienia z kroku 2. Krok 4. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla  z kroku 3. Krok 5. Sprawdzenie zbieżności strumienia objętości (masy). brak zbieżności - powtórzenie kroków 3-4, zbieżność wartości oznacza wynik.

Ilość potrzebnych iteracji zależy: dokładności rozwiązania wyboru punktu, startowego (w małym stopniu). Wszystkie wielkości należy zawsze zapisywać z tą samą dokładnością (ilością miejsc po przecinku)!

Przykład 1. Metoda iteracyjna Inne dane: =1000 kg/m3, =1,128 10-3Pa·s (w 15°C) d=10mm Określenie kierunku przepływu

Uogólnione równania Bernoulliego 1-2 lub dla 1-3

Po podstawieniu do równania ciągłości przepływu i obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy Jeśli współczynniki  są znane obliczamy strumień objętości. W przeciwnym wypadku należy zastosować metodę iteracyjną. Określimy  początkową na podstawie rozwiązania przykładu dla płynu idealnego. Równanie Bernoulliego dla ma wówczas postać

Stąd po podstawieniu równania ciągłości przepływu oraz obliczeniu strumienia objętości otrzymujemy Wyznaczenie liczb Reynoldsa

Iteracja 1 Wyznaczenie  (w zakresie rur hydraulicznie gładkich) dla Re<105 zastosowana zostanie formuła Blasiusa, dla Re<106 zastosowana zostanie formuła Schillera. Wyznaczenie strumienia objętości

Iteracja 2 Obliczenie liczb Re Obliczenie  przypadek? Wyznaczenie strumienia objętości

Iteracja 3 Obliczenie liczb Re Obliczenie  Wyznaczenie strumienia objętości

Iteracja 4 Obliczenie liczb Re Obliczenie  Wyznaczenie strumienia objętości

Wyznaczenie strumienia objętości Iteracja 5 Obliczenie liczb Re Obliczenie   takie jak … Wyznaczenie strumienia objętości Dochodzimy do …

Przykład 2. Obliczenie strumienia objętości na podstawie oporności hydraulicznych Dla danych z poprzedniego przykładu obliczono oporności hydrauliczne przewodów

Przykład 3. Metoda graficzna