Twierdzenie PITAGORASA

Życiorys Pitagorasa Pitagoras (ok. 572 – 497 p.n.e.), filozof grecki. Pochodził z wyspy Samos, czyli wschodniej kolonii jońskiej. Mając 40 lat opuścił Jonię, która walczyła z Persami, i odbył liczne podróże, również do Indii, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno-religijnymi. Przebywał w Tracji, ostatecznie osiadł jednak w Wielkiej Grecji, gdzie w Krotonie założył szkołę filozoficzno-religijną i związek pitagorejski. Nie pozostawił po sobie żadnych dzieł, a te, które później rozpowszechniono w Grecji, były, jak podają historycy filozofii, apokryfami. Stworzył system poglądów naukowych nazwanych jego imieniem. Był to prawdopodobnie rezultat pracy wielu uczonych, określanych powszechnie mianem pitagorejczyków. Z literatury filozoficznej Greków wynika, że Pitagoras jako pierwszy użył określenia filozofia jako „miłość mądrości”, dla zaznaczenia, że mądrość jest rzeczą boską, a jedynie umiłowanie jej jest dostępne dla ludzi.

Życiorys Pitagorasa c.d. Pitagoras był kontynuatorem i reformatorem religii orfickiej, którą późneij zaczęto nazywac pitagoreizmem. Wprowadził pojęcie podobieństwa figur oraz ideę przeprowadzania systematycznych dowodów w geometrii. Przeprowadził dowód twierdzenia nazwanego „twierdzeniem Pitagorasa” (znanego wcześneij jako reguła bez dowodów), odkrył niewspółmiernośc boku i przekątnej kwadratu, przypisywał magiczne własności liczbom, wierzył w harmonię w kosmosie.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa „Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.” „Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma  kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.” Wersja geometryczna Wersja algebraiczna

Dowody potwierdzające słuszność Twierdzenia Pitagorasa

Dowód Bhaskary Przez c oznaczamy długość przeciwprostokątnej, a i b, a>b, długości przyprostokątnych. Umieśćmy cztery "kopie" naszego trójkąta prostokątnego tak, by przylegały do siebie jak na rysunku. Utworzą one czworokąt, a jest to kwadrat ponieważ ma wszytskie kąty proste i równe boki. Bok tego kwadratu ma długość a-b. Zatem licząc pole dużego kwadratu mamy: P = c2 Z drugiej strony:                                                        Czyli              Ten dowód "szwankuje" w przypadku gdy a = b, gdyż wtedy kwadrat zlewa się do punktu.

Dowód 2 Inny dowód można oprzeć o wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny 2r = a+b-c . Z drugiej strony licząc pole trójkąta na dwa sposoby: (a+b+c)r = ab . Wystarczy wyliczyć r z pierwszego równania i wstawić do drugiego. Po podstawieniu do drugiego równania otrzymujemy:

Dowód 3 a,b,c oznaczają długości boków kwadratów A,B,C odpowiednio. Przez środek kwadratu B (o dłuższej przyprostokątnej) prowadzimy dwa odcinki równoległe do boków kwadratu C. Mają one długość c i dzielą się w połowie. Kwadrat B został też podzielony na 4 przystające czworokąty o dwóch kątach prostych.

Następnie przesuwamy je sobie (tj Następnie przesuwamy je sobie (tj. te dwa odcinki) równolegle tak aby przechodziły przez wszystkie cztery wierzchołki kwadratu B. Te cztery przesunięte odcinki zaznaczone zostały na rysunku kolorem różowym.

Powstały w wyniku tego w kwadracie B cztery trójkąty prostokątne przystające do tego o bokach a, b, c. Każde ramie kwadratu B jest podzielone na odcinek długości a (na czerwono na rys.) i jeszcze dwa odcinki równej długości x.

Te 4 przystające czworokąty o dwóch kątach prostych, powstałe w etapie1 mają boki długości: "Wklejamy" ponumerowane czworokąty z kwadratu B do C, w sposób pokazany na rysunku. W środku kwadratu C powstaje kwadrat o boku i wklejamy tam kwadrat A. gdzie

Dowód 4 Jeżeli kwadraty o boku a i o boku b podzielimy jak na rysunku, to otrzymane w ten sposób figury, ułożone razem, stworzą kwadrat o boku c. Zatem otrzymamy w ten sposób tezę twierdzenia Pitagorasa.

Dowód 5 Dowód wykonany przez prezydenta Stanów Zjednoczonych Jamesa Abrahama Garfielda:

Obliczam pole trapezu KLMN: Z jednej strony mamy, że: Z drugiej strony, obliczając pole trapezu KLMN, jako sumę pól trójkątów KLA, ALM i AMN, mamy: Porównując oba pola otrzymujemy:

Prezentację przygotował Michał Sarnik