Wprowadzenie do fizyki Mirosław Kozłowski rok akad. 2002/2003

Część 1b Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze

3 Koniec pokazu Dynamika punktu materialnego w R 1 cz. b Slajd podsumowania 1.8 Ruchy harmoniczne 1.9 Podsumowanie. Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze

Linki do stron WWW Hyper Physics Astronomy Picture of the Day Space Photos and Images

Ruchy w R Ruchy harmoniczne Piękna muzyka stanowi jedno z najgłębszych doznań estetycznych człowieka. Począwszy od Pitagorasa ludzie starają się zrozumieć na czym polega piękno słuchanych utworów. Na razie wystarczy, jeżeli powiemy, że powstanie doznań muzycznych jest złożonym procesem psychofizycznym, którego główna część przebiega w naszym mózgu.

Ruchy w R16 gdzie F jest siłą przyłożoną do struny, a x wychyleniem struny z położenia równowagi. Zajmiemy się teraz elementarnym procesem drgań harmonicznych źródeł dźwięku. Szarpnięta struna drga zgodnie z prawem Hookea:

Ruchy w R17 Zgodnie z II zasadą dynamiki k = moduł sprężystości; stały, czyli gdzie

Ruchy w R18 lub ogólnej Wzór w ramce jest podstawowym wzorem opisującym drgania harmoniczne. Dlaczego drgania? Bo jak łatwo sprawdzić:

Ruchy w R19 A więc podsumowując, mamy: Wzór w ramce opisuje ruch szarpniętej struny lub ogólniej ruch oscylatora harmonicznego (który drga ze stałą częstością ).

Ruchy w R110 Jeżeli struna jest stale szarpana z siłą F(t) oraz drga w ośrodku (w powietrzu), które stawia opór –cdx/dt (c = stała) to równanie drgań struny ma bardziej skomplikowaną postać: Prawo Newtona Prawo Hookea Opór ośrodka Siła zewnętrzna

Ruchy w R111 Aby elegancko rozwiązać to równanie, tzn. znaleźć x(t) musimy poznać funkcję eksponencjalną e t oraz liczby zespolone. Dodatek matematyczny Ile wynosi pochodna funkcji a t, gdzie a jest dowolną stałą?

Ruchy w R112 Pochodna funkcji eksponencjalnej Rozważmy funkcję:

Ruchy w R113 Z drugiej strony A więc

Ruchy w R114 czyli Funkcję eksponencjalną definiują podstawy logarytmu naturalnego. Szukamy a, dla którego

Ruchy w R115 Dla funkcji eksponencjalnej oraz dla dowolnego naturalnego n. Co za wspaniała funkcja!

Ruchy w R116 Sherman K. Stein, Calculus and Analitic Geometry, McGraw-Hill 1987

Ruchy w R117 Rozważmy ponownie równanie ruchu oscylatora harmonicznego swobodnego, dla dowolnej funkcji y(t): (5) Z następującymi warunkami początkowymi:

Ruchy w R118

Ruchy w R119 Z drugiej strony rozwiązanie równania (5) możemy przedstawić tak (pamiętamy ): Stąd: gdzie = jednostka urojona i ogólne rozwiązanie równania (5) ma postać:

Ruchy w R120 Bo, sprawdzając otrzymujemy: A więc zgodnie z warunkiem początkowym.

Ruchy w R121 Stąd wniosek: (Leonard Euler w liście do Johna Bernoulliego, October 18, 1740, Bazylea)

Ruchy w R122 Korzystając z równości otrzymujemy: (ważny i bardzo przydatny wzór),

Ruchy w R123 oraz

Strona z zeszytu nastoletniego R. Feynmana, z książki J. Gleicka, Genius, wyd. Abacus, London, 1992

Ruchy w R125 Teraz wracamy do ogólnego równania struny: Rozwiązania szukamy w postaci: A nie zależy od czasu.

Ruchy w R126 Oznaczenie

Ruchy w R127

Ruchy w R128

Ruchy w R129 Amplituda drgań ma maksimum dla częstości drgań siły wymuszającej: (Proszę to sprawdzić!) Wartość amplitudy dla równa się:

Ruchy w R130 Na szczęście W przeciwnym przypadku Nieskończona amplituda drgań oznacza katastrofę dla dowolnych układów drgających. Wszystko uległoby zniszczeniu. W związku z tym wróćmy na chwilę do wzoru określającego amplitudę drgań:

Ruchy w R131 Możemy go zapisać tak: Można, bez przesady powiedzieć, że liczby zespolone gwarantują stabilność układów drgających, a więc gwarantują stabilność materii.

Ruchy w R132 Podstawowe składniki materii: atomy, cząstki, jądra atomowe są oscylatorami harmonicznymi. Równanie ruchu, które opisuje te układy, równanie Schrödingera jest równaniem dla zespolonej funkcji.

Ruchy w R133 Wzory do zapamiętania Pochodna funkcji złożonej: Pochodna iloczynu funkcji:

Ruchy w R134 Wzory do zapamiętania Pochodna ilorazu funkcji:

Ruchy w R135 Ponadczasowe zasady zachowania Zasada zachowania pędu: Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:

Ruchy w R Podsumowanie Dynamika punktu materialnego w jednym wymiarze a. Istnieją układy inercyjne. W układach inercyjnych spełnione są Zasady Dynamiki Newtona. Ziemia nie jest układem inercyjnym, jednak odstępstwo od inercyjności jest niewielkie i dlatego na Ziemi Zasady Dynamiki są spełnione z dość dobrym przybliżeniem.

Ruchy w R137 b. Istnieją siły potencjalne, to znaczy siły spełniające warunek: V(x) jest energią potencjalną. Przykłady sił potencjalnych:

Ruchy w R138 Zasada zachowania pędu w przypadku braku sił zewnętrznych: Zasada zachowania energii dla sił potencjalnych:

Ruchy w R139 c. Oscylator harmoniczny:

40 To jest ostatni slajd części drugiej rozdziału Ruch punktu materialnego w przestrzeni jednowymiarowej. Możesz: przejść do Spisu treści i wybrać kolejny rozdział, wrócić do materiału tego rozdziału, zakończyć pokaz. Spis treści Koniec pokazu