Dopasowanie modelu autoregresji i predykcja stanów wody w Odrze (posterunek wodowskazowy Trestno) Tomasz Niedzielski

Cel badań Dopasowanie modelu ARMA do danych opisujących stany wody w Odrze na posterunku Trestno (SW Polska) Długoterminowe prognozowanie stanów wody w Odrze na wodowskazie Trestno w oparciu o dopasowany model ARMA Ocena trafności predykcji Zastosowanie metody bootstrap dla badanego szeregu czasowego

Publikacje Niedzielski T., 2004, Długoterminowe prognozowanie stanów wody w Odrze na wodowskazie Trestno w oparciu o analizę szeregów czasowych, [w:] Badania geograficzne w poznawaniu środowiska, Wydawnictwo UMCS, Lublin, 321-326. Niedzielski T., Dopasowanie modelu ARMA i zastosowanie metody bootstrap do danych opisujących stany wody (aktualnie recenzowana).

Prezentacja Wiadomości wstępne i przygotowanie danych Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów Prognozowanie Ocena trafności predykcji Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów Wnioski

1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych lokalizacja wodowskazu Trestno 242.1 km biegu rzeki bliskość Wrocławia Wejściowy szereg czasowy dzienne stany wody w Odrze na posterunku Trestno listopad 1979 – październik 1982 1096 danych Przekształcony szereg czasowy szereg średnich dekadowych 108 danych od tego miejsca analizowany jest ten zbiór danych

1. Wiadomości wstępne i przygotowanie danych (ciąg dalszy) Własności badanego szeregu czasowego brak trendu (ryc. 1) sezonowość – okres 36 (ryc. 1) Przygotowanie szeregu residuów usunięcie składowej sezonowej odjęcie średniej procesu Stacjonarność szeregu czasowego residuów (ryc. 2)

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów Wybór p i q dla procesu ARMA(p,q) analiza funkcji autokorelacji próbkowej (ryc. 3) analiza funkcji autokorelacji cząstkowej (ryc. 4) Wstępne założenie, że modelem dla residuów jest AR(1)

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy) Zastosowanie kryterium FPE i AICC FPE AICC

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy) Wniosek: proces AR(1) opisuje residua Definicja: Xt jest procesem AR(1) jeżeli Xt jest stacjonarny i dla każdego t gdzie Zt jest białym szumem o średniej 0 i wariancji 2, |φ| < 1, Zt jest nieskorelowana z Xs dla wszystkich s < t, φ jest stałą.

2. Wybór i dopasowanie modelu ARMA dla residuów (ciąg dalszy) Estymacja współczynnika φ (estymator Yule - Walkera) prowadzi do otrzymania następującego modelu probabilistycznego dla residuów Powyższy model jest podstawą do wygenerowania długoterminowej prognozy

3. Prognozowanie Długość prognozy długoterminowa 1 rok (1983), co równoważne jest 36 dekadom Procedura prognoza szeregu residuów AR(1) dodanie składowej sezonowej dodanie średniej przekształconego szeregu czasowego

3. Prognozowanie (ciąg dalszy) Długoterminowa prognoza na rok 1983 z odjętym/dodanym średniokwadratowym błędem prognozy (ryc. 5)

4. Ocena trafności predykcji Porównanie wartości prognozowanych z obserwowanymi (ryc. 6) Dla większości przypadków prognoza jest zbliżona do wartości obserwowanych

5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów Cel: znalezienie nowego modelu AR(1) dla residuów [inny współczynnik φ] i sprawdzenie czy zastosowanie nowego modelu poprawi trafność prognozy Bootstrap – metoda statystyczna polegająca na repróbkowaniu (losowaniu ze zwracaniem z istniejącej próbki nowych B próbek) Bootstrap dla danych niezależnych nie może być stosowany dla danych zależnych Zastosowano klasyczny bootstrap dla szeregu „prawie niezależnego” szumu losowego

5. Zastosowanie metody bootstrap do szeregu czasowego residuów (ciąg dalszy) Repróbkowano 2000 razy Obliczono nową wartość estymatora Yule – Walkera, która wynosi 0.612 Nowy model probabilistyczny dla residuów był podstawą skonstruowania prognozy Nie zaobserwowano poprawy trafności predykcji

6. Wnioski Zaproponowany model jest podstawą dość trafnych prognoz Zastosowanie metody bootstrap nie poprawiło trafności prognozy Interesujące wydaje się być znalezienie modelu ARMA dla dłuższych szeregów czasowych (czy też będą AR(1)?) zbadanie wpływu wartości ekstremalnych (np. powódź z 1997 roku) na strukturę modelu

Dziękuję za uwagę