Analiza matematyczna - Badanie przebiegu zmienności funkcji wykład IV Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

Spis treści: Założenia Asymptoty Przykłady obliczania asymptoty funkcji Monotoniczność funkcji Ekstrema funkcji Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia Badanie funkcji

Założenia Badanie przebiegu zmienności funkcji pozwala na uzyskanie wyczerpującej informacji o funkcji. W celu badania przeprowadza się : - analizę funkcji , - analizę pierwszej pochodnej , - analizę drugiej pochodnej . Na podstawie uzyskanych wyników sporządza się tabelę zmienności funkcji i wykres funkcji .

Analiza funkcji 1). Znalezienie dziedziny ; 2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności ; 3). Obliczenie asymptot ; 4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami ; 5). Określenie parzystości, okresowości, ciągłości .

Analiza pierwszej pochodnej 1). Znalezienie ekstremów ; 2). Określenie przedziałów monotoniczności .

Analiza drugiej pochodnej 1). Znalezienie punktów przegięcia ; 2). Określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości .

Asymptoty  Pionowe ,  Poziome ,  Pochyłe (ukośne) . twierdzenie

Asymptoty pionowe Definicja : Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera pewne sąsiedztwo prawostronne lub lewostronne punktu . Definicja : Prostą o równaniu nazywa się asymptotą pionową funkcji wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje granica niewłaściwa - asymptota pionowa lewostronna , lub - asymptota pionowa prawostronna . Jeżeli prosta jest jednocześnie asymptotą pionową lewo i prawostronną mówi się, że jest asymptotą pionową obustronną .

Asymptoty poziome Definicja : Prostą o równaniu lub nazywa się Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub . Definicja : Prostą o równaniu lub nazywa się asymptotą poziomą funkcji wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje granica niewłaściwa - asymptota pozioma lewostronna , lub - asymptota pozioma prawostronna . Jeżeli to mówi się, że jest asymptotą poziomą obustronną .

Asymptoty pochyłe (ukośne) Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub . Definicja : Prostą o równaniu dla nazywa się asymptotą pochyłą funkcji wtedy i tylko wtedy , gdy istnieje granica niewłaściwa - asymptota pozioma lewostronna , lub - asymptota pozioma prawostronna . Jeżeli asymptota pochyła jest jednocześnie asymptotą lewo i prawostronną To prostą nazywa się asymptotą pochyłą obustronną .

Asymptoty pochyłe (ukośne) - twierdzenie Jeżeli funkcja o równaniu ma asymptotę pochyłą o równaniu , to oraz .

Przykłady obliczania asymptot funkcji , b) , c) , d) .

Obliczanie asymptot funkcji -a Ponieważ asymptoty pionowej brak . - lewostronnej asymptoty poziomej brak . - prawostronnej asymptoty poziomej brak .

Obliczanie asymptot funkcji - a asymptota ukośna Ponieważ nie ma asymptoty poziomej sprawdza się istnienie asymptoty . - asymptoty ukośnej brak . Wykres funkcji nie ma asymptot .

Obliczanie asymptot funkcji -b - asymptoty pionowej prawostronnej brak.

Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota pionowa - prosta jest obustronną asymptotą pionową.

Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota pozioma H - prawostronnej asymptoty poziomej brak .

Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota ukośna - prawostronnej asymptoty ukośnej brak.

Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota pionowa - lewostronna asymptota pionowa - prawostronna asymptota pionowa - prosta jest obustronną asymptotą pionową.

Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota pozioma H H - lewostronnej asymptoty poziomej brak Łatwo sprawdzić, że prawostronnej asymptoty poziomej brak .

Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota ukośna - lewostronna asymptota ukośna . Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą ukośną .

Obliczanie asymptot funkcji -d Asymptoty pionowej brak . - lewostronna asymptota pozioma . Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą poziomą .

Monotoniczność funkcji Na to, by funkcja była stała w przedziale potrzeba i wystarcza, aby dla każdego . Jeżeli w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest na tym przedziale rosnąca . Jeżeli w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest na tym przedziale malejąca .

Przykłady obliczania monotoniczności funkcji ; b) ; c) ; d) .

Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - a Funkcja jest malejąca w przedziale . Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz .

Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - b Funkcja jest rosnąca w całym przedziale określoności .

Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - c Funkcja jest rosnąca w przedziale . Funkcja jest malejąca w przedziale .

Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - d Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz .

 WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum Ekstrema funkcji Maksima i minima funkcji nazywa się ekstremami .  WKE - Warunek Konieczny Ekstremum ,  WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum ,  WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum - druga pochodna .

WKE-Warunek Konieczny Ekstremum Warunek jest warunkiem koniecznym na to , aby funkcja różniczkowalna w punkcie miała w tym punkcie ekstremum . Funkcja może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których bądź pochodna nie istnieje, bądź jest równa .

WWE-Warunek Wystarczający Ekstremum Jeżeli , a ponadto : zmienia znak z ujemnego na dodatni gdy , rosnąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma minimum . zmienia znak z dodatniego na ujemny, gdy , rosnąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma maksimum .

WWE-Warunek Wystarczający Ekstremum za pomocą drugiej pochodnej Jeżeli funkcja , ma w pewnym otoczeniu punktu drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie i i ,to funkcja w punkcie ma : minimum ,gdy maksimum ,gdy

Przykłady obliczania ekstremum funkcji ; b) ; c) ; d) .

Przykłady obliczania ekstremum funkcji - a WKE : Nie ma spełniającego WKE. Funkcja nie ma ekstremum .

Przykłady obliczania ekstremum funkcji - b - nie ma takiego x w R. WKE : - należy do dziedziny funkcji , ale nie należy do dziedziny pochodnej. WWE : Zarówno dla x > 0 jak i x < 0 nie zmienia się znak pochodnej. Funkcja w punkcie x = 0 nie ma ekstremum.

Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia .

Wypukłość wykresu funkcji Krzywa jest wypukła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona poniżej swych stycznych. Jeśli w pewnym przedziale , to krzywa jest w tym przedziale wypukła.

Wklęsłość wykresu funkcji Krzywa jest wklęsła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona powyżej swych stycznych. Jeśli w pewnym przedziale , to krzywa jest w tym przedziale wklęsła .

Zmiana krzywej z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie Punkty przegięcia WKPP - Warunek Konieczny Punktu Przegięcia : albo nie istnieje w dziedzinie funkcji . WWPP - Warunek Wystarczający Punktu Przegięcia : Zmiana krzywej z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie wokół punktu z WKPP .

Przykład obliczania punktu przegięcia

Przykład obliczania PP -cd WKPP : WWPP : i nie wpływa na znak pochodnej Funkcja ma w punktach x = -1 oraz x = 1 punkty przegięcia .

Badanie funkcji 1). Znalezienie dziedziny . 2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności . 3). Obliczenie asymptot . 4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami . 5). Określenie parzystości, okresowości . 6). Znalezienie ekstremów . 7). Znalezienie punktów przegięcia . 8). Tabela . 9). Wykres funkcji .

Badanie funkcji - przykład Znalezienie dziedziny : i

Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności

Obliczenie asymptot x = 0 - asymptota pionowa prawostronna H H y = x - asymptota ukośna prawostronna.

Znalezienie punktów przecięcia z osiami wartość przybliżona

Określenie parzystości, okresowości Funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta, gdyż D: x > 0. Funkcja jest nieokresowa.

Znalezienie ekstremów WKE : Nie ma ekstremum . funkcja stale rosnąca .

Znalezienie punktów przegięcia WKPP :

Tabela

Wykres funkcji PP