Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych 1. Wstęp 2. Oprocentowanie proste - stopa stała 3. Oprocentowanie proste - stopa zmienna 4. Oprocentowanie składane - stopa stała 5. Oprocentowanie składane - stopa zmienna

Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych 1. Wstęp W rozdziale tym zostanie przedstawiona komputerowa analiza kredytów spłaconych w ratach proporcjonalnych Proporcjonalne raty kapitałowe i odsetkowe powstają z podziału rat całkowitych według ustalonej proporcji. Przyjęto,że z punktu widzenia kredytobiorcy podstawowe znaczenie maja raty całkowite. Kredytobiorca bowiem musi zachować płynność finansową umożliwiającą spłatę całkowitych zobowiązań ( rat całkowitych). Wyróżnienie rat kapitałowych i odsetkowych (czyli kosztu kredytu ) jest istotne lecz wynika z przyjętej strategii spłaty rat całkowitych.

2. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała stopa. Rozważmy problem wyznaczania rat proporcjonalnych (kapitałowych i odsetkowych ) w warunkach oprocentowania prostego ze stałą stopą. Załóżmy,że mamy dane : P – (kwota kredytu ) kapitał N- liczba rat i - stopa indeksacji k R – współczynniki udziału rat kapitałowych K n w ratach całkowitych R n. (0<k<1) R –kwota waloryzacji rat całkowitych. Należy wyznaczyć raty: całkowite R n., kapitałowe K n oraz odsetkowe I n płatne w terminach n= 1,..,N Raty kapitałowe i odsetkowe kredytu spełniają warunki: k R * R n = K n (1) (1- k R ) * R n = K n (2)

2. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała stopa. Załóżmy, że raty całkowite R n są indeksowane ze stopą i, wówczas otrzymamy: R n = R 1 *(1+i) n-1 (3) a w przypadku waloryzacji R n = R 1 + (n-1) * R (4) Raty całkowite R n wyznaczmy z zasady równoważności kapitału w postaci: P*[1+r*N] = R 1 * [1+r(N-1)] R n [1+r (N-n)] R N 5)

2. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała stopa. Obliczenia rat kapitałowych oraz odsetkowych można łatwo przeprowadzić na arkuszu kalkulacyjnym. W tym celu należy zaprogramować równanie równoważności kapitału (5).Lewą stronę tego równania można obliczyć wprost. Po prawej stronie występuje N niewiadomych rat całkowitych R n. Aby wyznaczyć raty całkowite przyjmujemy ich indeksację w postaci analogicznej do (3) i waloryzację w postaci (VI II.4). Po wyznaczeniu rat całkowitych – z warunków (V III.1) i (2) obliczmy raty kapitałowe i odsetkowe. Przy stałym współczynniku proporcjonalności k R można go wyznaczyć z wzoru: k R = P / (R 1 +,...,+ R n +,...,+ R N ) (6) Zatem na arkuszu kalkulacyjnym należy utworzyć kolumny z ratami: całkowitymi kapitałowymi i odsetkowymi oraz czynnikami oprocentowania.

2. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała stopa.

Wykres 1. Kredyt spłacany w ratach proporcjonalnych w warunkach oprocentowania składanego ze zmienną stopą procentową.

3. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała zmienna. Rozważmy problem wyznaczania rat proporcjonalnych (kapitałowych i odsetkowych w warunkach oprocentowania prostego ze zmienną stopą Należy wyznaczyć raty: całkowite R n., kapitałowe K n oraz odsetkowe I n płatne w terminach n= 1,..,N Załóżmy,że raty całkowite są indeksowane ze stopą i, wówczas otrzymamy : R n = R 1 *(1+i) n-1 (7) a w przypadku waloryzacji R n = R 1 + (n-1) * R (8)

3. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała zmienna. Raty całkowite R n wyznaczmy z zasady równoważności kapitału w postaci: P*[1+r 1 +,...,+r N ] = R 1 * [1+r 2 +,...,+r N ] R n * [1+r n+1 +,...,+r N ] R N (9) Z układu równań (7),(8) i (9) można wyznaczyć wszystkie raty R n, ponieważ raty te tworzą postęp arytmetyczny lub postęp geometryczny o znanej sumie.

3. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała zmienna. Obliczenia rat kapitałowych oraz odsetkowych można łatwo przeprowadzić na podstawie proporcji; K n = k R * R n (10) oraz I n = (1- k R )* R n (11) Współczynnik proporcji k R wyznaczamy ze wzoru : k R = P / (R 1 +,...,+ R n +,...,+ R N ) (12)

3. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania prostego - stała zmienna. W celu zaprogramowania na arkuszu kalkulacyjnym równania równoważności kapitału (9), zauważamy,że lewą stronę tego równania możemy obliczyć wprost. Po prawej stronie występuje N niewiadomych rat całkowitych Rn Rn. Aby wyznaczyć raty całkowite przyjmujemy ich indeksację w postaci (7) lub waloryzację w postaci (8). Analiza zasady równoważności kapitału (9) pozwala wprowadzić rekurencyjną formułę dla obliczania czynników oprocentowania. Tak więc otrzymamy: 0(N,N)= 1 (13a) 0(N-1,N) = 1+r N = 0(N,N) + r N (13b) 0(N-2,N) =1+ r N-1 + r N = 0(N-1,N)+ r N-1 ( 13c) czyli ogólnie 0(n.N) = 0(n+1,N)+ r N+1 (14) Formuła (14) daje możliwość charakterystycznego programowania na arkuszu kalkulacyjnym poprzez kopiowanie komórki z odpowiednią formułą.

4. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała stałą. Rozważmy problem wyznaczania rat proporcjonalnych (kapitałowych i odsetkowych ) w warunkach oprocentowania składanego ze stałą stopą. Należy wyznaczyć raty: całkowite R n., kapitałowe K n oraz odsetkowe I n płatne w terminach n= 1,..,N Raty kapitałowe i odsetkowe kredytu spełniają warunki: k R * R n = K n (15) (1- k R ) * R n = I n (16)

4. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała stałą. Załóżmy, że raty całkowite R n są indeksowane ze stopą i, wówczas otrzymamy: R n = R 1 *(1+i) n-1 (17) a w przypadku waloryzacji R n = R 1 + (n-1) * R (18) Raty całkowite R n wyznaczmy z zasady równoważności kapitału w postaci: P*[1+r] N = R 1 * [1+r] N R n [1+r] N R N (19)

4. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała stałą. Obliczenia rat kapitałowych oraz odsetkowych można łatwo przeprowadzić na arkuszu kalkulacyjnym. W tym celu należy zaprogramować równanie równoważności kapitału (9).Lewą stronę tego równania można obliczyć wprost. Po prawej stronie występuje N niewiadomych rat całkowitych R n. Aby wyznaczyć raty całkowite przyjmujemy ich indeksację w postaci analogicznej do (17) i waloryzację w postaci (VI II.18). Po wyznaczeniu rat całkowitych – z warunków (15) i (16) obliczmy raty kapitałowe i odsetkowe. Przy stałym współczynniku proporcjonalności k R można go wyznaczyć z wzoru: k R = P / (R 1 +,...,+ R n +,...,+ R N ) (20) Zatem na arkuszu kalkulacyjnym należy utworzyć kolumny z ratami: całkowitymi, kapitałowymi i odsetkowymi oraz czynnikami oprocentowania.

5. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała zmienną. Rozważmy problem wyznaczania rat proporcjonalnych (kapitałowych i odsetkowych ) w warunkach oprocentowania składanego ze zmienną stopą. Należy wyznaczyć raty: całkowite R n., kapitałowe K n oraz odsetkowe I n płatne w terminach n= 1,..,N Załóżmy,że raty całkowite są indeksowane ze stopą i, wówczas otrzymamy : R n = R 1 *(1+i) n-1 (21) a w przypadku waloryzacji R n = R 1 + (n-1) * R (22)

5. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała zmienną. Raty całkowite R n wyznaczmy z zasady równoważności kapitału w postaci: P*(1+r 1 )*,...,*(1+r N ) = R 1 * (1+r 2 )*,...,*(1+r N ) R n * (1+r n+1 )*,...,*(1+r N ) R N (23) Z układu równań (21) lub (22) i (23) można wyznaczyć wszystkie raty R n, ponieważ raty te tworzą postęp geometryczny lub arytmetyczny o znanej sumie.

5. Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała zmienną. Obliczenia rat kapitałowych oraz odsetkowych można łatwo przeprowadzić na podstawie proporcji; K n = k R * R n (24) oraz I n = (1- k R )* R n (25) Współczynnik proporcji k R wyznaczamy ze wzoru : k R = P / (R 1 +,...,+ R n +,...,+ R N ) (26)

5.Kredyty spłacane w ratach proporcjonalnych -Model oprocentowania składanego - stała zmienną. W celu zaprogramowania na arkuszu kalkulacyjnym równania równoważności kapitału (23), zauważamy,że lewą stronę tego równania możemy obliczyć wprost. Po prawej stronie występuje N niewiadomych rat całkowitych R n. Aby wyznaczyć raty całkowite przyjmujemy ich indeksację w postaci (21) lub waloryzację w postaci (22). Zatem należy utworzyć na arkuszu kalkulacyjnym kolumny z ratami: całkowitymi, kapitałowymi i odsetkowymi oraz zmienną stopę procentową z czynnikami oprocentowania. Analiza zasady równoważności kapitału (23) pozwala wprowadzić rekurencyjną formułę dla obliczania czynników oprocentowania. Formuła rekurencyjna ma postać analogicznie jak w punkcie 3 wzór (13)i (14).