Macierz incydencji Macierzą incydencji grafu skierowanego D = (V, A), gdzie V = {1, ..., n} oraz A = {a1, ..., am}, nazywamy macierz I(D) = [aij]i=1,...,n, j=1,...,m , w której dla i=1...,n, j=1,...,m ,, jeśli ai jest łukiem wychodzącym z wierzchołka i; , jeśli ai jest łukiem wchodzącym do wierzchołka i; w innych przypadkach 1 3 2 4 5 a2 a1 a3 a4 a5 a6

Macierz sąsiedztwa Macierzą sąsiedztwa grafu nieskierowanego G = (V, E), gdzie V = {1, ..., n}, nazywamy macierz B(G) = [bij]i=1,...,n, j=1,...,n , w której (bij= bji = 1)  {i, j}E dla i,j=1...,n. 1 3 2 4 5 e2 e1 e3 e4 e5 e6

Macierz sąsiedztwa Macierzą sąsiedztwa grafu skierowanego G = (V, A), gdzie V = {1, ..., n}, nazywamy macierz B(D) = [bij]i=1,...,n, j=1,...,n , w której (bij= 1)  {i, j}A dla i,j=1...,n. 1 3 2 4 5 a2 a1 a3 a4 a5 a6

Macierz incydencji Macierzą incydencji grafu nieskierowanego G = (V, E), gdzie V = {1, ..., n} oraz E = {e1, ..., em}, nazywamy macierz I(G) = [aij]i=1,...,n, j=1,...,m , w której aij=1  iej dla i=1...,n, j=1,...,m. 1 3 2 4 5 e2 e1 e3 e4 e5 e6

W dowolnym grafie nieskierowanym G = (V, E) Suma elementów w każdej kolumnie macierzy incydencji grafu nieskierowanego jest równa 2, zatem macierz incydencji dowolnego grafu zawiera 2|E| jedynek. Ponadto suma stopni wierzchołków grafu jest równa sumie elementów niezerowych w jego macierzy incydencji. Stąd wynika następne twierdzenie. W dowolnym grafie nieskierowanym G = (V, E) W dowolnym grafie nieskierowanym liczba wierzchołków stopnia nieparzystego jest parzysta.

Macierz incydencji Macierzą incydencji grafu skierowanego D = (V, A), gdzie V = {1, ..., n} oraz A = {a1, ..., am}, nazywamy macierz I(D) = [aij]i=1,...,n, j=1,...,m , w której dla i=1...,n, j=1,...,m ,, jeśli ai jest łukiem wychodzącym z wierzchołka i; , jeśli ai jest łukiem wchodzącym do wierzchołka i; w innych przypadkach 1 3 2 4 5 a2 a1 a3 a4 a5 a6

Zależność między macierzami incydencji i sąsiedztwa Niech D(G) = [dij]i=1,...,n, j=1,...,n oznacza macierz diagonalną, której elementami na głównej przekątnej są stopnie odpowiednich wierzchołków grafu. Dla dowolnego grafu nieskierowanego G spełniona jest następująca zależność: I(G)I(G)T = B(G) + D(G)

Grafu pełne i regularne Graf nieskierowany nazywamy pełnym, jeśli dla każdej pary jego wierzchołków istnieje krawędź łącząca te wierzchółki. Graf nieskierowany, w którym każdy z wierzchołków ma stopień k, nazywamy grafem regularnym stopnia k. Graf pełny K4 Graf regularny stopnia 3

Kostki Kostką r-wymiarową Qr nazywamy graf nieskierowany, w którym wierzchołki odpowiadają wszystkim r-elementowym ciągam binarnym, a para wierzchołków połączona jest krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy ciągi przyporządkowane tym wierzchołkom różnią się dokładnie na jednej pozycji. (0,1,1) (1,1,1) (0,1,0) (1,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (1,0,0) (0,0,0) Kostka Q3

Turniej o czterech wierzchołkach Turnieje Graf skierowany bez pętli D = (V,A) nazywamy turniejem, jeśli dla każdej pary wierzchołków u, v  V, u ≠ v istnieje dokładnie jeden z dwóch łuków: (u, v) albo (v, u). Turniej o czterech wierzchołkach

Graf dwudzielny Pełny graf dwudzielny K2,3 Grafy dwudzielne Graf nieskierowany nazywamy dwudzielnym, jeśli zbiór jego wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory w taki sposób, że nie istnieje para wierzchołków sąsiednich, należących do tego samego podzbioru. Graf dwudzielny G=(V1V2, E) nazywamy pełnym grafem dwudzielnym, jeśli dla każdej pary wierzchołków uV1, vV2, istnieje w nim krawędź {u,v}E. Graf dwudzielny Pełny graf dwudzielny K2,3

Graf K2,3 i jego rysunek płaski Grafy planarne Graf nieskierowany nazywamy planarnym, jeśli można go narysować na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Takie przedstawienie grafu na płaszczyźnie nazywamy jego rysunkiem płaskim. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Graf K2,3 i jego rysunek płaski

Nieplanarne grafy Grafy, które można otrzymać z tego samego grafu poprzez podział krawędzi, nazywamy grafami homeomorficznymi. Graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z K5 albo K3,3. K5 K3,3