WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α’(G) – moc największego skojarzenia.

Prezentacja na temat: "WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α’(G) – moc największego skojarzenia."— Zapis prezentacji:

1 WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców). α’(G) – moc największego skojarzenia w G. Skojarzenie M w grafie G nazywamy doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2.

2 Tw. Tutte’a Niech q(G) będzie liczbą nieparzystych składowych grafu G. Tutte (1947) G ma skojarzenie doskonałe wgdy zachodzi warunek Tutte’a:

3 Pokrycia wierzchołkowe Podzbiór U zbioru V(G) nazywamy pokryciem wierzchołkowym (krawędzi), jeśli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U. Moc najmniejszego pokrycia - β(G). Trywialnie,

4 Skojarzenia w grafach 2- dzielnych – tw. Königa Twierdzenie (König, 1931) Dla grafów dwudzielnych α’(G)= β(G).

5 Warunek (konieczny) Halla na istnienie skojarzenia zawierającego (nasycającego) zbiór A A B

6 Tw. Halla Tw. Halla (1935) Dwudzielny graf G o dwupodziale (A,B) posiada skojarzenie nasycające A wgdy zachodzi warunek Halla:

7 1. dowód Tw. Halla U – minimalne pokrycie E(G) Jeśli G nie ma skojarzenia nasycającego A, to z Tw. Königa: |U|= β(G) = α’(G )<|A| Nie ma krawędzi miedzy A-U i B-U. Zatem i warunek Halla nie zachodzi dla S=A-U.

8 Ilustracja 1. dowodu Tw. Halla A B U U

9 2. dowód Tw. Halla Indukcja względem |A|; prawda dla |A|=1. Niech |A|>1 i załóżmy prawdziwość dla <|A|. Dwa przypadki I. Warunek Halla zachodzi z nadmiarem, tzn. Usuńmy końce dowolnej krawędzi ab: G’=G-{a,b} G’ wciąż spełnia warunek Halla i z założenia ind. ma skojarzenie nasycające A-{a}, które wraz z krawędzią ab tworzy skojarzenie nasycające A.

10 2. dowód Tw. Halla –Przypadek II: Z założenia ind. podgraf G’ indukowany w G przez S’ i N(S’) ma skojarzenie nas. S’. Ale podgraf G’’=G-V(G’) też spełnia warunek Halla i z zał. ind. ma skojarzenie nas. A-S’. Rzeczywiście, gdyby istniał podzbiór S’’ w A-S’, dla którego |N(S’’)|<|S’’|, to -- sprzeczność. 

11 Ilustracja S’ N(S’) G’’ S’’ N(S’’)

12 3. dowód Tw. Halla Prosty wniosek z Tw. Tutte’a (do samodzielnego zastanowienia się)