Wykład 5 Przedziały ufności Zwykle nie znamy  i  Chcemy określić na ile dokładniey estymuje  Skonstruujemy przedział w otoczeniu y taki, że będziemy mieli 95% pewności, że zawiera on prawdziwą wartość  Będziemy go nazywać 95% przedziałem ufności Ogólnie będziemy chcieli znaleźć przedział ufności na poziomie ufności "1-" Dla 95% PU mamy  = 0.05; dla 90% PU mamy  = , dla 99% PU mamy  = , itd

Znajdziemy przedział, w którymY zmieści się z p-stwem 95% Potrzebujemy kwantyli rzędu 0.025 i 0.975 dla rozkładuY Najpierw znajdziemy odpowiednie kwantyle dla standardowego rozkładu normalnego Pr(Z>1.96) = 0.025 and Pr(Z<-1.96) = 0.025 Odpowiednie kwantyle to - Oznaczmy Z0.025 = 1.96 Ogólnie Z/2 jest taką liczbą, że Pr(Z > Z/2 ) = Pr(Z < - Z/2) = /2 P(-Z/2 < Z < Z/2 ) =

Idea Jeżeli obserwacje pochodzą z rozkładu N(, ) to średnia z n obserwacji ma rozkład Kwantyle rzędu 0.025 i 0.975 dla średniej wynoszą Pr( < Y < ) = 0.95

Mamy 95% pewności, że odcinek [ ] zawiera  Przedział ten nazywamy 95% przedziałem ufności Długość przedziału ufności zależy od wartości , której na ogół nie znamy

Estymujemy  za pomocą s. Definiujemy standardowy błąd średniej jako SE = . SE jest estymatorem odchylenia standardowegoY, = Będziemy używali SE w miejsce

Musimy zapłacić pewną cenę za brak znajomości : nie możemy już brać kwantyli z rozkładu normalnego Estymacja  wprowadza dodatkową niepewność Przedziały ufności są szersze niż w przypadku gdy znamy 

Rozkład Studenta Rodzina ciągłych rozkładów, w kształcie przypominających standardowy rozkład normalny, ale mających ``cięższe ogony’’. df – liczba stopni swobody df = 1 – rozkład Cauchy’ego. Najbardziej odległy od rozkładu normalnego. Nie ma wartości oczekiwanej. Nie zachodzi dla niego Centralne Twierdzenie Graniczne.

Przedziały ufości cd. Gdy estymujemy  za pomocą s to do konstrukcji przedziału ufności bierzemy kwantyle z rozkładu Studenta z (n-1) stopniami swobody.

Przykład: Dla jakiej wartości t P(T>t)=0.025, gdzie T jest zmienną losową o rozkładzie Studenta z 8 stopniami swobody.

Przykłady: Znajdź dwie symetryczne wartości z takie, że między nimi zawiera się 95% masy rozkładu Studenta z 11 stopniami swobody. Wartości te wykorzystamy do konstrukcji 95 % przedziału ufności dla .

Przykład: Mamy n = 5 obserwacji, ze średnią y = 31.72 i s = 8.729. Wyznacz 95% przedział ufności dla .

Znajdź 90% PU:

90% PU jest niż 95% PU. Gdy n wzrasta to szerokość przedziału ufności na ogół

50 różnych 95% PU dla średniej, w każdej próbie n= 20