Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 40 w Zespole Szkół nr 5 ID grupy: 98/13_Mf_g1 Opiekun: Hanna Rój-Pytel Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Od równań liniowych… Semestr V/rok szkolny 2011/2012

Co to jest równanie? Z pewnością wielokrotnie spotykałeś dwa wyrażenia algebraiczne lub algebraiczne z arytmetycznym połączone znakiem równości. Są to równania. Służą one do zapisywania wielu zagadnień. Przykłady równań 1-go stopnia z jedną niewiadomą: 2x – 3 = 8 i 4x = 5x – 2 Inny: 2x2+5=1

Zapisz za pomocą równań poniższe zdania. Co to jest równanie? Zapisz za pomocą równań poniższe zdania. równania a) Liczba 2 razy większa od liczby x jest równa 100. b) Podwojona liczba y powiększona o 4 wynosi 31. c) Liczba 3 razy mniejsza od liczby x jest równa 16. d) 25% liczby x pomniejszone o 9 wynosi 16 a)2x=100 b)2y+4=31 c) d) 0,25x-9=16

Jak to rozwiązać… Rozwiązać równanie to znaczy odpowiedzieć na pytanie, jaka liczba podstawiona w miejsce niewiadomej daje po obliczeniu prawdziwą równość. Czasami rozwiązaniem może być kilka liczb. Równania nazywamy równoważnymi, jeśli mają to samo rozwiązanie. Równania: 2x – 4 = 8 i x + 1 = 7 są równoważne, gdyż rozwiązaniem obydwu jest liczba 6. 2 • 6 – 4 = 8 i 6 + 1 = 7

jak rozwiązuje się równanie 3x + 3 = x + 7 W każdym worku jest po tyle samo kul. 3x + 3 = x + 7/-3 3x = x +4 /-x 2x=4 /:2 x=2

Jak to rozwiązać… Przy rozwiązywaniu równań korzystamy z następujących reguł: 1. Jeśli po obu stronach równania wykonamy działania, to otrzymamy równanie równoważne danemu. 2. Jeśli do obu stron danego równania dodamy lub od obu stron równania odejmiemy to samo wyrażenie, to otrzymamy równanie równoważne danemu. 3. Jeśli obie strony danego równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Rozwiązania równań-przykłady b) ½x + 5 = 4 - x |• 2 |mnożymy obie strony równania przez 2, aby pozbyć się mianownika ułamka po lewej stronie 2• ½x + 2 • 5 = 2 • (4 – x) x + 10 = 8 – 2x |przenosimy wyrażenia z jednej strony równania na drugą zmieniając znaki tych wyrażeń na przeciwne x + 2x = 8 – 10 3x = -2 |:3 |obie strony równania dzielimy przez 3 x = -2/3 |rozwiązaniem równania jest liczba -2/3 a) 6x – 3 = 2x + 5 6x – 2x = 5 + 3 |przenosimy wyrażenia z jednej strony równania na drugą zmieniając znaki tych wyrażeń na przeciwne 4x = 8 | :4 |obie strony równania dzielimy przez 4 x = 2 |rozwiązaniem równania jest liczba 2

Równanie może: • mieć jedno rozwiązanie x + 5 = 1 x = 1 – 5 x = -4 • mieć nieskończenie wiele rozwiązań (spełnia je każda liczba)– nazywamy je wówczas równaniem tożsamościowym, 2(x + 1) = 2x + 2 2x + 2 = 2x + 2 2x – 2x = 2 – 2 0 = 0 nie mieć rozwiązań – wówczas jest to równanie sprzeczne. 3x – 5 = 3x + 4 3x – 3x = 4 + 5 0 = 9 5(x + 1) = 5x – 5 5x + 5 = 5x – 5 5x – 5x = -5 – 5 0 = -10

Rozwiązać równanie, czyli… Zapamiętaj! Rozwiązanie równania polega na znalezieniu wszystkich liczb, które je spełniają, lub na uzasadnieniu, że takich liczb nie ma . Po rozwiązaniu równania warto sprawdzić, czy otrzymana liczba spełnia równanie, bowiem ma to na celu wykrycie błędów rachunkowych popełnianych w trakcie rozwiązywania.

Co To jest układ równań? Wyrażenie postaci x + 3y = 6 nazywamy równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi. Dwa takie równania połączone klamrą nazywamy układem równań. Przykładami układów równań są: Rozwiązaniem układu równań nazywamy parę liczb (x, y), która spełnia obydwa równania.

Jak to rozwiązać… Rozwiązywanie Układów Równań Metodą Podstawiania Z jednego równania wyznaczamy zmienną x lub y i podstawiamy ją do drugiego równania. Za pomocą drugiego równania obliczamy drugą zmienną. Mamy w ten sposób drugą zmienną w sposób jawny, za jej pomocą wyliczamy pierwszą zmienną.

Jak to rozwiązać… Rozwiązywanie Układów Równań Metodą przeciwnych współczynników

Metoda graficzna Rozwiązanie układu równań tą metodą polega na narysowaniu prostych w układzie współrzędnych. Najpierw należy doprowadzić każde równanie do wzoru funkcji liniowej, tzn: y = ax + b. Z tej postaci łatwo jest narysować obie proste. Po narysowaniu odczytujemy punkt przecięcia prostych, który jest rozwiązaniem układu równań. Przykład. Rozwiąż układ równań metodą graficzną:

Metoda graficzna Przekształcamy oba równania do postaci y = ax + b: A następnie rysujemy wykresy obu funkcji i odczytujemy punkt przecięcia: Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x -2 -1 1 2 3 y=0,5x+4 5 4,5 4 3,5 2,5 y=2x-1 -5 -3

Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne Układ równań może nie mieć w ogóle rozwiązań, może mieć jedno rozwiązanie oraz nieskończenie wiele rozwiązań. W każdej z tych sytuacji ma przypisaną odpowiednią nazwę. Powiemy, że układ równań jest: oznaczony - jeżeli ma jedno rozwiązanie nieoznaczony - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań sprzeczny - jeżeli nie ma rozwiązań Jak wygląda rozwiązanie graficzne w każdym z tych przypadków? Dla układu oznaczonego proste przecinają się w 1 punkcie. Dla układu nieoznaczonego proste pokrywają się. Dla układu sprzecznego proste są równoległe i nie pokrywają się.

Układ sprzeczny

Układ nieoznaczony x -2 -1,5 -0,5 1,5 y=0,5x+1 0,25 0,75 1,75

Graficzne rozwiazanie układu równań, w którym jedno z równań jest 1-ego stopnia, a drugie stopnia 2-ego. x -1 1 2 y=-2x+1 3 -3 y=x2-2 -2

Zadania tekstowe i ich rozwiązanie x - droga, jaką przeszedł y - droga, jaką przebiegł /*48 x=50-y 8x+3y=216 x=50-y 8(50-y)+3y=216 400-8y+3y=216 -5y=-184 y=36,8km x=50-36,8 x=13,2km x=13,2 y=36,8 Pan Edek przeszedł 13,2 km, a przebiegł 36,8km Pan Edek w marszobiegu na 50 km uzyskał czas 4 godz. i 30 min. Biegł z prędkością 16 km/h, a szedł z prędkością 6 km/h. Ile kilometrów przebiegł a ile przeszedł?

Zadania tekstowe i ich rozwiązanie x - Olek y - Marcin   x=y+5 y+5+4=2y y=9 x=14 Odp. Razem było 9+9+14=32 skrzynie. Każdy z Marcinów wziął po 9, a Olek 14. Trzech zbójców; Olek i dwóch Marcinów podzieliło się łupem. Marcinowie wzięli po tyle samo skrzyń złota, Olek (herszt) o 5 skrzyń więcej  niż każdy z Marcinów. Marcinowie razem wzięli o 4 skrzynie więcej niż Olek ile było skrzyń złota ?

Zadania tekstowe i ich rozwiązanie Normalny bilet do kina jest o 5zl droższy od biletu ulgowego. pani Kotłowska poszła do kina z dwojgiem dzieci i zapłaciła za bilety 41zl. Ile kosztował bilet ulgowy, a ile normalny? x-cena biletu ulgowego            x+5- cena biletu normalnego    2x+x+5=41 3x=41-5 3x=36 |:3 x=12 x+5=17 Odp. Bilet ulgowy kosztuje 12 zł a normalny 17 zł

Zadania tekstowe i ich rozwiązanie x- pierwszy rok 0,6x - drugi rok 0,3x- trzeci rok 3,8t- sprzedał razem   x+0,6x+0,3=3,8t 1,9x= 3,8t x=2t                              Ostatni rok 0,3*2t = 0,6t 0,6t=600kg Odp. W ostatnim roku sprzedał 600kg mydła. Pan Zabłocki od trzech lat handluje mydłem. W pierwszym roku interes szedł świetnie . W drugim roku sprzedał o 40 % mydła mniej, a w trzecim roku połowę tego, co w roku poprzednim . W ciągu trzech lat sprzedał 3.8 tony mydła . Ile sprzedał w ostatnim roku?

WIELKOŚCI WPROST PROPORCJONALNE O dwóch wielkościach mówimy, że są wprost proporcjonalne, jeśli wraz ze wzrostem jednej, druga rośnie tyle samo razy. PRZYKŁADY. Liczba kupionych lizaków i kwota, którą należy za nie zapłacić – wraz ze wzrostem liczby kupionych lizaków, tyle samo razy wzrasta kwota, którą należy zapłacić. Odległość na mapie i w terenie – im dłuższy odcinek na mapie, tym proporcjonalnie większa odległość w terenie.

PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Zależność między dwiema wielkościami, których iloraz jest stały nazywamy proporcjonalnością prostą. Liczbę a ≠ 0 nazywamy współczynnikiem proporcjonalności, a o wielkościach x i y mówimy, że są wprost proporcjonalne. UWAGA Z powyższej definicji wynika, że zależność między wielkościami wprost proporcjonalnymi możemy zapisać przy pomocy wzoru y = ax.

PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Przykład 1 Przykład 2 Przykład 3 x-długość boku kwadratu y- obwód kwadratu y=4x Ślimak porusza się ze stałą prędkością 0,2 cm na sekundę. Zależność zmiany długości drogi przebytej przez ślimaka(y) od czasu(x): y=0,2x x-promień okręgu y- długość okręgu

PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA -zadania Rozwiązanie: 40 l-160 zł 1 l-4 zł , a=4 y=4x Wykres: Za 40 litrów benzyny pan Jurek zapłacił 160 zł. Zapisz zależność między kosztem(y) zakupu benzyny a ilością (x) zakupionej benzyny. Sporządź wykres tej zależności.

Proporcjonalność odwrotna Rysunek przedstawia wykres proporcjonalności   odwrotnej danej wzorem: Proporcjonalność odwrotna jest to zależność pomiędzy dwiema   zmiennymi x i y postaci , gdzie a jest liczbą zwaną współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej i a> 0. Zmienna x jest dowolną liczbą różną od zera.                         a = x y         Dwie zmienne nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jeśli ich iloczyn  jest stały. 

Proporcjonalność odwrotna - Przykłady Liczba pracowników potrzebnych do tynkowania ścian budynku zależy od czasu w jakim ta praca ma być wykonana.               20*1=20 10*2=20 5*4=20 a=20 x*y=20

Proporcjonalność odwrotna - Przykłady Za kwotę 45 zł kupujemy cukierki. Przyjmijmy: x-cena 1 kg cukierków w zł y- ilość zakupionych cukierków w kg Zależność między x i y: xy=45

Z historii matematyki Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

Diofantos– matematyk grecki żyjący w III wieku n.e. w Aleksandrii. Z jego głównego dzieła Arytmetyka, składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych. „

Diofantos– matematyk grecki żyjący w III wieku n.e. w Aleksandrii Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równania oraz znak odejmowania . Według legendy na jego nagrobku widniał napis: Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia. Przechodniu, oblicz długość jego życia!’’

TAK PRACOWALIŚMY NA ZAJĘCIACH

http://www.edukacja.edux.pl www.matemaks.pl Podręczniki do matematyki „Matematyka z plusem”

Prezentację wykonali: Marta Głucińska Daria Małek Patryk Zasadziński Michał Grażyński Przemysław Sarnowski Paweł Piechura Piotr Nowacki Marcin Frąckowiak