DANE INFORMACYJNE Gimnazjum Nr 43 w Szczecinie ID grupy: 98/38_MF_G2 Nazwa szkoły: Gimnazjum Nr 43 w Szczecinie ID grupy: 98/38_MF_G2 Opiekun: Magdalena Rębisz Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Logika Semestr/rok szkolny: III/ 2010/2011

Co to jest logika matematyczna? Jest to dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

Logika matematyczna - elementy Zdaniem w sensie matematycznym to zdanie, o którym można powiedzieć jednoznacznie, że jest prawdziwe lub fałszywe. Wartością logiczną dla zdania prawdziwego jest 1, natomiast dla zdania fałszywego wartością logiczną jest 0.Zdania najczęściej oznacza się przez litery: p, q, r i tak dalej. Funkcją zdaniową (formą zdaniową) jest wyrażenie, stające się zdaniem logicznym po wstawieniu na miejsce zmiennej x każdego z elementów należących do dziedziny. Negacją (zaprzeczeniem) zdania p jest zdanie „nieprawda, że p” oznaczamy go przez: ~p 4

Zdania złożone Koniunkcją zdań p i q jest zdanie „p i q”, co oznaczamy: Alternatywą zdań p i q jest zdanie „p lub q”, co oznaczamy

Zdania złożone Implikacją (wynikaniem) zdań p i q jest zdanie „jeżeli p, to q”, co oznaczamy: Równoważnością zdań p i q jest zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”, co oznaczamy:

PRAWA DOTYCZĄCE RACHUNKU ZDAŃ Zdanie logiczne możemy nazwać tautologią*, jeżeli jest prawdziwe zawsze, niezależnie jakie będą wartości zmiennych logicznych, jakie w nim występują. prawo przemienności koniunkcji prawo pochłaniania prawo przemienności alternatywy   prawo pochłaniania prawo łączności koniunkcji  prawo podwójnego zaprzeczenia prawo łączności alternatywy zaprzeczenie koniunkcji - ekskluzja prawo rozdzielczości alternatywy zaprzeczenie alternatywy - binegacja prawo rozdzielczości koniunkcji prawo transpozycji  prawo wyłącznego środka prawo zaprzeczenia implikacji   prawo sprzeczności prawo przechodniości implikacji *  wyrażenie, które jest prawdziwe na mocy swojej formy - budowy

KWANTYFIKATORY Kwantyfikator ogólny lub oznacza: „dla każdego x należącego do….” Kwantyfikator szczegółowy lub oznacza: „istnieje takie x należące do…” Prawa de'Morgana dla kwantyfikatorów:

symbolika

A={-2,2} B={-3,-2,1,0,1,2,3} C={0,3,6,9,12,15,...} Zbiory Zbiór to pojęcie pierwotne,czyli takie, którego się nie definiuje. Opisując zbiór wymieniamy jego elementy lub wskazujemy na własność, która wyróżnia elementy przypisane do tego zbioru. np. A={1,2,3,4,5} B={,,,,} lub C={xN:x7} Ćwiczenie Wypisz wszystkie elementy zbiorów: A={xR:x2=4} B={xC:-4<x<4} C={xN:3|x} A={-2,2} B={-3,-2,1,0,1,2,3} C={0,3,6,9,12,15,...}

Działania na zbiorach Suma zbiorów Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów A i B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy: AB. B A

Suma zbiorów Zadanie 1 Należy wyznaczyć sumę zbiorów A oraz B jeśli: A={1,2,3,4,5} , B={6,7}. Rozwiązanie A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7} Zadanie 2 Należy wyznaczyć sumę zbiorów A oraz B jeśli: A={10,20,30,40}, B={30,40} Rozwiązanie A ∪ B = {10,20,30,40}

Różnica zbiorów Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B. Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem A \ B. B A A\B

Iloczyn (wspólna część zbiorów) Iloczynem zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów. A B

Ćwiczenie Na podstawie diagramu wymień elementy zbiorów: A, B, AB, AB, A\B, B\A. A B 10 3 15 6 12 4 8 9 2 A={2,4,6,8,10,12} B={3,6,9,12,15} AB={2,3,4,6,8,9,10,12,15} AB={6,12} A\B={2,4,8,10} B\A={3,9,15}

Dopełnienie zbioru do przestrzeni

Działania na zbiorach

Bibliografia http://pl.wikipedia.org/wiki/Rachunek_zda%C5%84 http://pl.wikipedia.org/wiki/Tautologia_%28logika%29 http://www.majchrowski.waw.pl/mater/temat02a/temat02a.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Dope%C5%82nienie_zbioru