1

DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Bralinie ID grupy: 98/78 MF G2 Opiekun: Piotr Szczepaniak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Geometria w programie Geogebra Semestr/rok szkolny: sem. III, rok szk. 2010/2011 2

Spis treści Geometria Historia geometrii Geometria euklidesowa Euklides 365-300 r. p.n.e.. Elementy Aksjomaty Euklidesa David Hilber 1862-1943 Aksjomatyka Hilberta Współczesne pojęcie geometrii Pojęcie pierwotne Podstawowe pojęcia geometrii Płaszczyzna Punkt Prosta Dlaczego Geogebra? Geogebra Możliwości Geogebry w skrócie Geogebra w internecie Materiały edukacyjne Obsługa programu Geogebra Od czego zacząć? Konstrukcja geometryczna Zasady konstrukcji Zasady konstrukcji w programie Geogebra Geogebra na lekcji matematyki Układ współrzędnych Układ współrzędnych - zadania Figury geometryczne Prosta prostopadła Prosta równoległa Symetralna odcinka Symetralna odcinka - własności Dwusieczna kąta Dwusieczna kąta - zadania Konstrukcja kąta 60 stopni Konstrukcja kąta 30 stopni Konstrukcja kąta 45 stopni Wielokąty Warunek istnienia trójkąta Trójkąt różnoboczny Trójkąt równoramienny Trójkąt równoboczny Trójkąt ostrokątny Trójkąt prostokątny Trójkąt rozwartokątny Suma miar katów wewnętrznych trójkąta Miara kąta zewnętrznego trójkąta Czworokąty Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta Trapez Romb - konstrukcja Pola wielokątów Okrąg i koło Prosta i okrąg Wzajemne położenie dwóch okręgów Kąt środkowy i wpisany Okrąg opisany na czworokącie Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt Konstrukcja stycznej do okręgu Konstrukcja pięciokąta foremnego Konstrukcja sześciokąta foremnego Symetria osiowa Figury osiowosymetryczne Symetria środkowa Twierdzenie Pitagorasa Trójkąt egipski Twierdzenie Pitagorasa - zadanie Twierdzenie Talesa Podział odcinka w danym stosunku Funkcja liniowa Stereometria Bibliografia

Geometria Jest to dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii. Geometria, podobnie jak arytmetyka należy do jednych z najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi. 5

Historia geometrii Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później. Więcej na 6

Geometria euklidesowa Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. Szkoła Euklidesa w Atenach (Obraz Raffaello Sanzio, 1509) 7

Euklides 365-300 r. p.n.e.. Matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii. Autor pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło to Elementy (tytuł grecki Stoicheia geometrias). Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb. Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Elementy były bardzo poczytne - przetłumaczono je na olbrzymią liczbę języków, zaś liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Euklides usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, optyki (m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki. 8

Elementy pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk. Elementy ukształtowały sposób myślenia o teoriach matematycznych i stały się wzorcem do naśladowania w wielu dziedzinach nauki. Są klasycznym przykładem metody dedukcyjnej i świadectwem siły rozumowania formalnego opartego na logice. Uznawane są za jedno z najsłynniejszych dzieł naukowych w historii ludzkości. 9

Aksjomaty Euklidesa W ujęciu tradycyjnym, nazywanym geometrią syntetyczną, geometria euklidesowa przedstawiana jest jako system aksjomatyczny, w którym wszystkie twierdzenia muszą wynikać z aksjomatów, czyli zdań przyjmowanych z góry jako prawdziwe. W podanym przez siebie systemie Euklides wyróżnił pięć aksjomatów lub pewników płaszczyzny nazywanej później również euklidesową: Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. Wszystkie kąty proste są przystające. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony. 10

David Hilber 1862-1943 Matematyk niemiecki. Zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej. 11

Aksjomatyka Hilberta zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej podany przez Davida Hilberta w roku 1899 w jego pracy Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). System Hilberta jest podstawą większości współczesnych ujęć geometrii euklidesowej. Hilbert podał swój system aksjomatów po tym, jak pod koniec XIX wieku okazało się, że zestaw pewników Euklidesa podany w Elementach zawiera luki. System Hilberta jest już zupełny. Pojęciami pierwotnymi (tj. niedefiniowalnymi) są: punkt, prosta, płaszczyzna, leżeć na, zawierać się w, pomiędzy, przystawać. Aksjomaty, opisujące własności pojęć pierwotnych podzielone są na grupy. Więcej na: 12

Współczesne pojęcie geometrii Pojęcia pierwotne ze swej natury nie są formalnie definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotne spełniają wszystkie jej aksjomaty (pewniki Euklidesa, czy aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii. Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej. Przestrzeń kartezjańska jest szczególnie wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie. Okazuje się zresztą, że aksjomaty Euklidesa nie są wystarczające do rozstrzygnięcia prawdziwości lub fałszywości pewnych twierdzeń. Można to jednak zrobić metodami analitycznymi w przestrzeni kartezjańskiej. 13

Pojęcie pierwotne Obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje. 14

Podstawowe pojęcia geometrii Jak już wcześniej wspomnieliśmy, w geometrii euklidesowej wyróżniono pewne pojęcia podstawowe. Zwrócimy tu uwagę na: płaszczyznę, punkt i prostą. 15

Płaszczyzna Jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów. Płaszczyzna w geometrii euklidesowej Płaszczyzna w geometrii analitycznej 16

Punkt Punkt - najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. Punkt ma zawsze zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznacza się na rysunku jako x (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznacza wielkimi literami alfabetu łacińskiego (A, B, C). W przestrzeni kartezjańskiej punkt możemy zdefiniować jako parę uporządkowaną liczb rzeczywistych. Pierwszą próbę opisania pojęcia punktu podjął Euklides: Punkt to jest to, co nie składa się z części (czego nie można rozłożyć na części). Dla Euklidesa punkt jest "miejscem" bez wymiarów, co oddał w swoich postulatach czy twierdzeniach. Na przykład: "dwie proste przecinają się w punkcie...", "z punktu można zakreślić okrąg...". Zwykle jednak słowa "punkt" używa się jedynie w odniesieniu do elementów przestrzeni euklidesowej, lub innych przestrzeni geometrycznych. 17

Prosta W klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Inne znalezione ciekawe definicje: „Szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.” Według Euklidesa: „linia jest długością bez szerokości, linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku.” 18

Dlaczego Geogebra? Oto kilka dowodów na to, że komputer wspomaga matematykę: Dowody twierdzeń wymagających ogromnej ilości obliczeń, np. twierdzenie o 4 barwach. Dowodzenie twierdzeń: komputery znalazły krótkie dowody hipotez, których przez dziesiątki lat nie potrafili udowodnić ludzie. Sprawdzanie poprawności dowodów. Wysuwanie hipotez matematycznych - komputer gra rolę partnera. Obliczanie całek nieoznaczonych i rozwiązywanie równań: algebra symboliczna. Dzięki komputerom powstały całe nowe działy matematyki, np. geometria fraktalna. 19

Dlaczego Geogebra? Komputerowe dowody są często znacznie pewniejsze niż dowody klasyczne, w których jest sporo błędów. Przykładem mogą być tablice całek, w których programy do algebry symbolicznej znajdowały od 10 do 25% błędnie podanych całek. Jakie odkrycie polskiego matematyka zrobiło największą karierę? W 1946 roku Stanisław Ulam, układając w szpitalu pasjansa, wpadł na pomysł rachunku Monte Carlo. Jest to metoda uniwersalna, pod warunkiem, że mamy pod ręką narzędzie które potrafi w ciągu sekundy zbadać miliony przypadkowych możliwości. Jedynie komputery dają nam takie możliwości. Projekt QED (od ,,Quod Erant Demonstratum”) zmierza on do zbudowania komputerowego systemu w którym zgromadzona zostanie cała wiedza ludzkości o matematyce! Wniosek: My też tak chcemy! 20

Geogebra GeoGebra jest bezpłatnym wieloplatformowym dynamicznym oprogramowaniem matematycznym dla wszystkich poziomów edukacji, które łączy geometrię, algebrę, tabele, grafikę, statystykę i analizę matematyczną w jednym łatwym do użycia pakiecie. Otrzymała wiele nagród dla oprogramowania edukacyjnego w Europie i USA. 21

Możliwości Geogebry w skrócie Grafika, algebra i tabele są połączone i w pełni dynamiczne. Łatwy w obsłudze interfejs. Autorskie narzędzie do tworzenia interaktywnych materiałów edukacyjnych jako stron internetowych. Dostępna w wielu językach dla milionów użytkowników na całym świecie. Bezpłatne oprogramowanie typu open source. Ciekawym ułatwieniem związanym z użytkowaniem Geogebry jest to, że nie wymaga ona bezpośredniej instalacji na komputerze użytkownika. Program może być uruchomiony bezpośrednio ze strony za pomocą dowolnej przeglądarki korzystającej ze środowiska Java. Sprawdź sam: 22

Geogebra w internecie http://geogebra.org Główną stroną programu jest: Można znaleźć tam sam program w dziale Download. Dodatkowo zamieszczono szereg materiałów do nauki obsługi Geogebry. Jest również specjalne miejsce dla społeczności związanej z projektem. Dodatkowo możemy skorzystać ze stron na Facebook oraz Twitter. Geogebra ma również swój kanał na YouTube . 23

Materiały edukacyjne Sam program nie wymaga wielkiej wiedzy informatycznej, aby z niego korzystać. Oczywiście nie obejdzie się bez wiedzy matematycznej, bez której raczej nie zrozumiemy filozofii jego działania. Ale o tym w dalszej części naszej prezentacji. Na stronie Geogebry jest specjalny dział poświęcony materiałom edukacyjnym. Oczywiście nie ma sensu tracić czasu na tworzenie bardziej zaawansowanych skryptów w programie, skoro zrobił to ktoś wcześniej i udostępnił innym. 24

Materiały edukacyjne Zbiór materiałów edukacyjnych dostępnych na stronie zawiera pomoce nie tylko z matematyki. Oto ogólna lista: 1 Matematyka 1.1 Arytmetyka 1.2 Planimetria 1.3 Stereometria 1.4 Geometria analityczna na płaszczyźnie 1.5 Geometria analityczna w przestrzeni 1.6 Funkcje 1.7 Równania i układy równań, nierówności 1.8 Rachunek różniczkowy i całkowy 1.9 Inne 2 Fizyka 3 Informatyka 4 Geografia 5 Rozrywka 25

Obsługa programu Geogebra Jak większość urządzeń z których korzystamy na co dzień, również Geogebra wykorzystała tzw. intuicyjne menu. Jak widać na powyższym screenie, wszystkie podstawowe funkcje zostały odpowiednio pogrupowane. Oczywiście możemy je odpowiednio rozbudować na swoje potrzeby. Nie ma sensu opisywać poszczególnych funkcji programu. Wystarczy sięgnąć do bardzo dobrze przygotowanej pomocy dostępnej w górnym menu. W trudnych przypadkach warto zadać pytanie na forum Geogebry. 26

Od czego zacząć? Po uruchomieniu programy, jak już wcześniej wspomnieliśmy, widzimy dwa menu. Jedno typowe dla każdego innego programu, drugie dotyczące ściśle pola działań Geogebry. Tutaj jednak pojawia się problem. Od czego zacząć? Okazuje się, że jedynym słusznym rozwiązaniem, jest sięgnięcie nie tylko do pomocy samego programu, ale do podręcznika z matematyki. To tam znajdziemy pełną instrukcję obsługi programu Geogebra. Dziwne? Przekonajmy się... zacznijmy od pojęcia konstrukcji geometrycznej. 27

Konstrukcja geometryczna Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki. Widzimy więc, że podstawowymi narzędziami przy obsłudze programu Geogebra będą: punkt, prosta i okrąg. 28

Zasady konstrukcji Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane: - dwie proste - prostą i okrąg - dwa okręgi można znaleźć ich punkty wspólne, lub stwierdzić że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone. 29

Zasady konstrukcji Poniższy rysunek przedstawia podstawowe „ruchy” w konstrukcjach geometrycznych. 30

Zasady konstrukcji w programie Geogebra Patrz slajd: Zasady konstrukcji. 31

Zasady konstrukcji w programie Geogebra Na poniższym rysunku, wykonanym w programie Geogebra, widzimy podstawowe „ruchy” konstrukcji klasycznej. 32

Geogebra na lekcji matematyki Dzięki projektowi „Z fizyka, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat!!!”, nasza pracownia matematyczna została wyposażona w tablicę interaktywną. Sprzęt ten w połączeniu z programem Geogebra okazał się wspaniałą pomocą na lekcjach matematyki. W dalszej części naszej prezentacji przedstawimy wybrane zagadnienia matematyki, którymi zajmujemy się w gimnazjum oraz przykłady zastosowań programu Geogebra. 33

Układ współrzędnych II ćwiartka I ćwiartka Oś liczbowa OX – oś odciętych Początek układu współrzędnych Oś liczbowa OY – oś rzędnych III ćwiartka IV ćwiartka 34

Układ współrzędnych - zadania Zadanie. Odczytaj współrzędne punktu w układzie współrzędnych. Kliknij poniższy obrazek, aby uruchomić ćwiczenie w programie Geogebra. 35

Układ współrzędnych - zadania Zadanie. Odczytaj współrzędne punktu A. Kliknij obrazek, aby uruchomić ćwiczenie w programie Geogebra. 36

Współrzędne punkt - zadania Zadanie. Jaką figurę geometryczną otrzymamy po połączeniu kolejno punktów A = (-1, 1), B = (4, 1), C = (3, 4) i D = (0, 4)? Do rozwiązania tego zadania możesz użyć programu Geogebra. 37

Współrzędne punkt - zadania Rozwiązanie zadania. Odp. Szukaną figurą jest trapez równoramienny. 38

Figury geometryczne Kreślenie prostych prostopadłych i prostych równoległych. W dalszej części przedstawimy opisy konstrukcji wygenerowane za pomocą programu Geogebra. W tym celu skorzystaliśmy z tzw. protokołu konstrukcji. 39

Prosta prostopadła I. Konstrukcja prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt A nie leżący na danej prostej. 40

Prosta prostopadła – opis konstrukcji 41

Prosta prostopadła II. Konstrukcja prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt A leżący na danej prostej. 42

Prosta prostopadła Opis konstrukcji. 43

Prosta równoległa Konstrukcja prostej równoległej do danej przechodzącej przez punkt A. 44

Prosta równoległa – opis konstrukcji 45

Symetralna odcinka Konstrukcja symetralnej odcinka 46

Symetralna odcinka – opis konstrukcji 47

Symetralna odcinka - własności Zadanie. Z pomocą programu Geogebra, zbadaj własności symetralnej odcinka. 48

Symetralna odcinka - własności Wniosek. Punkt przecięcia odcinka z jego symetralną jest jego środkiem. 49

Symetralna odcinka - własności Zadanie. Co można powiedzieć o końcach odcinka i punktach leżących na jego symetralnej? 50

Symetralna odcinka - własności Wniosek. Punkty leżące na symetralnej odcinka leżą w równej odległości od jego końców. W konstrukcjach można wykorzystać tzw. ślad obiektu. 51

Symetralna odcinka Zadanie. Dany odcinek podziel na 4 równe części. Geogebra zawiera gotowy skrypt symetralnej odcinka 52

Dwusieczna kąta Zadanie. Dany kąt podziel na dwie równe części. 53

Dwusieczna kąta – opis konstrukcji 54

Dwusieczna kąta - zadania Zadanie. Wyznacz kąty o miarach 30, 45 i 60 stopni. Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od największego z kątów – 60 stopni. Badając wielokrotności liczby 60 dochodzimy do 180. Figurą, której suma miar wszystkich kątów wynosi 180 stopni jest trójkąt. Tylko trójkąt równoboczny ma wszystkie miary kątów równe, zatem tam właśnie znajdziemy kąt 60 stopni. Kąt 30 stopni otrzymamy wyznaczając dwusieczną kąta 60 stopni. Kąt 45 stopni otrzymamy z dwusiecznej kąta 90 stopni. Sam kąt 90 stopni otrzymamy z konstrukcji prostej prostopadłej. 55

Konstrukcja kąta 60 stopni 56

Konstrukcja kąta 30 stopni Na podstawie skryptu z poprzedniego slajdu i gotowego skryptu dwusiecznej kąta, dzielimy kąt 60 stopni na dwie równe części. 57

Konstrukcja kąta 45 stopni Do wyznaczenia prostej prostopadłej korzystamy z gotowego skryptu. Podobnie przy dwusiecznej kąta 90 stopni. 58

Wielokąty Wielokąt jest to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną. Zadanie. Z pomocą programu Geogebra, zbadaj własności następujących trójkątów: - równoboczny, - równoramienny, - różnoboczny, - ostrokątny, - prostokątny, - rozwartokątny. Rozwiązanie. Do zbadania własności powyższych trójkątów wystarczy skorzystać z jednego skryptu dowolnego trójkąta. Czy na pewno? 59

Warunek istnienia trójkąta Poniżej zamieściliśmy skrypt, który pokazuje warunek istnienia trójkąta. Przejdź do skryptu 60

Trójkąt różnoboczny Ma wszystkie boku różnych długości. 61

Trójkąt równoramienny Ma dwa boki równej długości. Kąty przy podstawie są równe (podstawa w tym przypadku to bok o długości różnej od pozostałych). Uwaga! W tym przypadku wykorzystanie skryptu okazało się błędne ze względu na rozdzielczość ekranu. Pomimo równych ramion kąty przy podstawie nie mają równych miar. 62

Trójkąt równoboczny Do konstrukcji trójkąta równobocznego skorzystaliśmy z gotowego skryptu konstrukcji wielokąta foremnego. Ma wszystkie boki równej długości i kąty równej miary. 63

Trójkąt ostrokątny Ma wszystkie kąty ostre. 64

Trójkąt prostokątny Jeden z kątów ma miarę 90 stopni. Boki BC i AC to przyprostokątne. Bok AB to przeciwprostokątna. 65

Trójkąt rozwartokątny Jeden z kątów jest rozwartokątny. Pozostałe dwa kąty są ostre. 66

Suma miar katów wewnętrznych trójkąta Zadanie. Narysuj dowolny trójkąt ABC i określ sumę miar jego kątów wewnętrznych. Jak widać na rysunku odpowiednie kąty są naprzemianległe wewnętrznie. Otrzymaliśmy w ten sposób kąt półpełny. Suma miar kątów wynosi 180 stopni. 67

Miara kąta zewnętrznego trójkąta Zadanie. Wykaż, że miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. 68

Czworokąty Narysuj dwie proste równoległe, a następnie wykreśl kolejno czworokąty: trapez, równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat tak, aby dwa przeciwległe boki każdego z tych czworokątów położone były na tych prostych. Narysuj w nich przekątne. Opisz te czworokąty. 69

Czworokąty 70

Czworokąty Trapez – ma parę boków równoległych zwanych podstawami. Równoległobok – ma dwie pary boków równych i równoległych. Jego przekątne dzielą się na połowy. Przeciwległe kąty mają równe miary. Romb – ma wszystkie boki równej długości. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Przeciwległe kąty mają równe miary. Prostokąt – ma wszystkie kąty proste, dwie pary boków równych i równoległych. Jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy. Kwadrat – ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty proste. Jego przekątne są równej długości, przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. 71

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta Zadanie. Wykaż, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360 stopni. Dowolny czworokąt można podzielić jego przekątną na dwa trójkąty, których sumy kątów wewnętrznych wynaszą po 180 stopni. 72

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta Rozwiązanie II Przejdź do skryptu 73

Trapez Zadanie. Zbadaj miary kątów w trapezie. 74

Trapez Zadanie. Zbadaj własności trapezu równoramiennego. W trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są równe. 75

Romb - konstrukcja Zadanie. Skonstruuj romb, gdy dane są jego przekątne. Przejdź do skryptu 76

Pola wielokątów W prezentacji naszej skupiliśmy się na konstrukcyjnych dowodach wzorów pól odpowiednich wielokątów. Same wzory można odnaleźć w tablicach matematycznych, które dostępne są w każdej bibliotece. Zapraszamy do lektury. 77

Pole trójkąta Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - I ilustracja wzoru na pole trójkąta. - II ilustracja wzoru na pole trójkąta. 78

Pole trójkąta – ilustracja graficzna 1 2 3 79

Pole trapezu Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - I ilustracja wzoru na pole trapezu. - II ilustracja wzoru na pole trapezu. 80

Pole trapezu – ilustracja graficzna 1 2 81

Pole równoległoboku Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - ilustracja wzoru na pole równoległoboku. 82

Pole równoległoboku – ilustracja graficzna 1 2 3 83

Pole rombu Romb jest szczególnych przypadkiem równoległoboku. 84

Pole deltoidu Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - ilustracja wzoru na pole deltoidu. 85

Pole deltoidu – ilustracja graficzna 1 2 3 86

Okrąg i koło Przykład graficznej ilustracji na przybliżenie pola koła. (link do skryptu). 87

Prosta i okrąg Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest większa od długości promienia, to nie mają one punktów wspólnych. Przejdź do skryptu 88

Prosta i okrąg Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu, to mają one jeden punkt wspólny. 89

Prosta i okrąg Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od długości promienia okręgu, to mają one dwa punkty wspólne. 90

Wzajemne położenie dwóch okręgów Zapraszamy do zabawy skryptem. 91

Kąt środkowy i wpisany Zadanie. Wykaż, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Przejdź do skryptu 92

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku Zadanie. Wykaż, że dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary. Przejdź do skryptu 93

Kąt wpisany oparty na półokręgu Zadanie. Jaką miarę ma kąt wpisany oparty na półokręgu? Przejdź do skryptu Odp. Kąt wpisany oparty na półokręgu ma miarę 90 stopni. 94

Okrąg opisany na czworokącie Zadanie. Wykaż na dowolnym czworokącie, że sumy miar naprzeciwległych kątów w czworokącie wpisanym w okrąg są równe. Przejdź do skryptu 90+90=53,13+126,87=180 95

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny Zadanie. Zbadaj własności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Przejdź do skryptu 96

Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie 97

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt 98

Konstrukcja stycznej do okręgu 99

Wielokąty 100

Wielokąty 101

Wielokąty 102

Wielokąty 103

Wielokąty 104

Wielokąty 105

Wielokąty 106

Konstrukcja pięciokąta foremnego Uruchom skrypt, aby zobaczyć konstrukcję 107

Konstrukcja sześciokąta foremnego Uruchom skrypt, aby zobaczyć konstrukcję 108

Symetria osiowa Zadanie. Dany wielokąt przekształć w symetrii osiowej względem dowolnej prostej. Co można powiedzieć o wierzchołkach wielokątów? Przejdź do skryptu 109

Figury osiowosymetryczne Zadanie. Zbadaj liczbę osi symetrii szcześciokąta foremnego. Odp. Sześciokąt foremny ma 6 osi symetrii. 110

Symetria środkowa Zadanie. Dane są punkty A, B, C i D. Zbadaj ich współrzędne przekształcając je w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Przejdź do skryptu 111

Twierdzenie Pitagorasa Zadanie. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym, suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. 112

Twierdzenie Pitagorasa – dowód I Link do skryptu 113

Twierdzenie Pitagorasa – dowód II 2 1 3 Link do skryptu 114

Trójkąt egipski Przejdź do skryptu 115

Twierdzenie Pitagorasa - zadanie Zadanie. Jak skonstruować odcinek o długości ? Do konstrukcji wykorzystamy ślimaka pitagorejskiego. Przejdź do skryptu 116

Twierdzenie Talesa Zadanie. Sprawdź słuszność twierdzenia Talesa na wybranych przykładach. Przejdź do skryptu 117

Twierdzenie Talesa - zadanie Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b. W trójkąt wpisany jest kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki leżą na przeciwprostokątnej, a pozostałe dwa po jednym na obu przyprostokątnych. Oblicz pole tego kwadratu. 118

Podział odcinka w danym stosunku Korzystając z twierdzenia Talesa możemy podzielić dowolny odcinek w danym stosunku. Przykładem może być poniższy skrypt w programie Geogebra. Przejdź do skryptu 119

Funkcja liniowa Zadanie. Zbadaj własności funkcji liniowej danej w postaci y=2x-1. Funkcja liniowa ma miejsce zerowe x=1 (punkt A), oś OY przecina w punkcie B=(0,-1). Jest funkcją rosnącą. Dla x>1 przyjmuje wartości dodatnie. Dla x<1 przyjmuje wartości ujemne. 120

Stereometria Program Geogebra w obecnej wersji nie posiada funkcji tworzenia obrazów trójwymiarowych. Jedynie za pomocą odpowiednich skryptów można generować figury geometryczne przestrzenne. Niestety ta wiedza wykracza poza podstawę programową w gimnazjum. 121

Bibliografia pl.wikipedia.prg geogebra.org „Z Pitagorasem przez gimnazjum” St. Durydiwka, Wydawnictwo „Adam”. 122

123