(5-6) Dynamika, grawitacja zasady dynamiki Newtona, całkowanie równań ruchu, praca, moc, energia, `zasada zachowania energii, grawitacja, pole grawitacyjne. zasada zachowania pędu, siły pozorne w układach nieinercjalnych

Pierwsza zasada dynamiki Newtona powtórzenie Na ciało, na które nie działa żadna siła, ma prędkość stałą. jest to zdanie Galileusza postulat istnienia układu inercjalnego

Druga zasada dynamiki Newtona powtórzenie masa (bezwładna) jest wielkością addytywną, doświadczenie Galileusza (g=const)  masa ciężka jest równa masie bezwładnej, definiujemy pęd

Druga zasada dynamiki Newtona Siła jest przyczyną zmiany prędkości (przyspieszenia) podstawa determinizmu Równanie ruchu: równania różniczkowe, rozwiązaniami równania różniczkowego (całka) są funkcje: Równanie prędkości: Równanie drogi:

Rzut ukośny v0 v0 sin a v0 a g v0 cos a a h z x określamy układ odniesienia wypisujemy równanie ruchu ustalamy parametry i warunki początkowe(stałe całkowania) rozwiązujemy (dwukrotnie całkujemy równanie ruchu). z v0 v0 v0 sin a a g v0 cos a h a x

Rzut ukośny równanie prędkości równanie ruchu warunki początkowe Całka (nieoznaczona, ogólna) równania ruchu warunki początkowe wyznaczają stałe całkowania z v0 v0 =50 m/s v0 sin a a=36.87 g=10 m/s2 v0 cos a a h x

Równoważny zapis całkowania całka oznaczona równanie ruchu warunki początkowe Całka (nieoznaczona, ogólna) równania ruchu warunki początkowe wyznaczają stałe całkowania Równoważny zapis całkowania całka oznaczona

Rzut ukośny, równanie położenia Równanie (definicja v) warunki początkowe Całka (nieoznaczona, ogólna) równania ruchu warunki początkowe wyznaczają stałe całkowania

Rzut ukośny – inne wielkości

Rzut ukośny Tor, z(x)

Rzut ukośny przyspieszenie styczne i normalne, kierunek ruchu (prędkość). krzywizna toru

Energia Zasada zachowania energii Poszukujemy wielkości fizycznych, które się zachowują (są stałe w jakimś procesie)

Energia kinetyczna i potencjalna Ruch ciała w polu grawitacyjnym (rzuty) Wprowadzamy pojęcie energii potencjalnej (pola grawitacyjnego) i energii kinetycznej. Całkowita energia jest stałą ruchu (zachowuje się).

Dwa podejścia ciało + Ziemia Ciało Praca całkowita energia jest stała energia (kinetyczna) ciała się zmienia, bo siła grawitacyjna Ziemi wykonuje pracę nad ciałem Praca Zmiana energii równa pracy wykonanej nad ciałem

Iloczyn skalarny wektorów B A B cos(A,B) rzut wektora B na wektor A

Warunek ortogonalności: wektory są prostopadłe gdy: Obliczanie cosinusa kąta pomiędzy dwoma wektorami z A Warunek ortogonalności: wektory są prostopadłe gdy: Az qz Ay y Kosinusy kierunkowe Ax x Długość wektora, współrzędne, jedynka trygonometryczna

Praca i moc Praca wykonana przez silę F na odcinku drogi Moc dostarczana do układu. Siła F przyłożona co ciała poruszającego się z prędkością v

Praca w polu grawitacyjnym swobodny spadek powolne unoszenie wkładamy pracę unoszenie h h F=P=mg h P=mg P=mg kula ma potencjalną zdolność wykonania pracy obniżanie Siła zewnętrzna wykonuje pracę nad kulą W=mgh Siła grawitacji wykonuje pracę nad kulą W=mgh

Energia potencjalna Dr=[Dr sinq, 0, Dr cosq] siła zewnętrzna, F, wykonuje pracę nad układem kula+Ziemia F=P=mg=[0,0,-mg] Dr=[Dr sinq, 0, Dr cosq] Dr cosq Dr sinq P=mg wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!

Energia potencjalna hB hA F=P=mg hA wkład pracy zależy jedynie od zmiany wysokości !!!

Pole potencjalne Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym Praca, WAB, w polu grawitacyjnym nie zależy od toru, zależy jedynie od miejsca rozpoczęcia,rA, i zakończenia, rB. Każdemu punktowi w przestrzeni można tak przypisać energię potencjalną, Ep(r), żeby: WAB = Ep(rB)- Ep(rA). Jedynie różnica energii potencjalnej ma sens fizyczny. Energia potencjalna określona jest z „dokładnością do stałej addytywnej”. Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym

Pole grawitacyjne Siła, natężenie pola, potencjał Siła = gradient potencjału

Pole grawitacyjne Prawo grawitacji Newtona

Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu II zasada dynamiki pęd całkowity: siły wewnętrzne nie zmieniają pędu układu brak sił zewnętrznych – pęd stały

Środek masy pęd całkowity, to pęd środka masy pęd całkowity względem środka masy = 0 bardzo wygodny układ odniesienia

Rozpad nie zmienia ruchu środka masy. Pęd względem środka masy pozostaje zerowy

Zderzenie osiowe dwu kul Zderzenie dokładnie osiowe (przypadek jednowymiarowy) Pomijamy rotację kul Zderzenie sprężyste – z zachowaniem energii y M1 v1 m2 v1’ x v2’ W układzie (x,y,z) przed zderzeniem pęd: energia: po zderzeniu pęd: energia:

Zderzenie osiowe dwu kul Zderzenie dokładnie osiowe (przypadek jednowymiarowy) Pomijamy rotację kul y v1=v0-vs v2=-vs vs v1’ M1 m2 vs v2’ x v0 W układzie środka masy przed zderzeniem pęd: energia: po zderzeniu pęd: energia: Wartość Ekin zależy od układu odniesienia, ale prawo zachowania energii pozostaje niezmienne

Zderzenie nieosiowe Pomijamy rotację kul v2’ v1=v0-vs v2=-vs vs vs v0 x v0 m2 v1’

Zasada zachowania pędu Zderzenia (elastyczne i nie elastyczne) pęd zawsze zachowany, w nieelastycznych straty energii. rozpady (cząstek elementarnych, pocisków, etc) czy można podnieść się za włosy? „odrzut” karabinu, wyskakiwaliście z lekkiej łódki? wiele innych.

Zderzenia nieelastyczne (ze stratą energii i zachowanym pędem)

Przekaz pędu jest skutkiem sił wewnętrznych.

Nie elastyczne zderzenia i rozpady cząstek: pęd zachowany energia kinetyczna nie zachowana.

Silnik odrzutowy: siła ciągu jest skutkiem wyrzucania masy gazu

Siły pozorne w układach nieinercjalnych (1) siła bezwładności przy przyspieszaniu, „nieważkość” przy swobodnym spadku, siła odśrodkowa (przyspieszenie dośrodkowe), siła Coriolisa, wahadło Foucault’a

Siły pozorne w układach nieinercjalnych (1) hamujący tramwaj (przyspieszenie liniowe) Na ciało o masie m musi działać realna siła, F=ma by mogło przyspieszać razem z tramwajem. pasażer nieświadomy faktu, ze tramwaj przyspiesza, jest przekonany, że działa na niego dodatkowa siła (bezwładności) Fb=-ma Uwaga na znak!!! a Fb =-ma F=ma

Siły pozorne w układach nieinercjalnych (2) winda przyspiesza (przyspieszenie liniowe) N=mg+ma Na ciało przyspieszające z, przyspieszeniem a musi działać realna siła wypadkowa F=ma. Na ciało w windzie przyspieszającej ku górze musi działać realna siła nacisku podłogi, N, która zrównoważy siłę ciężkości P=mg i dodatkowo spowoduje przyspieszenie ciała, tzn, pokona siłe F=ma. Dla pasażera nieświadomego przyspieszania windy siła bezwładności F=-ma jest siłą pozorną wynikającą z nieinercjalności układu obserwatora F=ma a Fb =-ma P=mg

Siły pozorne w układach nieinercjalnych (3) karuzela (przyspieszenie dośrodkowe) Fb =-ma Ciało w obracającym się układzie doznaje przyspieszenia dośrodkowego an=w2r. Aby ciało mogło przyspieszać musi działać na nie realna siła dośrodkowa Fn=man. Dla obserwatora związanego z obracającym się układem pojawia się odśrodkowa siła bezwładności F=-ma. an F=man

Co jest siłą realną co pozorną? Musi działać realna siła, fs, (Ziemia na opony), która zakrzywia tor samochodu. Kierowca też zakrzywia tor – fotel działa na niego siłą dośrodkową. Kierowca odczuwa działanie siły pozornej, która wciska go w fotel.

Jak liczyć siły pozorne? należy wybrać inercjalny układ odniesienia; zapisać w nim transformację, tzn.: ruch nowego, nieinercjalnego układu odniesienia, ruch ciała w tym nowym układzie; przyspieszenie w układzie inercjalnym określa siłę działającą na to ciało.

Transformacje (1) Galileusza - jednostajny ruch układów odniesienia) r’(t) z r(t) y’ R(t) x’ y Przyspieszenie nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia. x

Transformacje (2) ruch postępowy - przyspieszenie liniowe układu z’ z r’(t) z r(t) y’ R(t) x’ y obserwator w układzie primowanym obserwuje siłę bezwładności Fb= -mA. x

Transformacje w ruchu obrotowym (3) vrot =wr’ z’ r’(t) z r(t) y’ R(t) x’ y x

Transformacje (4) ruch obrotowy w vrot =wr’ z’ z y’ x’ y x r’(t) r(t)

Transformacje (5) ruch obrotowy zmiana predkości kątowej dw w a z’ y’ r’(t) y’ x’

Transformacje (5) ruch obrotowy przyspieszenie Coriolisa w v’ a z’ y’ poprzeczne do ruchu poprzeczne do w w v’ a z’ r’(t) y’ x’

Transformacje (5) ruch obrotowy przyspieszenie dośrodkowe w a z’ y’ x’ poprzeczne do ruchu niezależne od prędkości w a z’ r’(t) y’ x’

Jaka jest prędkość?

Z zasady zachowania energii