Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych Wielo-celowe Programowanie Liniowe (WCPL) Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez transformację części funkcji celu lub ich usunięcie prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności? Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ograniczenia (MO) (ang. constraint method)

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ograniczenia Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Twierdzenie MO1 Jeżeli jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości tojest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Jeżeli unikatowość rozwiązania zagadnienia MO nie jest gwarantowana, wówczas jedynie słabe rozwiązanie Pareto optymalne jest gwarantowane

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Twierdzenie MO2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Przykład:

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zastosowanie teorii użyteczności. Metoda agregacji (metoda ważenia) Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ważenia (ang. weighting method) Przykład Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach. Faktycznie, jeżeli taka kombinacja wydaje się rozsądna i może być zrealizowana, to na pewno powinna być wykorzystana w modelach wielocelowych

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, znaleźć funkcję użyteczności, i że ma ona formę sumy z wagami: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia: Znaleźć wartości i takie, które: maksymalizują (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Zalety Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiedniej funkcji użyteczności Różne zastosowane założenia i leżąca u podstaw teoria użyteczności mogą nie najlepiej odpowiadać sytuacji

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności?

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ważenia (MW) Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia gdzie

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Twierdzenie MW1 Jeżeli jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości tojest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Twierdzenie MW2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości Geometrycznie dla przypadku ogólnego k funkcji celu, czyli w przestrzeni celów jest hiperpłaszczyzną z normalnym do niej wektorem

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 dla której hiperpłaszczyzna wartości funkcji celu staje się hiperpłaszczyzna podpierającą zbioru rozwiązań dopuszczalnych Rozwiązując zagadnienie MW dla danych wartości uzyskujemy najmniejszą wartość

Komputerowe Wspomaganie Decyzji 2010/2011 Zagadnienia wielocelowe II Dr hab. inż. Kazimierz Duzinkiewicz, Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Można sformułować zagadnienie badania wrażliwości zagadnienia MW na zmiany wartości współczynników wagowych