Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych Przykład 1: obiekt - czwórnik RC Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe czwórnika z napięciem wyjściowym, przy nie obciążonym prądowo wyjściu czwórnika

Zmienne obiektu: - spadku: uwe(t), uwy(t), uR(t), uC(t), - wejście: uwe(t) - naporu: iR(t), iC(t), iobc(t), - wyjście: uwy(t),

Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoff’a dla wejściowego oczka: Uwzględnienie założeń: Założenie:

Uwzględnienie tożsamości (więzów): Wypisanie zależności wiążących dla elementów czwórnika:

Podstawienia – wykorzystanie założeń, tożsamości i zależności wiążących:

Model matematyczny: Równanie różniczkowe: lub: z warunkiem początkowym:

Przy ustalaniu warunków początkowych przydatne wskazówki Przypomnijmy zależności wiążące wartości napięcia i prądu na podstawowych elementach układów elektrycznych - możliwa skokowa zmiana prądu - możliwa skokowa zmiana napięcia - możliwa skokowa zmiana prądu - niemożliwa skokowa zmiana napięcia

Jeżeli przed załączeniem wyłącznika - możliwa skokowa zmiana napięcia - niemożliwa skokowa zmiana prądu W naszym przykładzie: Jeżeli przed załączeniem wyłącznika to ponieważ to

Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 1: Struktura modelu

Przykład 2: obiekt – obwód RL Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe obwodu z prądem płynącym przez cewkę indukcyjną

Zmienne obiektu: - spadku: uwe(t), uwy(t), uR(t), uL(t), - wejście: uwe(t) - naporu: iR(t), iL(t) - wyjście: iL(t), Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoff’a dla wejściowego oczka: Uwzględnienie tożsamości (więzów):

Wypisanie zależności wiążących dla elementów obwodu: Podstawienia – wykorzystanie tożsamości i zależności wiążących:

Model matematyczny: Równanie różniczkowe: lub: z warunkiem początkowym:

Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 2: Struktura modelu

 Mn Mo Wniosek z przykładów 1 i 2: Różne układy elektryczne - taka sama struktura modeli – równań różniczkowych Przykład 3: obiekt – wirnik silnika elektrycznego Mn Mo 

Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek równowagi - II prawo Newton’a dla ruchu obrotowego: MB - moment d’Alemberta (bezwładności) określony wzorem

Zależności wiążące: - przyjmując założenie upraszczające, że obwody magnetyczne silnika pracują w zakresie liniowych części charakterystyk magnesowania G – indukcyjność rotacji silnika iw – prąd obwodu wzbudzenia silnika it – prąd obwodu twornika silnika - przyjmując założenie, że prąd wzbudzenia silnika utrzymywany jest na stałej wartości Kw – stała elektromechaniczna obwodu wzbudzenia

- przyjmując założenie, że na moment oporowy składają się opory wewnętrzne silnika oraz zewnętrzny moment oporowy Mow – moment oporowy wewnętrzny Moz – moment oporowy zewnętrzny D – współczynnik tarcia wewnętrznego (lepkiego) - przyjmując założenie, że moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały

Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

Model matematyczny: Równanie różniczkowe: lub: z warunkiem początkowym:

Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 3: Struktura modelu

Wniosek z przykładów 1 i 2 oraz 3 Różne natura fizyczna układów - taka sama struktura modeli – równań różniczkowych Przykład 4: obiekt – wirnik silnika elektrycznego, moment obciążenia niepomijalny Jeżeli założenie, że moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały, nie może być przyjęte

Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

Model matematyczny: Równanie różniczkowe: lub: z warunkiem początkowym:

Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 4: Struktura modelu

Spostrzeżenie z przykładu 4 Dwa rodzaje wejść – wejście na które możemy mieć wpływ, it – sterowanie oraz wejście na które wpływu nie mamy, Moz - zakłócenie Połączmy wyniki uzyskane w przykładach 2, 3 oraz 4, wykorzystajmy naszą wiedzę aprioryczną o procesach w silniku prądu stałego i zbudujmy jego model (przy określonych założeniach) – następny wykład