Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego Zakres stosowania: 1. reguły traktowane jako implikacje w sensie logicznym; wejścia punktowe „A pociąga za sobą B” 2. reguły traktowane jako implikacje inżynierskie; wejścia punktowe i rozmyte „A powiązane z B”

Szkic metody Mamdani’iego Załóżmy, że wartość wejścia rozmytego x wynosi: dla którego wartość wyjścia rozmytego y jest określana ze złożeniowej reguły wnioskowania dla relacji R danej zbiorem reguł:

Ponieważ korzystamy z operatorów implikacji inżynierskich czyli z t-norm, więc agregacja reguł zbioru R może być uzyskana za pomocą operatora połączenia max gdzie I jest operatorem t-normy (implikacja inżynierska) zatem: stąd, w oparciu o złożeniową regułę wnioskowania

Po przekształceniach, otrzymuje się ostatecznie: Oznaczmy Wielkość tę nazywa się stopniem spełnienia (degree of fulfillment) przesłanki i-tej teguły Zatem:

Wnioskowanie Mamdani’ego 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez dane wejście: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia każdej z reguł dla danego wejścia : 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia uzyskując odpowiedź systemu:

Wnioskowanie Mamdani’ego – czysty system rozmyty -ilustracja

Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

Procedura wnioskowania Mamdani’ego 1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopnie spełnienia przesłanek

2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia: Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł

Uzyskany uprzednio wynik – podejście formalne 3. Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia: Max Approximately Low Uzyskany uprzednio wynik – podejście formalne

Przykład – ponownie, model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł:

Niech zbiór rozmyty wejścia - singleton R1: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R2: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R3: stopień spełnienia przesłanki równy zeru

Agregacja zbioru rozmytego wyjścia Jakiego poziomu cieczy można się spodziewać? Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji

Wyostrzanie - defuzyfikacja Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM),  metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)  metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)

Wyostrzanie - defuzyfikacja

Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją

Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM) Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum

Metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA) Metoda środka sum (SS) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność gdzie:

Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana jest we wnioskowaniu Mamdani’ego (podejście uproszczone) Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejściu formalnym

Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low

Podsumowanie: Rozważane dotychczas modele miały struktury obejmujące przypadki: - jedna przesłanka – jedna reguła - jedna przesłanka – wiele reguł Skupienie uwagi na:  W schemacie wnioskowania Mamdani’ego jako operator implikacji najczęściej stosowany jest operator MIN (zaproponowany oryginalnie przez Mamdani’ego) oraz operator PROD  Zbiór rozmyty wejścia A’ jest najczęściej singletonem z jądrem x0

Dla singletonu przyjmuje się: i wówczas: Ilustracja graficzna : Implikacja Mamdaniego (min) Implikacja Larsena (prod)

Przypadki dotychczas rozważone: I. Jedna reguła – jedna przesłanka Fakt: x = A’ R: Reguła JEŚLI x = A TO y = B Wniosek y = B’ Wynik ogólny:

Reprezentacja reguły – t-norma Przecięcie zbiorów – t - norma w Stopień spełnienia przesłanki implikacji przez fakt

Implikacja Mamdaniego lub Larsena oraz wejście - singleton Dla: Implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN: Implikacja Larsena (PROD), złożenie PROD:

Ilustracja graficzna : Implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN: Implikacja Larsena (PROD), złożenie (PROD):

II. Dwie (wiele) reguły – jedna przesłanka Fakt: x = A’ R1: Reguła JEŚLI x = A1 TO y = B1 R2: Reguła JEŚLI x = A2 TO y = B2 Wniosek y = B’ Wynik ogólny: Niech Ponieważ operacja złożenia (implikacja) jest rozdzielna względem operacji połączenia (agregacja reguł) dowolna s-norma (t-konorma)

Ilustracja graficzna : implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN, agregacja MAX:

implikacja Larsena (PROD), złożenie (PROD), agregacja MAX:

Model lingwistyczny i proces wnioskowania z wykorzystaniem tego modelu przedstawiony został w ogólny sposób obejmujący przypadki SISO i MIMO Jednak ........ Rozważane modele miały struktury obejmujące przypadki: - jedna przesłanka – jedna reguła - jedna przesłanka – wiele reguł Oznacza to, że w przypadku MIMO wszystkie zbiory rozmyte modelu rozważane były w jednej przestrzeni wektorowej z wielowymiarowymi funkcjami przynależności A wcześniej mówiliśmy, że ........ Zwykle stwierdzenia przesłanek i stwierdzenia konkluzji formułowane są jako logiczne zdania w przestrzeni jedno wymiarowej z funkcjami przynależności jednej zmiennej

System rozmyty modeluje zależność wejście – wyjście Dla systemów MIMO: Potrzeba uogólnienia zaprezentowanych wyników na przypadek, kiedy funkcje przynależności występujące w stwierdzeniach są definiowane w przestrzeniach jednowymiarowych Ale na zakończenie Różne A’  Różne B” System rozmyty modeluje zależność wejście – wyjście Aproksymator

System Mamdaniego – aproksymator Przykład 1 Jeżeli X jest MAŁY TO Y jest MAŁY Jeżeli X jest ŚREDNI TO Y jest ŚREDNI Jeżeli X jest DUŻY TO Y jest DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości