Ogólne zadanie rachunku wyrównawczego

Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(1) 10 Punktów danych Poszukiwane równanie prostej Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(2) Założenie: Każdy punkt spełnia równanie prostej Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(3) Wiecej równań niż niewiadomych brak jednoznacznego rozwiązania Każde dwa punkty określają jedno równanie prostej, jednak te równania są różne Zadanie: Określić jednoznaczne rozwiązanie Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Prosta przez pierwszy i ostatni punkt Podział chmury punktów na dwie części, prosta przechodzi przez środek ciężkości Prosta określona przez średnie wartości współczynników k i d obliczone ze wszystkich możliwych prostych Prosta przechodzi przez jak największą liczbę punktów Które rozwiązanie przyjmiemy??? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przykład: Aproksymacja prostej(6) Ax=l+v  v=Ax-l Dodatkowy warunek: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Błędy przypadkowe v Warunek: W zapisie macierzowym Wagi p są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu błędu średniego Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Model funkcyjny(1) n obserwacji L dla u niewiadomych X Określić wektor niewiadomych Wyniki pomiarów L1, … Ln są wartościami przybliżonymi wartości prawdziwych Otrzymujemy oszacowania prawdziwych wartości w postaci wyrównanych obserwacji: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny(2) Również wektor niewiadomych ma przybliżoną wartość Wektor przybliżonych niewiadomych X0 Wektor poprawek niewiadomych x Zależności funkcyjne: r funkcji j1, … jr z parametrami L i X Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Zależności Model funkcyjny Wektor odchyłek Wektor wyrazów wolnych ‚pomierzone minus obliczone‘ Wektor wartości przybliżonych obserwacji Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny w postaci liniowej Funkcje j1, … jr są dowolnego typu Założenie: x i v są małe w porównaniu do X0 i L Linearyzacja rozwinięcie w szereg Taylora Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Macierze Jacobiego Macierz modelu funkcyjnegoA Macierz B Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung I Rozwiązanie ogólne (1) Rozwiązanie dla wartości minimalnej VTPV znajdujemy stosując funkcję Lagrange’a Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy do 0. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne(2) Pochodna względem v: Przyrównanie do zera: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne(3) Pochodne względem x przyrównane do 0: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie ogólne(4) Układ równań normalnych: Rozwiązanie za pomocą odwrotności: Ogólne zadanie rachunku wyrównawczego Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Przypadki szczególne: W każdym równaniu ji występuje tylko jedno spostrzeżenie: Wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących W równaniach ji występują tylko pomiary, brak jest niewiadomych: Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych W równaniach występują zarówno pomiary jak i niewiadome powiązane warunkami: Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich z warunkami. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących W każdym równaniu występuje jeden pomiar i funkcja niewiadomych: n pomiarów, r=n równań, u niewiadomych Spostrzeżenia nadliczbowe: nfu=n-u Liczba stopni swobody (redundancja) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Model funkcyjny Z szeregu Taylora: B= –I Macierz A jak poprzednio Stąd: stąd Równania błędów Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Rozwiązanie Układ równań upraszcza się: Otrzymujemy rozwiązanie Macierz równań normalnych  Poprawki spostrzeżeń: Wyrównane pomiary: Równania normalne Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

Dr hab. Inż. Waldemar Krupiński

Andrzej Borowiecki, Waldemar Krupiński   Akademia Rolnicza w Krakowie, Katedra Geodezji Numeryczne ustalanie parametrów linii prostej i łuku kołowego za pomocą dodatku SOLVER.

W pracy przedstawiono zastosowanie narzędzia SOLVER w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL do wyznaczania parametrów prostej, łuku kołowego oraz współrzędnych punktu styczności obu elementów trasy, w oparciu o wyniki pomiarów terenowych tych obiektów.

Przykład Nr X Y 1 0.09 -0.06 2 10.04 -0.03 3 19.96 0.08 4 30.05 5 39.90 0.00 6 50.01 0.02 7 60.05 -0.09 8 69.99 prosta 9 80.04 0.06 łuk kołowy 10 100.02 0.28 11 110.03 1.27 12 119.82 2.64 13 129.74 4.47 14 139.39 6.97 15 148.84 10.02 16 158.31 13.58