Wpływ warunków na niewiadome na wyniki wyrównania

Ocena dokładności spostrzeżeń pośrednich opiera się o wzór na błąd średni spostrzeżeń: Ocena dokładności spostrzeżeń pośrednich z warunkami na niewiadome opiera się o wzór na błąd średni spostrzeżeń:

Dla zadania, w którym występują 3 niewiadome i jeden warunek - [vv] wyraża się wzorem: Stosując t.zw. nieoznaczone rozwiązanie równań normalnych można ten wzór zapisać w następujący sposób:

Współczynniki Q i nie mają wartości liczbowej, dopiero po podniesieniu wyrażenia w nawiasie do kwadratu - przyjmują wartości z macierzy Q według zasady:

W celu przedstawienia wartości [pvv] jako funkcji odchyłki 1 dokonujemy następujących przekształceń: Wtedy:

Wartość dla której [pvv]=min. wyraża się wzorem: [pvv]

W poglądowy sposób można przedstawić wpływ dwóch warunków na wartość [pvv]: [pvv] osiąga minimum dla wartości odchyłek spełniających układ równań:

W przypadku 2 warunków [pvv] jako funkcja odchyłek jest paraboloidą eliptyczną:

Jeżeli liczba warunków jest większa od 2 – nie ma możliwości przedstawienia zależności [pvv] od wielkości odchyłek w postaci graficznej. Jednak zasada poszukiwania minimum pozostaje bez zmian. Z przedstawionych wyżej rozważań i wzorów wynika, że dla każdego zadania istnieje wartość odchyłki w warunku na niewiadome (lub odchyłek w warunkach) minimalizujaca wartość [pvv]. Co charakterystyczne po wprowadzeniu warunków na niewiadome [pvv] jest większa lub równa tej jaką uzyskalibyśmy bez warunków.

Wynika z tego, że w otoczeniu punktu min błąd średni spostrzeżeń jest mniejszy niż gdyby przeprowadzono obliczenia bez uwzględnienia warunku. Wielkość tego zmniejszenia wyraża się wzorem:

W miarę oddalania się od punktu minimum, wraz ze zmianami wartości odchyłki - błąd średni spostrzeżeń rośnie, aż w pewnym momencie przekracza wartość błędu średniego uzyskanego z klasycznej metody pośredniczącej, dalsze zwiększanie się wartości odchyłki jest bardzo niekorzystne ze względu na pogarszającą się ocenę dokładności. Wniosek: nie zawsze warunek na niewiadome jest zjawiskiem korzystnym.

Przerywana linia określa poziom [pvv] z wyrównania metodą pośredniczącą – bez warunków. W pewnym przedziale mimo wzrostu [pvv] błąd średni jest mniejszy. [pvv]

x y z

Macierz Q – odwrotność macierzy równań normalnych:

[pvv] jako funkcja odchyłki 1 : Wtedy:

Wartość dla której [pvv]=min.

Błąd średni spostrzeżeń obliczony bez warunków na niewiadome wynosi ±5˝, a [pvv] jest równa 50. Przy wyrównaniu z warunkami na niewiadome błąd średni oblicza się z wzoru:

Można obliczyć w jakim przedziale odchyłek, błąd średni z uwzględnieniem warunku na niewiadome jest mniejszy, lub równy błędowi bez warunku – inaczej mówiąc – kiedy wprowadzenie warunku nie pogarsza oceny dokładności:

Stąd oblicza się przedział dla

Na brzegach wyznaczonego przedziału m= ±5, a punkcie minimum m=±4.1 Na zewnątrz przedziału m rośnie coraz szybciej i ocena dokładności pomiarów jest coraz gorsza odbiegając od rzeczywistości. Wynika z tego, że warunek na niewiadome, może sfałszować analizę dokładności wykonanych pomiarów.