Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp Kraków 2009

Institute for Geoinformation Technical University Vienna Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Mit Beiträgen von Martin Staudinger Institute for Geoinformation Technical University Vienna Guβhausstraβe 27-29 1040 Vienna, Austria

Metoda najmniejszych kwadratów została omówiona w ramach rachunku wyrównawczego. W niniejszym wykładzie przypomnimy najważniejsze zagadnienia z nią związane. W praktyce najczęściej mamy do czynienia z sytuacją w której wyznaczamy drogą pomiaru wielkości („Spostrzeżenia”) , za pomocą których obliczamy szukane parametry („Niewiadome”). Dysponujemy nadliczbowymi spostrzeżeniami w stosunku do liczby niezbędnych do wyznaczenia niewiadomych.

Umożliwia nam to : -kontrolę spostrzeżeń; -uzyskanie prawdopodobnych wartości niewiadomych; -ocenę dokładności wyników pomiarów oraz niezawodności sieci.

Ideę tej metody można zapisać wzorem: (1) Wszystkie metody pomiarów (taśmą stalową czy GPS) prowadzą do stosunkowo prostego modelu matematycznego, związku między spostrzeżeniami i niewiadomymi, który może zostać opracowany za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Ideę tej metody można zapisać wzorem: (1) gdzie: - poprawki spostrzeżeń; - wagi spostrzeżen; W zapisie macierzowym: (2)

Wartość prawdziwa nie jest możliwa do ustalenia, ale z pomocą metody najmniejszych kwadratów można uzyskać jej oszacowanie jako wektora spostrzeżeń wyrównanych :

Wektor parametrów X zawiera wartości niewiadomych X1, X2, ... ,Xu . Również wektor X jest wektorem losowym i ma wartość prawdziwą . Metodą najmniejszych kwadratów oblicza się jej oszacowanie, jako wektor wyrównany parametrów . Obliczamy go jako sumę wektora wartości przybliżonych X0 oraz wektora poprawek niewiadomych x

Prawdziwe wartości spostrzeżeń i parametrów spełniają związek funkcyjny: Wyrównane, prawdopodobne wartości parametrów i spostrzeżeń spełniają podobne równanie zwane modelem funkcyjnym zadania wyrównawczego: Wartości obserwowane spostrzeżeń i przybliżone wartości parametrów nie będą zwykle spełniały tego równania.

Jeżeli do równania modelu funkcyjnego wstawimy wyniki spostrzeżeń i przybliżone wartości niewiadomych - zamiast wektora zerowego - po prawej stronie otrzymamy wektor odchyłek:

Funkcję należy doprowadzić do postaci liniowej, rozwijając ją w szereg Taylora z pominięciem wyrazów stopnia wyższego niż pierwszy:

A – pochodne względem niewiadomych; Pochodne cząstkowe zapisujemy w macierzach Jacobiego: A – pochodne względem niewiadomych;

B – pochodne względem spostrzeżeń;

Możemy stosując powyższe oznaczenia zapisać ogólne zadanie rachunku wyrównawczego w następującej postaci:

Rozwiązanie ogólne: Jest to zadanie polegające z punktu widzenia matematyki na znalezieniu wartości ekstremalnej (minimum) z dodatkowymi warunkami. Takie zadanie rozwiązuje się stosując mnożniki Lagrange’a (zwane też przez geodetów korelatami). Wprowadzamy więc dodatkową macierz k.

Minimalizuje się funkcję Lagrange’a: Po obliczeniu pochodnych względem v oraz x i przyrównaniu ich do zera otrzymujemy wzory: oraz

W praktyce możemy mieć do czynienia z następującymi przypadkami: 1. W układzie równań r=n i w każdym równaniu występuje tylko jedno spostrzeżenie Li – jest to wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących. 2. W zadaniu nie występują żadne niewiadome X. W r równaniach mamy tylko funkcje wiążące spostrzeżenia – jest to wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych. 3. W n równaniach występuje po jednym spostrzeżeniu (jak przy wyrównaniu spostrzeżeń pośredniczących) a w pozostałych (r-n) równaniach mamy tylko niewiadome. Jest to wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących z warunkami na niewiadome.

1x0 + x + 0y0 + 0y - L1 - v1 = 0 0x0 + 0x + 1y0 + y - L2 - v2 = 0 1x0 + 1x + 1y0 + 1y - L3 - v3 = 0 1x + 0y – v1 + 1 = 0 0x + 1y – v2 + 2 = 0 1x + 1y – v3 + 3 = 0

1 0.3333 -0.3333 0.6667 -0.6667 30

-10 k1 v1= 10 k2 v2= k3 v3= Dx Dy

Wyrównane spostrzeżenia i wyrównane niewiadome Kontrola generalna

Kontrola ogólna Ocena dokładności: