Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube Metody wykrywania i eliminacji błędów grubych

Witold Pruszyński, Mieczysław Kwaśniak „Niezawodność sieci geodezyjnych”

Źródła błędów grubych: Błędy grube w obserwacjach mogą wystąpić: w trakcie pomiaru; w trakcie rejestracji wyników; przy wprowadzaniu danych do komputera. W procesie wyrównania błędy grube mogą spowodować zniekształcenie wyrównywanych współrzędnych lub wektorów przemieszczeń, co może prowadzić do fałszywej oceny bądź interpretacji badanych zjawisk.

Konieczne jest opracowanie skutecznych sposobów wykrywania w pomiarach błędów grubych, oraz wyposażenie w nie programów używanych do obliczeń geodezyjnych.

Diagnostyka błędów grubych winna uwzględniać: liczbę błędów, znaki błędów, wielkości błędów, rozmieszczenie błędów w sieci, oraz wielkość i kształt sieci, rodzaj i rozmieszczenie obserwacji, dokładność pomiaru elementów sieci, rodzaj nawiązania sieci.

Zdarzają się sytuacje, kiedy wiele błędów grubych działa na siebie tak, że następuje wzajemne wygaszanie wpływów. Np. W trójkącie: błąd +5 stopni na jednym kącie i -5 stopni na drugim – suma kątów pozostaje niezmieniona. W pewnych sytuacjach błędy grube występujące w sieci mogą być absolutnie niewykrywalne. Większość metod wykrywania błędów grubych opiera się o metody statystyczne, gdzie konieczne jest przyjmowanie określonego poziomu istotności testu (). Różni autorzy sugerują różne wartości tego parametru. Przyjęta wartość () rzutuje na skuteczność i ostateczny wynik testu.

Błąd I rodzaju – odrzucenie hipotezy H0, gdy jest ona prawdziwa. Podejmując decyzję na podstawie metod statystycznych możemy wskazać wynik prawidłowy lub popełnić jeden z dwóch rodzajów błędów. Hipoteza H0 Decyzja Prawdziwa Fałszywa Przyjęcie Decyzja prawidłowa P = 1 -  Błąd II rodzaju P = β Odrzucenie Błąd I rodzaju P =  P = 1 - β Błąd I rodzaju – odrzucenie hipotezy H0, gdy jest ona prawdziwa. Błąd II rodzaju – przyjęcie hipotezy H0, gdy jest ona fałszywa.

Wybrane metody wykrywania błędów grubych w obserwacjach, oparte na modelu wyrównawczym o parametrach estymowanych według metody najmniejszych kwadratów: Baardy (Baarda, 1968) Pope’a (Pope 1976, Caspary 1988) Chena-Kavourasa-Chrzanowskiego (1987) Crossa-Price’a (Cross, Price 1985) Dinga-Colemana (Ding, Coleman 1996) Rzędów koegzystencji (Sitnik 2000) Ethroga (Ethrog 1990) Duńska (Krarup, Juhl, Kubik 1980) Metoda duńska nie korzysta z metod statystycznych.

W metodach wykorzystujących testy statystyczne przyjmuje się, że obserwacje obciążone błędami grubymi są zmiennymi losowymi o niecentralnym rozkładzie normalnym gdzie: Lodst - obserwacja odstająca  - wartość oczekiwana zmiennej losowej  - parametr niecentralności rozkładu  - błąd średni obserwacji (odch. stand.)

METODA BAARDY Przyjmuje się, że a’priori znana jest wartość odchylenia standardowego 0. Po wyrównaniu oblicza się kwadrat błędu średniego spostrzeżeń s02. Następnie oblicza się wartość testową T: o rozkładzie 2 i f = n – u + d stopniach swobody (gdzie: n – liczba obserwacji, u – liczba niewiadomych, d – defekt sieci).

Defekt sieci Defekt sieci – występuje, gdy w zbiorze danych do wyrównania obserwacji w danej sieci, brakuje pewnej liczby wielkości geometrycznych niezbędnych do wyznaczenia położenia jej punktów w przyjętym układzie współrzędnych. Defekt charakteryzujemy poprzez podanie liczby oraz rodzaju brakujących wielkości geometrycznych. Rozróżniamy defekt zewnętrzny (lokalizacyjny) dz i wewnętrzny dw. Całkowity defekt d = dz + dw.

Hipoteza zerowa testu zakłada, że w obserwacjach nie występują błędy grube: Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności  testowana statystyka przekracza wartość krytyczną, czyli brak podstaw do przyjęcia hipotezy zerowej i należy ją odrzucić.

Hipoteza alternatywna: H : „w układzie obserwacyjnym występuje jeden błąd gruby” Następnie bada się poprawki obliczone w trakcie wyrównania obliczając poprawki standaryzowane ui : - błąd średni i-tej poprawki

Hipoteza zerowa dla testu poprawki standaryzowanej: Statystyka testu ui ma rozkład normalny N(0, 1). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 jeżeli: Jest wartością krytyczną testu z rozkładu N(0,1) wartości dystrybuanty 1 - 0/2 Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.

METODA POPE’A Oblicza się wartość testową: (f) można obliczyć z rozkładu t-Studenta:

Hipoteza zerowa: Jeżeli nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy. Jest wartością krytyczną testu z rozkładu  dla wartości dystrybuanty 1 - 0/2 Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.

METODA CHENA-KAVOURASA-CHRZANOWSKIEGO Szczegółowe omówienie tej metody iteracyjnej wykracza poza ramy tego wykładu. (Odsyłam do literatury – slajd nr 2). Wzór testu podobny jest do stosowanego w metodzie Pope’a, a także stosowany jest rozkład τ. i-ty błąd gruby i-ty element diagonalny macierzy Qδ dla obserwacji usuniętych Odchylenie standardowe obliczone z pominięciem obserwacji podejrzanych o błędy grube f – k liczba stopni swobody minus liczba obserwacji usuniętych

METODA CROSSA-PRICE’A Metoda ta jest rozszerzeniem na więcej niż jeden błąd gruby przedstawionej wcześniej metody Pope’a. Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki: Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:

Jeżeli stwierdzono występowanie błędów grubych - pomiary dzieli się na grupy zawierające błąd gruby. Dla pomiarów podejrzanych o błąd gruby oblicza się współczynnik korelacji między macierzą v a i-tą kolumną macierzy RP n – liczba obserwacji u – liczba niewiadomych Z każdej grupy wyłącza się pomiary o największej wartości: po czym powtarza się wyrównanie.

METODA DINGA-COLEMANA Metoda ta jest bardzo podobna do omówionej wcześniej metody Crossa-Price’a. Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki: Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:

Jeżeli i jest większe od wartości krytycznej oblicza się współczynniki korelacji między spostrzeżeniami: hii - i-ty element diagonalny macierzy HP hij , hji - elementy pozadiagonalne macierzy HP rii - element diagonalny macierzy RP

W oparciu o wartości eij dzieli się obserwacje na silnie powiązane podgrupy. Z każdej podgrupy usuwa się jedną obserwację o największej wartości bezwzględnej  Następnie ponownie przeprowadza się wyrównanie i testy. Postępowanie powtarza się tak długo aż nie będą występowały obserwacje o wartościach  przekraczających wartość krytyczną.

METODA RZĘDÓW KOEGZYSTENCJI Rzędy koegzystencji wiążą się z rozmieszczeniem pomiarów w sieci. Im bliżej siebie ulokowane są w sieci dwie obserwacje, tym niższy jest ich rząd koegzystencji i tym silniejsze jest powiązanie tych wielkości po wyrównaniu. Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0. Następnie oblicza się statystyki:

Przeprowadza się test: Jeżeli obliczona wartość: Dzieli się obserwacje na grupy o niskich rzędach koegzystencji. Z każdej grupy usuwa się po 1 obserwacji o maksymalnym |u|. Przeprowadza się ponowne wyrównanie pozostałych obserwacji i powtarza się testy.

METODA ETHROGA W metodzie tej po wyrównaniu wstępnym testuje się poprawki dla spostrzeżeń stosując rozkład t-Studenta. Następnie wyłącza się z obliczeń spostrzeżenia podejrzane o zaburzenia błędami grubymi i powtarza się obliczenia i testy.

METODA DUŃSKA Metoda ta opiera się na założeniu, że duża poprawka obserwacyjna wskazuje na mniejszą dokładność tej obserwacji z tytułu obciążenia jej wpływem błędu grubego. Wyrównanie przebiega w trybie iteracyjnym. Po k-tej iteracji dla każdej obserwacji sprawdza się, czy spełnione jest kryterium: - poprawka i-tej obserwacji w k-tej iteracji pi - waga wyjściowa (a’priori) dla i-tej obserwacji - odchylenie standardowe obliczone w k-tej iteracji c - stała z przedziału 13 zależnie od jakości danych

Dla kolejnego kroku iteracyjnego wagi oblicza się z wzoru: Dla obserwacji spełniających kryterium : Dla obserwacji nie spełniających kryterium :

Po zakończeniu procesu iteracji możliwe są dwie drogi postępowania: Odrzucić wszystkie obserwacje podejrzane o błędy grube i przeprowadzić wyrównanie z zastosowaniem wag apriorycznych. Wyniki ostatniego kroku iteracyjnego przyjąć jako ostateczne. Ten drugi sposób zbliża metodę duńską do estymacji mocnej.