(dla szeregu szczegółowego) Średnia arytmetyczna (dla szeregu szczegółowego) Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę tych jednostek. Gdy wartości pewnej badanej cechy oznaczymy przez: x1, x2 , x3 , … , xn , to średnią arytmetyczną szeregu statystycznego wyznaczymy z poniższego wzoru Przykład Czas produkcji 5 detali wynosił: 3 min, 6 min, 4 min 4 min, 3 min. Wyznacz średni czas produkcji detalu

(dla szeregu rozdzielczego przedziałowego) Średnia arytmetyczna (dla szeregu rozdzielczego przedziałowego) Jeżeli dane przedstawione są w postaci szeregu rozdzielczego przedziałowego, który zawiera k przedziałów klasowych, to średnią obliczamy następująco: gdzie: ni - liczebność przedziału klasowego xsi – środek przedziału klasowego k - liczba przedziałów klasowych

Tabela przedstawia strukturę płac pracowników zatrudnionych w przedsiębiorstwie według płac. Wyznacz średnią płacę pracownika.

(dla szeregu rozdzielczego punktowego) Średnia arytmetyczna (dla szeregu rozdzielczego punktowego) Natomiast, dla szeregu rozdzielczego punktowego, to średnią obliczamy następująco: gdzie: ni - liczebność występowania wartości xi k - - liczba różnych wartości (wariantów) cechy

Wyznaczyć średnią liczbę dzieci przypadająca na pracownika przedsiębiorstwa Z

Średnia ważona gdzie: xi - i-ta wartość badanej cechy wi – waga cechy o wartości i. xi wi 5 2 3 1 4 12 9 Razem 10 xi wi 10 3 2 4 36 18 73 Ilość punktów waga 5 2 3 1 4 12 9

Średnia geometryczna Przykład Otrzymano następujące wartości cechy X: 2, 4 , 5, 3. Wyznacz średnią geometryczną. Rozwiązanie. n = 4

Średnia harmoniczna Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych. W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych obliczamy średnią harmoniczną według wzoru: W przypadku szeregów szczegółowych obliczamy średnią harmoniczną według wzoru: W przypadku szeregów rozdzielczych punktowych obliczamy średnią harmoniczną według wzoru:

xi ni 5 6 8 4 10 15 1 20 9 30 12

Miary pozycyjne Miary pozycyjne są rzeczywistymi wartościami badanej cechy statystycznej występujące w uporządkowanym szeregu statystycznym, wybrane ze względu na zajmowaną pozycję w tym szeregu. Do miar pozycyjnych zalicza się przede wszystkim wartość modalną (dominantę) i medianę

Wartość modalna (dominanta) Wartość modalna (Mo) jest to wartość cechy, która najczęściej (najliczniej) występuje w badanej zbiorowości statystycznej. Można, stwierdzić, że jest to wartość typowa dla tej zbiorowości. Wartość modalną przedstawiać będziemy następująco: Mo = xd gdzie xd wartość cechy, dla której ni = max Przykład Zbadano cenę paliwa E-95 na 9 stacjach benzynowych w Warszawie. 3,5 3,7 3,6 3,7 3,6 3,8 3,6 3,9 3,8 ile wynosi wartość modalna ceny paliwa 3,5 3,6 3,6 3,6 3,7 3,7 3,8 3,8 3,9 Mo = 3,6

Wartość modalna (dominanta) Jeżeli materiał statystyczny podany jest w postaci szeregu rozdzielczego przedziałowego, znajdujemy najpierw przedział w o największej liczebności. Następnie wyznaczamy wartość modalną na podstawie następującego wzoru interpolacyjnego. gdzie: xDd — dolna granica przedziału wartości modalnej nd — liczebność przedziału wartości modalnej nd-1 — liczebność przedziału poprzedzającego przedział wartości modalnej nd+1 — liczebność przedziału następującego po przedziale wartości modalnej ld — rozpiętość przedziału wartości modalnej.

Wartość modalna (dominanta) wyznaczanie metodą graficzną xi

Mediana (wartość środkowa) Jest to wartość cechy, która rozdziela zbiorowość na dwie równe części, zajmując środkową pozycję w szeregu statystycznym. Sposób wyznaczania wartości mediany uzależniony jest od wielu czynników, a do najważniejszych należy zaliczyć liczbę wyrazów szeregu (czy liczba wyrazów parzysta, czy nieparzysta) oraz typu szeregu (szereg szczegółowy czy rozdzielczy.

Mediana (wartość środkowa) gdy n jest nieparzyste gdy n jest parzyste

Dysponujemy zbiorem informacji o liczbie wyrobów wytworzonych na siedmiu stanowiskach pracy: 101, 92, 95, 98, 96, 94, 97 Wyznacz medianę Przypadek gdy n – nieparzyste 92, 94, 95, 96, 97, 98, 101

Dysponujemy zbiorem informacji o liczbie wyrobów wytworzonych na siedmiu stanowiskach pracy: 101, 92, 95, 98, 96, 94, 97, 88 Wyznacz medianę Przypadek gdy n – parzyste 88, 92, 94, 95, 96, 97, 98, 101

Me

Mediana Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego, najpierw wyznacza się przedział klasowy mediany. Przy wyznaczaniu tego przedziału korzystamy z szeregu kumulacyjnego (szereg powstały w wyniku narastającego sumowania liczebności poszczególnych klas). Następnie stosujemy następujący wzór przybliżający wartość mediany: xDM – dolna granica przedziału klasowego mediany, lM – rozpiętość przedziału klasowego mediany, nM – liczba jednostek obserwacji w przedziale klasowym mediany PMe – pozycja mediany w szeregu statystycznym - łączna liczba obserwacji w klasach poprzedzających klasę zawierającą medianę, czyli liczebność skumulowana przedziałów klasowych poprzedzających przedział mediany

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Mediana wyznaczanie metodą graficzną nsk PMe Me xi

Miary pozycyjne wyższych rzędów Mediana dzieli zbiorowość na równe dwie części, a więc informuje, poniżej i powyżej jakiej wartości cechy znajduje się 50% zbiorowości. Według tej samej zasady można podzielić zbiorowość na większą liczbę części. Wartości te nazywamy kwantylami (od słowa „kwant”). W zależności od liczby części, na jakie dzieli się zbiór wartości badanej cechy, otrzymujemy konkretne kwantyle. Najczęściej stosowane są: kwartyle – dzielą szereg statystyczny na 4 części (jest ich 3) decyle – dzielą szereg statystyczny na 10 części (jest ich 9) centyle – dzielą szereg statystyczny na 100 części (jest ich 99).

Kwantyle oznaczać będziemy następująco: Qb,v gdzie: b – numer kwantyla, v – rząd kwantyla, tzn. dla kwartyli v = 4, dla decyli v = 10, a dla centyli v = 100. KWARTYLE pierwszy element w zbiorze ostatni element w zbiorze Q1,4 Q2,4 Q3,4

Q1,4 Me Q3,4

Kwantyle dla szeregu rozdzielczego przedziałowego gdzie: xDq – dolna granica klasy (przedziału), w której znajduje się kwantyl lq – długość przedziału klasowego zawierającego kwantl q nq – liczebność przedziału klasowego zawierającego kwantl q - liczebność skumulowana przedziałów klasowych poprzedzających przedział qwantylu pozycja kwantylu rzędu  o numerze b, gdy liczba obserwacji n jest parzysta, a gdy n jest liczbą parzystą to

Wyznaczyć kwartyl pierwszy Q1,4 Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Wyznaczyć kwartyl trzeci Q3,4 Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800

Kwartyle wyznaczanie metodą graficzną nsk PQ3,4 PQ1,4 Q1,4 Q3,4 xi

Oblicz dowolny kwantyl dla szeregu rozdzielczego przedziałowego gdzie: xDq – dolna granica klasy (przedziału), w której znajduje się kwantyl lq – długość przedziału klasowego zawierającego kwantl q nq – liczebność przedziału klasowego zawierającego kwantl q - liczebność skumulowana przedziałów klasowych poprzedzających przedział qwantylu pozycja kwantylu rzędu  o numerze b, gdy liczba obserwacji n jest parzysta, a gdy n jest liczbą parzystą to

Liczebność skumulowana 100 350 750 1250 1600 1800