Funkcja  Riemanna Dariusz Pasternak Wydział Fizyk i Informatyki Stosowanej Funkcja  Riemanna Dariusz Pasternak

Plan Prezentacji Opis funkcji (s) Zbieżność szeregu Przedłużenie analityczne funkcji (s) Równość Eulera – dowód Zależność pomiędzy (s) a (s) Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x) Funkcja Li(x) Liczby Pierwsze a analiza zespolona

Opis funkcji (s) Funkcja dzeta Riemana określona jest wzorem: Dla re s > 1

Zbieżność szeregu re s > 1 Dla mamy . A stąd wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie w każdym podzbiorze zwartym tej płaszczyzny i funkcja  jest holomorficzna.

Przedłużenie analityczne O funkcji (s) Riemanna dowodzi się że: Jest ona przedłużalna analitycznie na całej płaszczyźnie otwartej bez punktu s=1 i w punkcie s=1 ma biegun o części głównej 1/(z-1). W półpłaszczyźnie re s > 1 funkcja (s) jest różna od zera, w półpłaszczyźnie re s < 0 ma zera jednokrotne a w pasie [0;1] ma nieskończenie wiele zer.

Przedłużenie analityczne Rozszerzenie funkcji dzeta definiujemy jako:

Iloczyn Eulera Prawdziwa jest następująca tożsamość, gdzie w iloczynie występują wszystkie liczby piewsze:

Dowód Załóżmy że przemnożymy funkcję (s) w następujący sposób: następnie

Dowód Podobnie raz jeszcze Bardziej ogólnie

Dowód W związku z tym że rozkład przybiera taką formę możemy kontynuować procedurę ostatecznie otrzymując wzór na Iloczyn Eulera:

Zależność pomiędzy (s) a (s) re s > 0 podstawiamy x=nt korzystając z identyczności

Zależność pomiędzy (s) a (s) Otrzymujemy dla re s > 1, k dodatnich

Zależność pomiędzy (s) a (s) Ponieważ obie części są zbieżne wykaże że drugi człon dąży do 0 gdy k dąży do nieskończoności przyjmijmy  > 0, oraz takie  że:

Zależność pomiędzy (s) a (s) następnie dobieramy takie duże k aby: w rezultacie otrzymujemy:

Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x)

Powiązanie funkcji (s) z Funkcją  (x)

Funkcja Li(x) (logarytm całkowy) Funkcja Li(x) okazała się niezwykle przydatna przy szacowaniu liczby liczb pierwszych. Jest dokładniejsza niż zaproponowanie przez Gausa zależność:

Wykresy funkcji

Wykresy funkcji

Wykresy funkcji

Liczby Pierwsze a analiza zespolona Twierdzenie o liczbach pierwszych Tw.

Literatura F.Leja „Funkcje Zespolone” S.Ponnusamy, Herb Silverman „Complex Variables with Aplications” Funkcja Dzeta Riemana, Praca Riemana z 1859r. http://students.mimuw.edu.pl/~pta/riemann/riemann.pdf http://www-users.mat.uni.torun.pl/~philip/prime.html

Dziękuję Dariusz Pasternak