PROPOZYCJA PROJEKTÓW hp1d, hp2d, hp3d Automatyczna hp adaptacja w fortranie 90 Struktura danych (tablice VERTS, NODES, ELEMS) Obiektowa aplikacja hp MES (1d, 2d, 3d) Obiektowa struktura danych Grafowa reprezentacja siatki obliczeniowej Metoda elementów skończonych z hp adaptacją pracująca na gramatykach grafowych (1d, 2d,3d)

PRZYKŁAD PROBLEMU BRZEGOWEGO TRANSPORT CIEPŁA Sformułowanie silne (równania różniczkowe cząstkowe) Znaleźć pole skalarne temperatury, spełaniające gdzie obszar w kształcie odwróconej litery L brzeg Na fragmencie definiujemy warunek brzegowy Dirichleta (temperatura wynosi 0) Na fragmencie definiujemy warunek brzegowy Neumanna (zakładamy że znamy pochodną w kierunku normalnym – prędkość przepływu ciepła)

SFORMUŁOWANIE SILNE I SŁABE (WARIACYJNE) Znaleźć pole skalarne temperatury, klasy spełniające Sformułowanie słabe (wariacyjne) Znaleźć pole skalarne temperatury, spełniające

DYSKRETYZACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Metoda Elementów Skończonych (MES) polega na konstrukcji podprzestrzeni skończenie wymiarowej Rozwiązania poszukujemy w postaci kombinacji liniowej funkcji bazy przestrzeni

DYSKRETYZACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Współczynniki (zwane „stopniami swobody”) otrzymujemy w następujący sposób: Wstawiamy aproksymacje rozwiązania do sformułowania słabego (wariacyjnego) a za funkcje testujące poszczególne funkcje bazowe Następnie rozwiązujemy uzyskany w ten sposób układ równań linowych Sformułowanie MES (poszukiwane )

DYSKRETYZACJA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

ADAPTACJE SIATKI Celem adaptacji siatki jest zwiększenie dokładności rozwiązania numerycznego uzyskanego metodą elementów skończonych, poprzez zwiększanie ilości wielomianów użytych w celu aproksymacji rozwiązania Wyróżnia się następujące sposoby adaptacji: Jednorodna h adaptacja, w której wszystkie elementy na całej siatce obliczeniowej dzielone są na 4 mniejsze elementy.

ADAPTACJE SIATKI Jednorodna p adaptacja, w której wielomianowy stopień aproksymacji podnoszony jest globalnie na wszystkich elementach w całym obszarze siatki.

ADAPTACJE SIATKI h adaptacja, w której jedynie niektóre elementy są łamane, tylko w tych miejscach obszaru obliczeniowego w których błąd rozwiązania numerycznego jest duży. W przypadku obszaru dwuwymiarowego możliwe jest złamanie elementu w kierunku poziomym, pionowym lub w obydwu kierunkach.

ADAPTACJE SIATKI hp adaptacja, w której jedynie niektóre elementy skończone są łamane, oraz wielomianowy rząd aproksymacji podnoszony jest jedynie na niektórych elementach.

PORÓWNANIE RÓŻNYCH METOD ADAPTACJI SIATKI

AUTOMATYCZNA hp ADAPTACJA Automatyczne (bez ingerencji użytkownika) wygenerowanie siatki optymalnej dostarczającej rozwiązania z zadaną dokładnością. Zaprojektowanie „ręczne” siatki optymalnej wymaga ogromnej wiedzy matematycznej i zazwyczaj nie jest możliwe. Taka automatyczna hp adaptacja wymaga odpowiedniej algorytmizacji Siatka optymalna dostarczająca rozwiązania z dokładnością 0.001%

GRAFOWA REPREZENTACJA ELEMENTU SKOŃCZONEGO

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW Przepis, w jaki sposób ze standardowej struktury opisu siatki odtwarza się ten graf równolegle (wejście do równoległych algorytmów adaptacji)

PRZYKŁAD WYWODU W GRAMATYCE GRAFOWEJ GENERUJĄCEGO STRUKTURE DWÓCH ELEMENTÓW

ALGORYTM GENERACJI REPREZENTACJI GRAFOWEJ NA PODSTAWIE DANYCH WEJŚCIOWYCH UZYSKANYCH OD GENERATORA SIATKI Lista wierzchołków (współrzędne geometryczne) Lista krawędzi (zdefiniowane poprzez 2 wierzchołki) Lista elementów (zdefiniowane poprzez 4 krawędzie) Lista stopni aproksymacji dla wnętrz elementów Wygeneruj wierzchołki (nieterminale v) Nadaj atrybuty wierzchołkom (współrzędne geometryczne) Wygeneruj krawędzie (nieterminale F) Połącz krawędzie z wierzchołkami generując nieterminale reprezentujące elementy (nieterminal iel) Wygeneruj wnętrza elementów (nieterminale I) Połącz wnętrza z krawędziami Wygeneruj nieterminale brzegowe (nieterminal B oraz fake) Nadaj atrybuty wnętrzom elementów (stopnie aproksymacji)

PROPOZYCJA PROJEKTÓW hp1d, hp2d, hp3d Automatyczna hp adaptacja w fortranie 90 Struktura danych (tablice VERTS, NODES, ELEMS) Obiektowa aplikacja hp MES (1d, 2d, 3d) Obiektowa struktura danych Grafowa reprezentacja siatki obliczeniowej Metoda elementów skończonych z hp adaptacją pracująca na gramatykach grafowych (1d, 2d,3d)