WYKŁAD 11 FUNKCJE FALOWE ELEKTRONU W ATOMIE WODORU Z UWZGLĘDNIENIEM SPINU; SKŁADANIE MOMENTÓW PĘDU

Funkcje falowe elektronu w atomie wodoru z uwzględnieniem spinu Jak uwzględnić spin? Amplituda prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie przestrzennym |ℓ,m>, w punkcie , bez informacji o kierunku spinu Spin to moment pędu o stałej wartości: i rzucie na oś z:

możemy przedstawić jako: Pole wektorowe: możemy przedstawić jako:

gdzie a, b i c określają orientację wektora w przestrzeni lub, w szczególnym przypadku, gdy orientacja wektora jest taka sama w każdym punkcie przestrzeni: gdzie a, b i c określają orientację wektora w przestrzeni przy czym:

Przez analogię możemy opisać stan elektronu wprowadzając następujący zapis: gdzie współczynniki a i b to amplitudy prawdopodobieństwa, że elektron ma spin „do góry” i do „dołu”. Dla ms = +1/2 Dla ms = -1/2

lub, przyjmując, że: i możemy zapisać: otrzymując pełną funkcję falową przedstawiającą amplitudę prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w stanie |ℓ,m> i w punkcie r,θ, φ, ze spinem +1/2 lub – 1/2

J = 1, m = 0, ±1 transformuje się jak wektor SPINORY, to obiekty podobne do wektorów, transformujące się w odpowiedni sposób po obrocie układu współrzędnych: J = 1, m = 0, ±1 transformuje się jak wektor Dla j = 1/2, m = ±1/2: Obrót o kąt φ wokół osi z: Obrót o kąt θ wokół osi y:

Składanie momentów pędu: współczynniki rozwinięcia: współczynniki Clebscha – Gordana jeden z kalkulatorów dostępnych na internecie: http://personal.ph.surrey.ac.uk/~phs3ps/cgjava.html

orbitalny moment pędu, s, p, d, f własny moment pędu elektronu Dla atomu wodoru: orbitalny moment pędu, s, p, d, f własny moment pędu elektronu wszystkie potrzebne współczynniki rozwinięcia, czyli współczynniki Clebscha – Gordana, możemy otrzymać korzystając z następującej tabeli:

Współczynniki Clebscha - Gordana; J2 = 1/2:

mamy 6 składowych o różnych wartościach M Dla: Przykład: Wyraź funkcję falową odpowiadającą stanowi 4f5/2 dla M = 3/2, poprzez funkcje . mamy 6 składowych o różnych wartościach M Dla: Na rzut wypadkowego momentu pędu na oś z o wartości: składają się tylko dwie pary M1 i M2: (1, 1/2) oraz (2, -1/2)

J = J1 – 1/2, zatem korzystamy z dolnego wiersza w tabeli dla M2 = +1/2 mamy: a dla M2 = -1/2: