Imperatywne modele obliczeń Copyright, 2003 © Jerzy R. Nawrocki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 2

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Język schematów blokowych R 1 R 1 S S + 1 S S + 1 R2 > 0 Tak Nie Start Stop

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Plan wykładu Schematy blokowe Liczba automorficzna Obliczanie wielomianu Podział zbioru Problem stopu

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna Liczba naturalna znajdująca się na końcu swego kwadratu. 5 bo 5 2 = 25 6 bo 6 2 = 36 7 nie bo 7 2 = bo 25 2 = 625

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna Start Czytaj n Automor(n) TakDrukuj(TAK) NieDrukuj(NIE) Stop var n; begin read(n); if Automor(n) then writeln(TAK) else writeln(NIE) end. Funkcja nie- standardowa

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna Liczba naturalna znajdująca się na końcu swego kwadratu. rząd(n) = 10 liczba_cyfr(n) n = n*n mod rząd(n) Jak obliczyć Automor(n) ? 5 = 5*5 mod rząd(5) = 25 mod 10 = 5 6 = 6*6 mod rząd(6) = 36 mod 10 = 6 7 7*7 mod 10 = 9

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna Tak Wynik true Nie Wynik false n=n*n mod rząd(n) function Automor (n: integer): Boolean; begin if n=n*n mod rzad(n) then Automor:= true else Automor:= false end; Deklaracja funkcji Automor

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna Jak obliczyć rzad(n) ? rząd(n) = 10, 100, 1000,.. rząd(n) > n rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz function rzad (n: integer): integer; var rz: integer; begin rz:= 10; while rz <= n do rz:= rz*10; rzad:= rz end;

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz Jak to sprawdzi ć? nrz 25 We Wyj

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz Jak to sprawdzi ć? nrz 25 We Wyj 10

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz Jak to sprawdzi ć? nrz 25 We Wyj 10

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz Jak to sprawdzi ć? nrz 25 We Wyj

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz nrz 25 We Wyj Wynik=100 Jak to sprawdzi ć?

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna rz 10 rz <= n Tak rz rz * 10 Nie Wynik rz nrz 25 We Wyj Wynik=100 To działa!

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna Program główny Automor(n) rzad(n) Czy można połączyć Automor i rzad?

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Liczba automorficzna function Automor (n: integer): Boolean; var rz: integer; begin rz:= 10; while rz <= n do rz:= rz*10; if n=n*n mod rz then Automor:= true else Automor:= false end; Program główny Automor(n)

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Plan wykładu Schematy blokowe Liczba automorficzna Obliczanie wielomianu Podział zbioru Problem stopu

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n p(x) = s(0) + s(1) + s(2) s(n) gdzie s(i) = a i x i s(i) = a i *x*x*.. *x Dekompozycja problemu Suma n liczb Iloczyn n liczb

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu Start Stop i 0 P 0 P P + s(i) i i + 1 i n Tak Nie function p(n: integer): real; var i,P: integer; begin i:= 0; P:= 0; while i <= n do begin P:= P + s(i); i:= i + 1 end; p:= P end;

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu S= c(0) * c(1) *.. * c(j) 0, 1,.. jStart Stop i 0 S 1 S S * c(i) i i + 1 i j Tak Nie Obliczanie s(j) = a j x j c(0) = a j c(1) = x c(2) = x... c(j) = x

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu Start Stop S a j i 1 S S * x i i + 1 i j Tak Nie i 0 S 1 S S * c(i) i i + 1 Obliczanie s(j) = a j x j S= c(0) * c(1) *.. * c(j) 0, 1,.. j c(0) = a j c(1) = x c(2) = x... c(j) = x

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu Start Stop S a j i 1 S S * x i i + 1 i j Tak Nie Obliczanie s(j) = a j x j function s(j: integer): real; var i,S: integer; begin S:= a[j]; i:= 0; while i <= j do begin S:= S * x; i:= i + 1 end; s:= S end;

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu Złożoność algorytmu (n+1) razy s(i): s(0).. s(n) Każde s(i): i mnożeń Razem: (n+1) = Złożoność= a*n 2 + b*n + c

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Obliczanie wielomianu P(x)= (((a n )*x + a n-1 )*x + a n-2 )*x + a n-3... Schemat Hornera Jak zmniejszyć liczbę mnożeń? a 1 *x + a 0 = a 1 *x + a 0 a 2 *x 2 + a 1 *x + a 0 = (a 2 *x + a 1 )*x + a 0 a 3 *x 3 + a 2 *x 2 + a 1 *x + a 0 = ((a 3 *x + a 2 )*x + a 1 ) + a 0

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Plan wykładu Schematy blokowe Liczba automorficzna Obliczanie wielomianu Podział zbioru Problem stopu

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem podzbioru o danej sumie Dane: zbiór A zawierający n liczb całkowitych dodatnich i liczba s. Pytanie: Czy można w A znaleźć podzbiór B taki, że suma liczb w B jest równa s? = 12 s = / 2 =

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem podzbioru o danej sumie = 12 s = / 2 =

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem podzbioru o danej sumie = 12 s = / 2 = Kopiuj poprzedni wiersz

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem podzbioru o danej sumie = 12 s = / 2 = Uwzględnij bieżący element

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem podzbioru o danej sumie = 12 s = / 2 = Uwzględnij bieżący element + 2

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem podzbioru o danej sumie = 12 s = / 2 = Uwzględnij bieżący element

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem stopu Dany jest podprogram X. Czy ten podprogram skończy obliczenia w skończonym czasie?

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem stopu function ZatrzymaSię(P: procedure): Boolean; { ??? } procedure X; { while ZatrzymaSię(X) do ; }

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Problem stopu ZatrzymaSię(X) procedure X Tak Nie Wniosek: Problem stopu jest nierozstrzygalny

J.Nawrocki, Imperatywne modele obliczeń Ocena wykładu 1. Wrażenie ogólne? (1 - 6) 2. Zbyt wolno czy zbyt szybko? 3. Czy dowiedziałeś się czegoś ważnego? 4. Co poprawić i jak?