Właściwości przekształcenia Fouriera Liniowość Sprzężenie Charakterystyki a-cz i f-cz Zmiana skali Symetria Przesunięcie w czasie Przesunięcie w częstotliwości Modulacja Splot w czasie „Pole” sygnału „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera Różniczkowanie w dziedzinie czasu Całkowanie w dziedzinie czasu Część rzeczywista i urojona sygnału Sygnał parzysty i nieparzysty Składowa parzysta i nieparzysta sygnału Właściwości graniczne transformaty Fouriera Twierdzenie Parsevala i Rayleigha Widmo gęstości energii; energia ułamkowa „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera Założenia podstawowe „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera LINIOWOŚĆ „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SPRZĘŻENIE Dla sygnału rzeczywistego zachodzi związek: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera CHARAKTERYSTYKI A-CZ i F-CZ Dla sygnału rzeczywistego zachodzi związek: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera CHARAKTERYSTYKI A-CZ i F-CZ „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera ZMIANA SKALI „Ścieśnianie” sygnału w dziedzinie czasu powoduje rozszerzanie jego widma; „rozciąganie” sygnału skutkuje zawężaniem widma. Im krócej trwa sygnał, tym szersze jest jego widmo. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SYMETRIA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SYMETRIA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera PRZESUNIĘCIE W CZASIE Wpływ na charakterystykę f-cz „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera PRZESUNIĘCIE W CZĘSTOTLIWOŚCI „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera MODULACJA X() X( - o)/2 X( + o)/2 -o +o „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SPLOT W CZASIE WŁAŚCIWOŚCI Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Przemienność splotu „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SPLOT W CZASIE „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SPLOT w CZASIE określa stopień „pokrywania” się wykresów funkcji w zależności od ich przesunięcia. 1 2 1 -2 1 1 t - 2 t 1 S „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Splot w czasie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Splot w czasie „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SPLOT W CZĘSTOTLIWOŚCI „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera „POLE” SYGNAŁU (składowa stała sygnału) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera RÓŻNICZKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU Różniczkowanie w dziedzinie czasu uwypukla szybkie zmiany sygnału, a więc uwypukla również wyższe częstotliwości. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU Całkowanie w dziedzinie czasu wygładza szybkie zmiany sygnału, a więc uwypukla również niższe częstotliwości. Jeżeli sygnał nie zawiera składowej stałej, X( = 0) = 0, wtedy: „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera CAŁKOWANIE W DZIEDZINIE CZASU Dowód właściwości „całkowanie w dziedzinie czasu” opiera się na przedstawieniu całki w postaci splotu. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera CZĘŚĆ RZECZYWISTA I UROJONA SYGNAŁU „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SYGNAŁY PARZYSTE i NIEPARZYSTE sygnał parzysty transformata Fouriera rzeczywista sygnał nieparzysty urojona transformata Fouriera „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera SKŁADOWA PARZYSTA i NIEPARZYSTA SYGNAŁU „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE TRANSFORMATY FOURIERA (Riemann) W miarę wzrostu częstotliwości „wartość” transformaty Fouriera maleje do zera: Transformata Fouriera (dla impulsów o czasie trwania T) zanika, X(ω) 0, z szybkością: jeżeli tylko istnieją ciągłe pochodne „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE TRANSFORMATY FOURIERA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
WŁAŚCIWOŚCI GRANICZNE TRANSFORMATY FOURIERA -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 +T/2 -T/2 Impuls „podniesiony kosinus” (raised cosine) „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera TWIERDZENIE PARSEVALA i(t) = x(t) u(t) = x(t) E R = 1 „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
TWIERDZENIE PARSEVALA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Marc-Antoine PARSEVAL (1755 - †1836) (no picture available) Very little is known of Antoine Parseval's life. Parseval had only five publications, all presented to the Académie des Sciences. The second was Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux differences partielle linéaires du second ordre, à coefficiens constans dated 5 April 1799, contains the result known today as Parseval's theorem. Parseval's result was not published until his five papers were all published by the Académie des Sciences in 1806. Before that it was known by members of the Academy and appeared in works by Lacroix and Poisson before Parseval's papers were printed. Parseval was never honoured with election to the Académie des Sciences. He remains a somewhat shadowy figure and it is hoped that research will one day provide a better understanding of his life and achievements. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera TWIERDZENIE RAYLEIGHA Twierdzenie Rayleigha stanowi uogólnienie twierdzenia Parsevala dla dwóch różnych sygnałów. „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera WIDMOWA GĘSTOŚĆ ENERGII ENERGIA UŁAMKOWA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Właściwości przekształcenia Fouriera ENERGIA UŁAMKOWA „Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Podsumowanie W większości przypadków transformaty Fouriera wyznaczamy korzystając z udowodnionych właściwości przekształcenia Fouriera oraz wyliczonych wcześniej par transformat. Nie korzystamy z definicji przekształcenia Fouriera. Twierdzenie o splocie oraz twierdzenie Parsevala są właściwościami przekształcenia Fouriera o najbardziej doniosłym znaczeniu. Splot jest wykorzystywany do opisu filtracji sygnałów. Twierdzenie Parsevala jest punktem wyjściowym dla analizy spektralnej procesów losowych.