Przekształcenie Hilberta David Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Przekształcenie Hilberta Sygnał analityczny Obwiednia, kąt fazowy i częstotliwość sygnału Wykres wskazowy sygnału Sygnał wąskopasmowy Filtracja sygnału modulacji amplitudy Sygnały przyczynowe Podsumowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

David HILBERT (1862 - †1943) Matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Getyndze. Autor prac z teorii liczb, równań różniczkowych i całkowych, rachunku wariacyjnego, logiki matematycznej, topologii oraz analizy funkcjonalnej (przestrzeń Hilberta). Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu (1900) przedstawił sławne do dzisiaj 23 problemy, które w nadchodzącym wieku powinny zostać rozwiązane (obecnie 17 problemów jest rozwiązanych, 3 nadal są otwarte, 3 zostały uznane za nieciekawe). Hilbert głęboko wierzył, że w matematyce nie ma miejsca dla ignoramus et ignorabimus (nie wiemy i nie będziemy wiedzieć), a więc nie istnieje możliwość, że coś na zawsze pozostanie nieznane. Wiarę Hilberta zniszczył Kurt Gödel, który udowodnił, że dla każdej teorii aksjomatycznej można zbudować takie zdanie, którego prawdziwości lub prawdziwości jego negacji nie można udowodnić. Hipoteza o nierozstrzygalności jest uznawana za jeden z najgłębszych wyników w historii myśli ludzkiej. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

David HILBERT Uniwersytet w Getyndze, na którym w połowie XIX wieku nauczał "książę matematyków" Carl F. Gauss, miał szczęście do wielkich uczonych. W 1886 roku katedrę matematyki objął tam Felix Klein oraz zapoczątkował odbywające się co tydzień seminaria, w czasie których dyskutowano o najnowszych wynikach. Hilbert był "czystym" matematykiem i pogardzał "technikami", którzy dążyli do praktycznego wykorzystania odkryć matematycznych. Felix Klein natomiast zawsze interesował się zastosowaniami matematyki w technice. Raz na rok Klein spotykał się z inżynierami i przemysłowcami. Pewnego razu zdarzyło się, że w ostatniej chwili przed spotkaniem Klein zachorował i rozpaczliwie szukał zastępstwa. Hilbert zgodził się zastąpić Kleina, który solennie mu przykazał wypowiedzenie przychylnej opinii na temat związków matematyki z techniką. Przemówienie Hilberta było dość lakoniczne: Szanowni panowie - matematyka i technika..., matematyka i technika..., matematyka i technika są w najlepszej zgodzie teraz i pozostaną także w przyszłości, ponieważ - proszę panów - nie mają one niczego z sobą wspólnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Felix Klein (1862 - †1943) Butelka Kleina Butelka Kleina jest przykładem powierzchni bez orientacji, gdyż nie można wskazać co jest jej wnętrzem, a co zewnętrzem. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Przestrzeń euklidesowa i Hilberta Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej: Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej można wyznaczyć korzystając z pojęcia iloczynu skalarnego: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Właściwości iloczynu skalarnego Przemienność Rozdzielność - dodawania Definicja iloczynu skalarnego dla funkcji wg. Hilberta Skalowanie Zerowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Przestrzeń euklidesowa i Hilberta Przestrzeń Hilberta - przestrzeń w której odległość mierzymy za pomocą iloczynu skalarnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Zagadnienie najlepszej aproksymacji funkcji w przestrzeni Hilberta Szereg Fouriera "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Definicja przekształcenia Hilberta sygnał w kwadraturze Filtr Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Definicja przekształcenia Hilberta 1 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Transformaty Hilberta Sygnał x(t) jest sygnałem dolnopasmowym o szerokości widma g < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Transformaty Hilberta -3 -2 -1 1 2 3 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2t/T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Transformaty Hilberta Sa(Wt) H{Sa(Wt)} "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału Obwiednia jest krzywą styczną do krzywych należących do rodziny krzywych. rodzina parabol obwiednia "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t Obwiednia sygnału jest krzywą ograniczającą inną krzywą lub rodzinę krzywych. f0/fm = 10 Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t f0/fm = 100 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t f0/fm = 1000 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału Definicja obwiedni e(t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału (zdudnianie częstotliwości) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia sygnału fonii stereo "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Pewna właściwość obwiedni Sygnał: jest sygnałem analitycznym, a więc: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia generatorem sygnału Wartości sygnału mogą być wyznaczone poprzez wartości obwiedni sygnału (obwiednia generuje sygnał). "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia generatorem sygnału Detektor obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Obwiednia generatorem sygnału Detektor obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Kąt fazowy sygnału Definicja kąta fazowego (t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Częstotliwość chwilowa sygnału Definicja częstotliwości chwilowej (t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Częstotliwość chwilowa sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska Częstotliwość fourierowska pokrywa się z częstotliwością chwilową tylko wtedy, gdy szybkość zmian tej ostatniej jest niewielka (przez pewien okres czasu jesteśmy w stanie obserwować drganie harmoniczne). T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Wykres wskazowy sygnału  0 A0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Wykres wskazowy sygnału  0 e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Wykres wskazowy sygnału e(t) (t) x+(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał wąskopasmowy W "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał wąskopasmowy Stereofonia FM: B = 200 kHz, f0  100 MHz, B/f0 = 0,002 CATV: B = 8 MHz, f0  500 MHz, B/f0 = 0,016 SAT TV: B = 40 MHz, f0  4 GHz, B/f0 = 0,01 Transmisja światłowodowa: III okno 1550 nm, szerokość okna 30 nm, B/f0 = 0,02 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał wąskopasmowy Składowa synfazowa (I) oraz kwadraturowa (Q) I - inphase Q - quadrature "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał wąskopasmowy Widma składowej synfazowej xI(t) oraz kwadraturowej xQ(t) są dolnopasmowe. Widma składowej kwadraturowej xQ(t) znika, gdy widmo sygnału X() jest osiowosymetryczne względem prostej  = 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Dolnopasmowa reprezentacja sygnału wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Wykres wskazowy sygnału wąskopasmowego xQ(t) xI(t) x(t) t = const "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Wykres wskazowy gaussowskiego szumu wąskopasmowego n = 10 n = 100 1 2 n = 1000 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Realizacja gaussowskiego szumu wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Filtracja sygnału modulacji amplitudy ? "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Filtracja sygnału modulacji amplitudy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Zamiana kolejności modulacji i filtracji + – "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Opóźnienie grupowe i fazowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Opóźnienie grupowe i fazowe tg - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni tf - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Opóźnienie grupowe i fazowe tg - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni tf - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnały przyczynowe Sygnał x(t) nazywamy przyczynowym (bez przeszłości), jeżeli x(t) = 0 dla t < 0. x(t) t sygnał nieprzyczynowy sygnał przyczynowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Sygnały przyczynowe Filtr h(t)  H() nazywamy przyczynowym jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0 (skutek nie wyprzedza przyczyny). y(t) x(t) t "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Filtry przyczynowe Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0. t Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli h(t) = 0 dla t < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Filtr nieprzyczynowy t = 0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Filtr przyczynowy R C t = 0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Warunki budowy filtrów przyczynowych Sygnał analityczny ma widmo prawostronne, gdyż część urojona sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej sygnału. Właściwości przekształcenia Fouriera (a więc i Hilberta) są dualne. Sygnał ma przebieg prawostronny (jest przyczynowy), gdy część urojona transformaty Fouriera sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej widma sygnału. Transmitancja filtru jest funkcją analityczną. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Kryterium Paley’a - Wienera Jeżeli cha-ka a-cz filtru spełnia warunek to dla przyczynowości filtru potrzeba i wystarcza, aby spełniony był warunek: znany jako kryterium Paley’a-Wienera. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Kryterium Paley’a - Wienera Kryterium Paley’a - Wienera pozwala stwierdzić, że nie można zrealizować: 1. idealnego tłumienia i/lub 2. idealnie opadającego zbocza. Maksymalna szybkość opadania zbocza filtru "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Filtry minimalno-fazowe Kryterium P-W nie podaje zasad doboru cha-ki f-cz (), a mówi jedynie, że charakterystykę tę można dobrać tak, aby implementacja filtru A()exp[j ()] była możliwa. Transmitancja filtru przyczynowego jest analityczna, zatem analityczna jest funkcja lnH() = lnA() + j (). Warunek ten pozwala dobrać cha-kę f-cz () (filtr minimalno-fazowy): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Podsumowanie Przekształcenie Hilberta nie zmienia ch-aki a-cz sygnału, natomiast wszystkie częstotliwości są przesuwane w fazie o -/2. Przekształcenie Hilberta pozwala zdefiniować sygnał analityczny zawierający wyłącznie częstotliwości dodatnie. Sygnał analityczny pozwala określić obwiednię oraz kąt fazowy sygnału (częstotliwość chwilową). Wykresy wskazowe stanowią ilustrację graficzną sygnału analitycznego na płaszczyźnie zespolonej. Sygnał analityczny pozwala na przedstawienie sygnałów wąskopasmowych za pomocą sygnałów dolnopasmowych. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

Podsumowanie Zamiana kolejności modulacji oraz filtracji jest możliwa, gdy filtr pasmowoprzepustowy zastąpimy jego odpowied- nikiem dolnopasmowym. Filtracja sygnału modulacji amplitudy wiąże się z wprowadzeniem opóźnienia obwiedni (opóźnienie grupowe) oraz opóźnienia sygnału nośnego (opóźnienie fazowe). Implementacja układowa filtru jest możliwa, gdy jego odpowiedź impulsowa jest przyczynowa, a o tym decydują związki Hilberta pomiędzy cz. rzeczywistą a cz. urojoną transmitancji filtru; alternatywą jest kryterium Paley’a - Wienera. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir