WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.

Przykład 1. ZOO Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz. Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt.

k l m w z s j

k z m l s w j

Przykład 2. Podział na pary Dzielimy grupę 10 osób na pary. Każdy chce być w parze ze swoim znajomym.

A F E J B G H I C D Graf Petersena

A F E J B G H I C D Graf Petersena

A B

A B

Przykład 3. Muzeum Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach. Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia.

PLAN MUZEUM a b c d e a b c e d

Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich. Czy jest to możliwe?

D2 D1 D3 ? ? S1 S2 S3

Pojęcie grafu Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie V to skończony zbiór (wierzchołków) E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi). Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna. Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa z zerami na przekątnej.

Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów. Graf pełny Dopełnienie grafu G: Graf pusty

Te same czy takie same? a d c b G3 a b c d G1 a b c d G2 a b c d G4 a

Izomorfizm grafów G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę samą strukturę – są izomorficzne. Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b.

Automorfizmy Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie. Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1. a b c d G1

Samodopełnianie G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem. Na przykład

Stopnie wierzchołków Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę dG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v. Zachodzi wzór gdzie e(G)=|E|.

Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k. Ciąg stopni grafu Ciąg stopni grafu Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2. Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie, δ(G)=δ to najmniejszy stopień. Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k.

Podgrafy Indukowane Rozpięte Ani takie, ani takie

Podgrafy indukowane Podgraf grafu G=(V,E) indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.

Podgraf indukowany - ilustracja W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony a b c

Podgrafy rozpięte Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E.

Podgrafy Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.

Spójność Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne i niepuste podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”). Inaczej

Grafy niespójne A B B1 B2

Wierzchołek cięcia G-v=G[V-v] Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny. Inaczej, istnieje podział V na A i B, |A|, |B|>1 :

Cykle Cykl to 2-regularny graf spójny. Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami. Notacja C_n, dla n=3,4,...

Cykle : ilustracja C_3=K_3 C_4 C_5

Ścieżki Ścieżka to graf spójny o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2. Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami. Notacja P_n, dla n=1,2,...