Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Międzyszkolna Grupa Projektowa Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych w Kotowie Zespół Szkół Budowlanych w Żarach ID grupy: 97/24 / 97/87 Opiekun: Monika Mokrzyńska / Maciej Dragańczuk Kompetencja: Matematyczno-Fizyczna Temat projektowy: „Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa” Semestr/rok szkolny: semestr IV/ rok szkolny 2011/2012

Matematyka jest produktem myśli ludzkiej, niezależnej od doświadczenia, jednak wspaniale pasuje do świata realnego i tak świetnie go tłumaczy.  Albert Einstein

W prezentacji… Probabilistyka... Kombinatoryka oraz definicje głównych jej pojęć Przykłady zadań kombinatorycznych …ZAPRASZAMY

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA (PROBABILISTYKA)… to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. To zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć jednak chcemy badać szansę ich zajścia

Matematyczna teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeniami do analizy gier losowych podjętej w siedemnastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się niemal wyłącznie zjawiskami dyskretnymi i używała metod kombinatorycznych. Blaise Pascal Pierre de Fermat

to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych KOMBINATORYKA to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych. Poza tym znajduje zastosowanie w teorii grafów, teorii informacji i innych działach matematyki stosowanej. Stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej

DEFINICJE GŁÓWNYCH POJĘĆ KOMBINATORYCZNYCH

PERMUTACJE Permutacją („permutatio” to po łacinie: „przemieszczenie”, „przestawienie”) zbioru n- elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba permutacji zbioru n-elementowego jest równa: n! Symbol n! (silnia) - oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1∙2∙3∙…∙n przy czym 0!= 1 .

KOMBINACJE Kombinacja bez powtórzeń to każdy podziór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n- elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ k ≤ n). Liczba kombinacji wyraża się wzorem

Wariacje bez powtórzeń Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n- elementowego (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k- wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem

Wariacje z powtórzeniami Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n- elementowego nazywa się każdy k- wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Należy zauważyć, iż kolejność elementów ma znaczenie. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:

PRZYKŁADY ZADAŃ KOMBINATORYCZNYCH

PERMUTACJE Ile możemy zrobić różnych zdjęć 3 osobom siedzącym w jednym rzędzie obok siebie? Foto: Mariusz, Maciek, Krystian(Żary) Rozwiązanie:

permutacje ASY z Kotowa- 11 osób (3chłopców i 8 dziewcząt) jadą na spotkanie z ASAMI z Żar  Na ile sposobów mogą wsiąść do autobusu? a)wsiadają pojedynczo w dowolnej kolejności Grupa może wsiąść na 39916800 sposobów b) pierwsze wsiadają kobiety Grupa może wsiąść na 241920 sposobów

permutacje Ile różnych liczb sześciocyfrowych takich aby żadna cyfra się nie powtarzała i aby w rzędzie dziesiątek była 2 lub 4 można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5?

KOMBINACJE Z okazji zjazdu koleżeńskiego spotyka się dwunastu przyjaciół. Ile nastąpi powitań?

KOMBINACJE Z okazji zjazdu koleżeńskiego spotyka się dwunastu przyjaciół. Ile nastąpi powitań?

KOMBINACJE Z naszej klasy liczącej 24 uczniów (10 chłopców i 14 dziewcząt) należy wybrać 5 osobową delegację która pojedzie na „Serengeti”? Na ile sposobów można wybrać taką delegację aby w jej skład weszło co najmniej trzech chłopców?

rozwiązanie Delegacja –wybór 3 chłopców i 2 dziewczynek Delegacja-wybór 4 chłopców i 1 dziewczynki Delegacja-wybór 5 chłopców Odpowiedź :Delegację można wybrać na 10920+2940+252=14112 sposobów

Wariacje bez powtórzeń W grupie liczącej 11 uczniów rozlosowano trzy bilety do trzech różnych teatrów. Ile jest różnych możliwych wyników losowania? Stanisław z dziewczynami(Kotowo)

Wariacje bez powtórzeń Ile jest możliwości wylosowania jednej z cyfr 1,2 3,4, 5, a następnie z pozostałych drugiej?

Wariacje z powtórzniami Pięciu uczniów zdaje egzamin. Wiadomo że żaden nie otrzyma oceny celującej ani niedostatecznej. Foto:Weronika Iloma sposobami można wystawić im stopnie?

Wariacje z powtórzniami Osiem kul ponumerowanych liczbami od 1 do 8 rozmieszczono w trzech ponumerowanych szufladach od 1 do 3. Ile jest różnych rozmieszceń?

bibliografia Jerzy Ligman,Edward Stachowski, Anna Zalewska „Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa” Włodzimierz Łenski, Andrzej Patkowski „Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych” http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica_Wikipedii/ Przegląd_zagadnień_z_zakresu_matematyki

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ Grupy 97/24 i 97/87 