Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: III Liceum Ogólnokształcące im Profesora Wiktora Zina w Zespole Szkół nr 2 w Wałczu ID grupy: 97/25_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno- fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: 2010/2011

Liczby Fibonacciego

Leonardo Fibonacci…

Syn poczciwca Leonardo Fibonacci (ok. 1170- ok. 1240 ) był Pizańczykiem, któremu można zawdzięczyć rozwój matematyki na przełomie XII i XIII wieku. Pierwsze lekcje matematyki pobierał Fibonacci w kolonii włoskiej na północy Afryki, w portowym mieście, której szefem był pizański kupiec- ojciec Leonarda. 12- wieczny student szybko pojmował wiedzę od swojego arabskiego nauczyciela, dlatego nauka zawiodła go w takie miejsce jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W 1202 roku napisał on swoje głośne dzieło Liber Abaci, co znaczy Księga Rachunków. Było to dzieło napisane po łacinie zawierające dorobekarytmetyki i algebry. Była to jedna z pierwszych książek opierająca się na dziesiątkowym systemie liczenia. W tej też książce pojawiły się w pierwszym rozdziale arabskie (a raczej hinduskie cyfry). W jego Liber Abaci można znaleźć wiele ciekawych matematycznych problemów- zagadka o dwóch ptakach, o kupcu z Pizy, o zawartościach czterech sakiewek, znalazły się tam nawet równania diofantyńskie, czyli równanie z dwoma niewiadomymi.

Syn szefa kolonii Fibonacci był znawcą związków pomiędzy liczbami. W 1225 roku otrzymał na turnieju zadanie: znaleźć liczbę, która jest zupełnym kwadratem i pozostanie nim również wówczas, gdy ją zwiększymy o pięć oraz gdy ją zmniejszymy o pięć (liczba jest zupełnym kwadratem, gdy jest kwadratem pewnej liczby wymiernej). Fibonacci po krótkim namyśle podał 1681/144. Nie wiadomo jak do tego doszedł

Liber Abaci W dziele Leonarda Fibonacciego z Pizy pojawiły się także zadania i problemy związane z Ciągiem Fibonacciego. Chociaż nie wiadomo, kto go wymyślił, to jednak Pizańczykowi przypisuje się jego odkrycie.

Liczby Leonarda Liczby Fibonacciego to liczby będące wyrazami Ciągu Fibonacciego, zdefiniowanego w sposób następujący F(1)=1 F(2)=2 F(n)= F(n-1) + F(n-2) W ciągu tym każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich . Ciąg Fibonacciego jest przykładem ciągu rekurencyjnego, czyli takiego, w którym następny wyraz zależy od poprzedniego. Jest to pierwszy ze znanych ciągów tego rodzaju.

Początkowe wartości ciągu 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610, 987,… 2=1+1 3=2+1 5=3+2 8=5+3 13=8+3 itd..

A gdy chcemy sprawdzić… Aby sprawdzić n-tą Liczbę Fibonacciego należy zastosować wzór: Po zaokrągleniu tej liczby do liczby naturalnej otrzymamy dokładną wartość danej Liczby Fibonacciego

Ciąg nam bliski Ciąg liczbowy może wydawać nam się pojęciem bardzo dalekim, wręcz abstrakcyjnym. Lecz ten konkretny ciąg liczbowy- Ciąg Fibonacciego występuję powszechnie na świecie w wymiarach obiektów żywych i nieożywionych. Zadziwiające jest, że te liczby, które pojawiły się w powiązaniu z bardzo nienaturalnym, matematycznym modelem zadań z Księgi Abaku, występują jako wymiary obiektów przyrody, które przecież pojawiły się na długo przed ich wprowadzeniem przez Fibonacciego do matematyki. Bardzo ciekawy jest ich związek z doskonałością budowy natury- być może właśnie w tym należy szukać uzasadnienia dla ich występowania jako liczbowych modeli wielu obiektów przyrody. Warto dodać że człowiek znalazł dla tych liczb zastosowanie w budownictwie, sztuce, a nawet muzyce.

Ciąg sławny O popularności i rozległości zastosowania liczb Fibonacciego może świadczyć fakt, że jest wydawane specjalne czasopismo pt. „ The Fibonacci Quarterfy”, poświęcone w całości tym liczbom i ich wykorzystaniu. Jest to jedyne czasopismo naukowe, w którego tytule występuje nazwisko osoby naukowca.

ZADANIA Czyli co Leonardo Fibonacci rozpatruje w Liber Abaci

Zadanie I Przyjmijmy, że króliki żyją nieskończenie długo i że każdego miesięca każda para rodzi nową parę, a ta może mieć młode, gdy ma dwa miesiące. Zaczynamy hodowlą od jednej, właśnie narodzonej pary. Ile par królików mamy w kolejnych miesiącach? Czyli: Nowa para staje się płodna po miesiącu życia Każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu Króliki nigdy nie umierają Podręcznik klasa III, strona 223

I miesiąc Jedna para nowo narodzonych królików

II miesiąc Jedna para niezdolna jeszcze do rozmnażania

III miesiąc Jedna para urodziła już nowa parę

IV miesiąc Para rodzi kolejną parę, a ta urodzona miesiąc wcześniej jeszcze nie może się rozmnażać

V miesiąc

VI miesiąc

Itd…. Miesiąc Pary dorosłe Pary młode Całkowita l. par styczeń 1 2 luty 3 marzec 5 kwiecień 8 maj 13 czerwiec 21 lipiec 34 sierpień 55 wrzesień 89 październik 144 listopad 233

Otrzymane liczby to 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 itd Otrzymane liczby to 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 itd. Są to liczby Ciągu Fibonacciego

Zadanie II Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata, nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty, czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych latach po osadzeniu?

Zadanie to można rozrysować następująco

Dwa różne zadania, a jednak podobne… Zadanie o królikach i o gałęziach tego drzewa jest bardzo podobne i opiera się na tym samym ciągu liczb. Zatem liczba gałęzi w kolejnych latach opisana jest liczbami Fibonacciego. Zadanie o gałęziach jest jednak bardziej realistyczne. Biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają.

…a wracając do roślin Nie tylko drzewa wypuszczają gałęzie pod komendę liczb Fibonacciego, także liczba płatków wielu kwiatów, w tym popularnej stokrotki jest na ogół liczbą Fibonacciego i wynosi 3, 5, 8 lub 13. Skąd komórki wiedzą, że liczba kwiatów ma być liczbą Fibonacciego i jak ta informacja rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko to w botanice nazywa się filotaksją, dosłownie „układem liści”. Zjawiskiem tym interesował się Alan Turing, który wsławił się złamaniem szyfrów niemieckiej maszyny Enigma.

Jeszcze bardziej zadziwiający wynik dają obserwacje rozkładu liści na gałązkach i gałązek na łodydze dębu. Od razu zauważymy, że nie wszystkie liście leżą jeden na drugim, podobnie gałązki. Przeciwnie, zamiast wzdłuż linii prostej, układają się one wzdłuż spirali, która okrąża łodygę. Krzywa ta nazywa się helisą. Cyklem tej krzywej nazywa się odległość liści osadzonych dokładnie jeden na drugim, wzdłuż gałęzi lub łodygi. Helisę danej rośliny można scharakteryzować dwiema liczbami: liczbą obrotów cyklu helisy wokół gałązki lub łodygi, oraz liczbą odstępów między kolejnymi liśćmi leżącymi nad sobą. Okazuje się, że dla bardzo wielu roślin te dwie liczby są Liczbami Fibonacciego. Na przykład drzewo bukowe ma cykl złożony z trzech liści i wykonuje on jeden obrót, a wierzba amerykańska ma cykl złożony z 13 liści i wykonuje on pięć obrotów.

Układ liści na gałązkach i gałązki na łodygach.

Taki rozkład liści i gałązek roślin można uzasadnić ich naturalnymi potrzebami zdobywania jak największej ilości światła i wilgoci.. Można wię argumentować, że liście nie rosną bezpośrednio nad sobą, gdyż zasłaniałyby sobie światło słoneczne padające z góry. Ponadto ich położenie względem siebie powoduje spadanie kropli rosy lub deszczu z jednego liścia na inny, leżący pod nim. Nie wiadomo jednak dlaczego wzorem do odstępów i układu liści są akurat Liczby Fibonacciego.

Szyszki i słoneczniki Najbardziej znanym przykładem występowania liczb w przyrodzie są zapewne układy łusek na szyszkach i układy pestek w tarczach słoneczników Spirale na szyszce tworzone przez jej łuski są prawoskrętne i lewoskrętne. Nie zawsze szyszki, nawet tego samego gatunku, mają identyczną liczbę spiral. Jednak z wyjątkiem kilku procent badanych szyszek, łuski układają się wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego. Fenomenem jest fakt, że matematyka wywiera tak duży wpływ na naturę, czy też przyroda na królową nauk. Być może nigdy nie odkryjemy, dlaczego przyroda wykorzystuje Liczby Fibonacciego.

Szyszka z 8 lewoskrętnymi spiralami i 13 prawoskrętnymi.

Tak Fibonacci „układa” spirale na słoneczniku.

Liczba φ (fi) Liczba φ to kolejna tak ważna liczba niewymierna, jak choćby liczba π. Liczba φ jest np. stosunkiem boków w prostokącie złotym Występuje w sztuce. Ma bardzo wiele wspólnego z Liczbami Fibonacciego. Kolejne ilorazy Liczb Fibonacciego są coraz doskonalszymi przybliżeniami liczby φ. 2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,666 8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,615 34/21=1,619

Złoty prostokąt Z tego, że stosunek dwu kolejnych Liczb Fibonacciego jest bliski złotej liczbie φ, wynika, że pokazany obok prostokąt jest w przybliżeniu złotym prostokątem.

Złota proporcja Złota proporcja to klasyczny element matematyki. Pochodzi już ze starożytności, związany jest ze złotym podziałem. Okazuje się, że Liczby Fibonacciego są ściśle z nią związane. Od czasów starożytności znany jest termin boska proporcja (łac. divina proportio) nazywana częściej złotą proporcją lub też złotym stosunkiem. Podział odcinka a na dwie części oraz a-x jest złotym podziałem tego odcinka, jeśli cały odcinek a tak ma się do swojej większej części, jak większa część ma się do mniejszej części a-x. Boską proporcją jest stosunek a/x.

Oto odcinek podzielony w stosunku złotym

Złotą proporcję znajdujemy w wielu wymiarach człowieka Dwie części całego ciała oddzielone linią pępka pozostają w boskiej proporcji, podobnie wysokość głowy od górnej części tułowia, a także kolana względem dolnej części tułowia.

Fronton Partenonu na Akropolu (448-432 pne) Złota proporcja występuje często między wymiarami starożytnych budowli. Np. Partenon można zawrzeć w prostokącie wyrażającym się złotą liczbą

Spirala równokątna Podobnie jak Partenon, także Złotą Spiralę można związać prostokątem o złotym stosunku boków. Spirala ta występuje we wzorze łusek na szyszkach.

CIEKAWOSTKI Liczby Fibonacciego tworzą system liczbowy. KAŻDA liczba całkowita może być przedstawiona jako suma liczb Fibonacciego 1 000 000= 832 040 +121 393+46 368+144+55 -są tylko dwie liczby Fibonacciego. , które są kwadratami: 1 i 144 -są dokładnie dwie liczby Fibonacciego, które są sześcianami: 1 i 8 Występują w molekułach DNA, strukturze kryształu, orbitach planet i galaktyk, wirach wodnych, huraganach.

LICZBY LUCASA Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich. Ciągi Lucasa zostały zdefiniowane w końcu XIX wieku przez Edouarda Lucasa i służą do wyszukiwania liczb pierwszych. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowania.

LICZBY LUCASA Ciąg Lucasa to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: L0 = 2 L1 = 1 Ln = Ln-1 + Ln-2, dla n > 1 Początkowe wartości ciągu Lucasa to: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ...

Dziękujemy za uwagę

Bibliografia Encyklopedia Szkolna Matematyka str.28 Mała Encyklopedia Powszechna PWN „Wstęp do liczb Fibonacciego” Agata Cywińska Joanna Kozioł http://free.of.pl/f/fibonacci/index.html