Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

DANE INFORMACYJNE Nazwy szkół: Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych im. Eugeniusza Kwiatkowskiego w Grodzisku Wielkopolskim Zespół Szkół Ekonomiczno – Hotelarskich im. Emilii Gierczak w Kołobrzegu ID grupy: 97/52_MF_G1 97/35_MF_G1 Opiekunowie: Lidia Baum Tomasz Ragan Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Nierówności w geometrii Semestr lato rok szkolny 2011/2012 …………………………………………………….

Co to jest nierówność ? Wzór dla ujemnych a i b. Nierówności między średnimi. Znane nierówności w trygonometrii. Nierówności w trójkącie. Średnie trapezu. Wzór na nierówność Ptolemeusza. SPIS TREŚCI :

Nierówność to, w uproszczeniu, stwierdzenie że jeden obiekt jest większy od drugiego, czyli dwa wyrażenia połączone relacją porządkującą: Zapis a < b oznacza, że a jest mniejsze od b Zapis a > b oznacza, że a jest większe od b Powyższe nierówności nazywa się ostrymi lub mocnymi; Wyrażenie (obiekt) nazywa się lewą stroną nierówności, - prawą stroną nierówności. Przykłady nierówności: 1 < 2 5 > 10 x + 3 < 6x Pierwsza nierówność jest prawdziwa, druga fałszywa, trzecia może być – w zależności od wartości x – prawdziwa lub fałszywa: dla x = 10 jest prawdziwa, dla x = 0 jest fałszywa.

Jest to nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dwóch liczb, wynik znany już w starożytności. Wzór dla ujemnych a i b:

Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną nazywana jest nierównością Cauchyego. Nierówności między średnimi:

Znane są nierówności : Trygometria

twierdzenie matematyczne mówiące, że dla dowolnego trójkąta miara jednego boku musi być mniejsza lub równa sumie miar dwóch pozostałych, ale większa lub równa od różnicy ich miar. W obu przypadkach równości zachodzą dla trójkątów zdegenerowanych, czyli mających postać odcinka: jeden kąt ma wówczas 180°, dwa pozostałe 0°. Nierówność trójkąta nie ogranicza się do płaszczyzny, lecz obowiązuje dla przestrzeni liczb rzeczywistych, euklidesowych. Występuje ona także jako aksjomat w definicjach struktur analizy matematycznej i funkcjonalnej takich jak przestrzeń unormowana, czy przestrzeń metryczna. Nierówności w trójkącie:

Wizualizacja działania nierówności trójkąta:

Średnie trapezu:

Średnia arytmetyczna (A) najłatwiejsza do znalezienia i najbardziej znana wystarczy wziąć środkową trapezu, czyli odcinek łączący środki jego ramion.

Średnia kwadratowa (K)- podzielmy trapez odcinkiem równoległym do podstaw na dwa trapezy o równych polach. Przesuwając poziomy odcinek od jednej podstawy do drugiej, nietrudno się przekonać, że jest dokładnie jedno jego dobre położenie.

Średnia geometryczna(G)-podzielmy ponownie nasz trapez odcinkiem poziomym, ale tym razem inaczej tak, by otrzymane trapezy były podobne.

K > A: Zauważmy, że dolny z trapezów o równych polach ma odpowiednie podstawy dłuższe niż górny, zatem musi mieć mniejszą wysokość. Stąd wyznaczający te trapezy odcinek leży poniżej środkowej.

A > G: Tu z kolei dolny z dwóch trapezów podobnych też ma odpowiednie podstawy dłuższe, ale tym razem oznacza to, że i wysokość musi mieć dłuższe. Stąd wyznaczający te trapezy odcinek leży powyżej środkowej.

Nierówność Ptolemeusza:

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie