Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 2 w Szamotułach ID grupy: 97/74_MF_G1 Opiekun: Daniel Kuzara Kompetencja:matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Liczby Fibonacciego Semestr/rok szkolny: III semestr 2010/2011

Liczby Fibonacciego

Fibonacci - włoski matematyk Fibonacci - włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy). BIOGRAFIA: Jego ojciec, Guilielmo z rodziny Bonacci, zajmował stanowisko dyplomatyczne w Afryce północnej i Fibonacci tam właśnie się kształcił. Pierwsze lekcje matematyki pobierał od arabskiego nauczyciela w jeden algierskich miast. Dużo podróżował po takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W czasie swych podróży miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, między innymi dziesiętny system liczbowy. Około 1200 Fibonacci zakończył podróże i powrócił do Pizy.

Dzieła Fibonacciego Napisał szereg rozpraw matematycznych, z których wiele zaginęło. Wśród prac, których kopie zachowały się do czasów współczesnych znajdują się: • Liber Abaci (1202), gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki, • Practica geometriae (1220), będące połączeniem algebry i geometrii, oraz • Flos (1225) i Liber quadratoru.

Historia odkrycia ciągu Fibonacciego Leonardo Fibonacci, matematyk włoski, w swojej książce LiberAbbaci opublikowanej w 1202 r., zajął się problemem dotyczącym szybkości rozmnażania się stada królików. Przebiega ono według następujących zasad. -Na początku mamy F nowo narodzonych królików i o każdej parze królików zakładamy, że: -nowa para staje się płodna po miesiącu życia; -każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu; -króliki nigdy nie umierają. Oryginalne pytanie Fibonacciego brzmiało: ile będzie par królików po upływie roku? Najczęściej pyta się, ile będzie par królików po upływie k miesięcy - oznaczamy tę liczbę przez Fk i nazywamy liczbą Fibonacciego. Z warunków rozmnażania się królików można wywnioskować, że w kolejnym miesiącu liczba par królików jest równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają, plus liczba par nowo narodzonych królików, a tych jest tyle, ile było par dwa miesiące wcześniej, gdyż tylko te pary mogą rodzić nowe pary królików. To rozumowanie, gdy zastąpić w nim "liczbę królików" przez "liczbę Fibonacciego", prowadzi do określenia danej liczby Fibonacciego w zależności od liczb Fibonacciego w dwóch poprzednich miesiącach.

„kRóliki Fibonacciego”

Podstawowy związek pomiędzy wyrazami ciągu fibonacciego. Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju. Wyrazy ciągu Fibonacciego: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… kn+2=kn+1+kn k1=1, k2=1…, n=1,2,3

Inne związki pomiędzy wyrazami ciągu Fibonacciego 1. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą otrzymamy wówczas iloraz oscylujący wokół 1,618, a więc tzw. „złotej proporcji”. 2. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę kolejną wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 0,618. 3. Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego. 4. Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144. 5. Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb Fibonacciego, zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym. 6. Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. 7. Istnieje nieskończenie wiele liczb n dla których zachodzi podzielność n | Fn.

związek ciągu ze złotą liczbą Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… co daje kolejno: Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

związek ciągu z liczbą lucasa Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich. Jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego. Ciąg Lucasa to ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: L0 = 2 L1 = 1 Ln = Ln-1 + Ln-2, dla n > 1 Początkowe wartości ciągu Lucasa to: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, ... Niech Fn oznacza n-tą liczbę ciągu Fibonacciego. W ciągu Lucasa zachodzą równości: Ln = Fn-1 + Fn+1 5Fn = Ln-1 + Ln+1 F2n = LnFn Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału Φ = 5 + 1 2 = 1,6180339887498948482..., a stosunek LnFn między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do 5.

Tożsamosci liczb fibonacciego Wykaż że zachodzi tożsamość:

Tozsamosci liczb fibonacciego bo te same dwa pierwsze wyrazy i ta sama rekurencją. bo te same dwa pierwsze wyrazy i ta sama rekurencją. bo te same dwa pierwsze wyrazy i ta sama rekurencją. bo te same dwa pierwsze wyrazy i ta sama rekurencją. Tozsamosci liczb fibonacciego Co można tak zobaczyć: Oznaczmy: Mamy: a dla uogólnionych współczynników dwumianowych zachodzi: Zatem: Oraz dla n>1: Bo te same dwa pierwsze wyrazy i ta sama rekurencja.

Interpretacja geometryczna Ciąg Fibonacciego może być geometrycznie interpretowane przez coraz większych kwadratów wymiar jednostki. Jeżeli numer jeden dodaje się do jednego wynik jest dwa - co jest długość boku kwadratu z adnotacją 2. Jeśli kwadratów 1 i 2 są sumowane, rezultat jest kwadrat 3. Ta sama procedura obowiązuje na placu 5: plac 3 + kwadrat 2 (właściwie kwadratów 1 plus 1). Stąd, ciąg Fibonacciego można zilustrować przez dodanie kwadratów zgodnie z opisem.

Związek liczb fibonacciego z trójkątem pascala. Każdy wyraz ciągu Fibonacciego (oprócz dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich wyrazów; iloraz dwóch sąsiednich wyrazów dąży do złotej liczby. Ciąg Fibonacciego występuje również w trójkącie Pascala.

Złoty podział w architekturze ● Zasada złotego podziału znana od starożytności, znalazła zastosowanie w architekturze antycznej, romańskiej oraz w sztuce renesansu i klasycyzmu; ● Okna w budowlach w stylu renesansowym ( szerokość do wysokości była w stosunku 5:8 ); ● renesansowe pałace włoskie, np. Palazzo Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Kaplica Palazzo Vendrai; ● także inne świątynie, np. Partenon na Akropolu. ●Złoty kanon przejęli od starożytnych artyści renesansowi, choć nie traktowali go już w tak ortodoksyjny sposób. Co prawda istniała opcja estetyczna, według której plan i proporcje kościoła podłużnego winny odpowiadać kształtom i proporcjom ludzkiego ciała (Francesco di Giorgio, Filarete), a proporcje dobrze zbudowanego człowieka powinny odpowiadać prostym figurom geometrycznym, kołu i kwadratowi.

Partenon w złotej proporcji Partenon, Świątynia Ateny na Akropolu w Atenach, zbudowana w latach 448-432 p.n.e. Fronton świątyni mieścił się w prostokącie, w którym stosunek boków wyrażał się liczbą złotą.

Apollo belwederski – venus z milo. Złota proporcja

Ciąg fibonacciego w budowie roślin Widzimy słonecznik, który spełnia warunek ciągu Fibonacciego

Drzewo rozrastające się wg modelu fibonacciego

Spirala fibonacciego Przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób, że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do całości. Odcinek większy staje się bokiem kwadratu, który dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy wraz z drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie otrzymujemy prostokąt, podzielony ma kwadrat i mniejszy prostokąt. Następnie dzielimy mniejszy prostokąt w identyczny sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości na kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy ćwiartkę okręgu, o promieniu równym długości boku, a po połączeniu wszystkich ćwiartek otrzymujemy gotową spiralę. Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka, od razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg.

Spirala fibonacciego

Zastosowanie liczb fibonacciego w ekonomii - giełda Ciąg Fibonacciego ma swoje zastosowania na giełdzie, w analizie papierów wartościowych. Wyróżniamy 3 metody ich wykorzystania: -Metody cenowe -Metody czasowe -Metody cenowo-czasowe

Metody cenowe

Metody cenowe Teoria fal pozwala zaobserwować proporcje miedzy falami kolejnych ruchów cen. Fale te dzielą się na fale główne i następujące po nich fale korekty. Oba rodzaje wzrostów i spadków muszą być tego samego rzędu. Proporcję tę możemy opisać jako kolejne potęgi liczby Φ i jej odwrotności.

Metody czasowe Zastosowanie stref czasowych Fibonacciego na przykładzie akcjogramu Kredyt Banku

Metody czasowe W analizie fal, okresy wynikające z sekwencji Fibonacciego wskazują na możliwe punkty zwrotne zwłaszcza jeżeli się zbiegają się z prognozowanymi poziomami cenowymi i porządkiem fal. Wyznaczenie dnia docelowego na bazie odległości między punktami zwrotnymi A i B oraz współczynnika 1,618.

Metody czasowe Dłuższe obserwacje doprowadziły do powstania stref czasowych Fibonacciego, w których daty kolejnych dni docelowych obliczamy na podstawie wzoru: Cn= A + Φn gdzie: A - data dnia zwrotnego tj. dnia zmiany tendencji rynkowej. Fn- n-ta liczba ciągu Fibonacciego Cn- data n-tego dnia docelowego (DD)n

Metody cenowo-czasowe Zastosowanie łuków Fibonacciego Na akcjogramie spółki Dębica

Metody cenowo-czasowe

Wyprowadzenie wzoru bineta Przy wykorzystaniu wzoru ogólnego na ciąg Fibonacciego i równania rekurencyjnego wyznaczyliśmy wzór Bineta. Ma on postać:

Nasza strona http://liczbyfibonacciego.tnb.pl