Instrumenty o charakterze własnościowym - akcje Krótka sprzedaż Portfel dwóch akcji Stopa zwrotu akcji, portfela Odchylenie std. stopy zwrotu Oczekiwana stopa zwrotu portfela Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela

Krótka sprzedaż Możliwość krótkiej sprzedaży, to możliwość sprzedaży akcji pożyczonych od odpowiedniej instytucji, np. biura maklerskiego. W ustalonym momencie w przyszłości akcje należy zwrócić. Zatem korzystający z takiej możliwości musi odkupić akcje w tej samej liczbie i przekazać biuru maklerskiemu. Krótkiej sprzedaży dokonuje się w przypadku przewidywania spadku cen akcji. Inwestor zyskuje na spadku cen akcji Zysk inwestora jest różnicą miedzy wartością sprzedanych na początku akcji a kwotą za którą musi później odkupić akcje

Krótka sprzedaż. Cena akcji w momencie pożyczenia - 100 zł Krótka sprzedaż. Cena akcji w momencie pożyczenia - 100 zł. Liczba pożyczonych akcji - 100

Portfel dwóch akcji W - wartość portfela W = a P1 + b P2 P1 - cena akcji typu A , P2 – cena akcji typu B a - liczba akcji typu A, b - liczba akcji typu B a P1 - wartość akcji typu A w portfelu b P2 - wartość akcji typu B w portfelu a P1 / W – udział akcji A typu w portfelu, ozn. α b P2 / W – udział akcji typu B w portfelu, ozn. β α + β = 1, α, β – nieujemne

Stopa zwrotu z portfela dwóch akcji przy braku krótkiej sprzedaży i dywidendy RA – okresowa stopa zwrotu z akcji A RB – okresowa stopa zwrotu z akcji B Stwierdzenie. Jeżeli α, β oznaczają udziały akcji A i B w portfelu, to okresowa stopa zwrotu z portfela - RP jest równa RP = α RA + β RB Dowód: (przy oznaczeniach z poprzedniego slajdu) P1(1+ RA), P2 (1+ RB), - ceny końcowe akcji A , B Przyrost wartości portfela w okresie bazowym: [a P1(1+ RA)+ b P2 (1+ RB)] – (a P1+ b P2 )= a P1RA+b P2 RB stopa zwrotu RP = ( a P1RA+b P2 RB) / W = (a P1/ W) RA+ (b P2 / W) RB = α RA + β RB

Portfel z możliwością krótkiej sprzedaży Przy przyjętych oznaczeniach, wartość portfela dwóch akcji W = a P1 + b P2 lub W = α W + β W gdzie α + β = 1; α , β > 0 oraz αW = a P1, βW= b P2 Krótka sprzedaż Sprzedajemy akcje B. Za otrzymaną kwotę kupujemy akcje A. (Portfel ma teraz w składzie 100% akcji A) Dokonujemy krótkiej sprzedaży b akcji spółki B, zaś otrzymane pieniądze inwestujemy w akcje spółki A, wartość portfela: W = a P1 + (-b) P2 może być zapisana jako W = α W + β W ale teraz α > 1, β < 0, (α + β = 1) W konsekwencji wzrost ceny akcji B spowoduje spadek wartości portfela

Parametry zmienności ceny akcji średnia, wartość oczekiwana miary rozproszenia wariancja odchylenie standardowe miary współzależności kowariancja korelacja

Stopa zwrotu (zysku) z akcji Metoda historyczna   Di - dywidenda wypłacona pod koniec i – tego okresu, Pi, Pi-1 - ceny akcji pod koniec i na początku i –tego okresu. stopa zysku w i - tym okresie

Stopa zwrotu z akcji Metoda historyczna

Oczekiwana stopa zwrotu z akcji Prognozowanie „ekspertowe” Stan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A pi ri Bessa 0,1 -20% Trend spadkowy 0,3 0% Trend boczny 0,2 5% Trend wzrostowy 10% Hossa 30%

Wartość oczekiwana zmiennej losowej (Miara tendencji centralnej) Def. Niech Ω będzie zbiorem skończonym. Wartością oczekiwaną EX zmiennej losowej X przyjmującej n wartości x1, ..., xn nazywamy liczbę

Wartość oczekiwana zmiennej losowej Własności (i) E (X) = a jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość a (ii) E (aX) = a E(X) dla dowolnej a є R (iii) E(X +Y) = E(X) + E(Y) dla dowolnych zmiennych losowych X, Y (iv) E(X + a) = E(X) + a dla dowolnej liczby rzeczywistej a

Ryzyko papieru wartościowego. Wariancja stopy zwrotu Metoda historyczna

Ryzyko papieru wartościowego Które akcje są bardziej ryzykowne ?

Ryzyko papieru wartościowego Oba typy akcji posiadają tę samą oczekiwaną stopę zwrotu, jednak akcje typu B charakteryzują się mniejszym rozproszeniem wyników, są zatem „bezpieczniejsze”. Dla akcji A, oprócz dużej stopy zwrotu (30 %) może zdarzyć się duża strata (- 20%)

Wariancja zmiennej losowej (Miara rozproszenia wyników) Def.. Wariancją zmiennej losowej X przyjmującej n wartości nazywamy liczbę

Wariancja zmiennej losowej Stwierdzenie. Wariancja zmiennej losowej X może być obliczona ze wzoru Var X = E(X2) – (E(X))2 Dowód. E[(X-E(X))2] = E[X2 – 2XE(X) + (E(X))2] =E(X2) –2 E(XE(X)) + E(E(X))2 = E(X2) – 2 (E(X))2 + (E(X))2 = =E(X2) – (E(X))2.

Wariancja. Własności Var X > 0 jeżeli X przyjmuje tylko jedną wartość, to Var X = 0 Var (aX) = a2 VarX (dla dowolnej liczby rzeczywistej a ) (iv) Var (a + X) = VarX

Wariancja stopy zwrotu papieru wartościowego Metoda „ekspertowa” Stan giełdy/ trend Prawdopodobieństwo Stopa zwrotu akcji A Składniki wariancji pi ri  (ri-RA)2pi Bessa 0,1 -20% 0,00625 Trend spadkowy 0,3 0% 0,00075 Trend boczny 0,2 5% Trend wzrostowy 10% Hossa 30% wariancja 0,014

Ryzyko papieru wartościowego Odchylenie standardowe Wymiar odchylenia standardowego jest taki sam, jak wielkości mierzonej. Jeżeli zmienna losowa jest wyrażoną w procentach stopą zwrotu, odchylenie std. będzie miało wymiar procentowy Odchylenie std. stopy zwrotu przyjmuje się za miarę ryzyka akcji

Miary współzależności Kowariancja stóp zwrotu dwóch papierów wartościowych (Kowariancja zmiennych losowych) Korelacja stóp zwrotu dwóch papierów wartościowych (Korelacja zmiennych losowych)

Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych dla danych historycznych z n okresów

Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych dla danych historycznych z n okresów (drugi wzór – dla małej liczby danych)

Niezależność zmiennych losowych Def. Zmienne X, Y o rozkładzie dyskretnym, przyjmujące odpowiednio n i m wartości, nazywamy niezależnymi zmiennymi losowymi, gdy spełniony jest warunek

Niezależność zmiennych losowych Twierdzenie. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to E(XY) = E(X) E(Y) Dowód.

Kowariancja zmiennych losowych Miara współzależności Def. Kowariancją zmiennych losowych X, Y przyjmujących odpowiednio n i m różnych wartości nazywamy liczbę

Kowariancja zmiennych losowych Stwierdzenie. Kowariancję zmiennych losowych X, Y można przedstawić w postaci

Kowariancja zmiennych losowych Dowód E[(X-EX)(Y-EY)] = E[(XY - X EY – Y EX + EX EY)] = E(XY) – E(XEY) – E(YEX) + E(EX EY) = E(XY) – EY EX – EX EY + EX EY = E(XY) – EY EX.

Kowariancja zmiennych losowych Def. Jeśli Cov (X,Y) = 0, to zmienne X,Y nazywamy nieskorelowanymi, w przeciwnym wypadku mówimy, że zmienne są skorelowane. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane. Dowód wynika z ostatniego stwierdzenia oraz wzoru dla niezależnych zmiennych losowych E(XY) = E(X) E(Y)

Własności kowariancji a - dowolna liczba rzeczywista (i) Cov(X,Y) = Cov(Y, X) (ii) Cov(X,X) = Var X (iii) Cov(aX,Y) = a Cov(X,Y) (iv)      Cov(a+X,Y) = Cov(X,Y) (v)     Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Wniosek Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)

Kowariancja. Szczególny przypadek Jeżeli każda ze zmiennych losowych X,Y przyjmuje n wartości oraz

Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe

Kowariancja stóp zwrotu papierów wartościowych Prognozowanie ekspertowe

Korelacja papierów wartościowych Współczynnik korelacji stóp zwrotu papierów wartościowych to liczba

Korelacja zmiennych losowych Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X, Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbę

Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji będziemy oznaczać także symbolem Cor(X,Y)

Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Twierdzenie. Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń, to Var (X + Y) = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y) Wniosek Dla kombinacji liniowej dwóch zmiennych losowych prawdziwy jest wzór Var (aX + bY) = a2 Var X + b2 Var Y+ 2ab Cov (X,Y)

Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych Dowód twierdzenia Var (X + Y) = E(X + Y)2 – [E(X + Y)]2 = E(X2 + 2XY + Y2) – [E(X) + E(Y)]2 = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2) – [E(X)]2 – [E(Y)]2 - 2E(X)E(Y) = (E(X2) – [E(X)]2 ) + (E(Y2) – [E(Y)]2 )+2[E(XY)- E(X)E(Y)] = Var X + Var Y+ 2Cov (X,Y)

Wariancja sumy trzech zmiennych losowych Wniosek . Dla sumy trzech zmiennych losowych mamy Var (X +Y+Z) = Var X + Var Y+ VarZ + 2 Cov (X,Y) + 2 Cov (X,Z) + 2 Cov (Y,Z) Wniosek. Dla kombinacji liniowej trzech zmiennych losowych mamy Var (aX + bY + cZ) = a2 Var X + b2 Var Y + c2 VarZ + +2abCov (X,Y) + 2ac Cov (X,Z) + 2bc Cov (Y,Z)

Stopa zwrotu portfela Oczekiwana stopa zwrotu portfela RA – stopa zwrotu z akcji A RB – stopa zwrotu z akcji B RP – stopa zwrotu z portfela Traktujemy powyższe stopy jako zmienne losowe RP = α RA + β RB RP jest zmienną losową, będącą kombinacją liniową zmiennych losowych RA , RB E(RA) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A E(RB) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B E(RP) – oczekiwana stopa zwrotu z Portfela E(RP) = α E(RA) + β E(RB)

Wariancja, odchylenie std. portfela dwóch akcji Var RP = α2Var RA + β2 Var RB + 2 α β• • Cov( RA , RB) Var RP – wariancja portfela Cov( RA , RB ) – kowariancja stóp zwrotu akcji A, B σP = √ Var RP σP - odchylenie standardowe portfela

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela (opportunity set) Def. Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela to zbiór wszystkich punktów w układzie współrzędnych ryzyko zysk : [ σP , E(RP) ] które można uzyskać zmieniając udziały poszczególnych akcji w portfelu

Zbiór możliwości inwestycyjnych portfela dwóch akcji (bez krótkiej sprzedaży)   akcja A akcja B Średnia stopa zwrotu 14,25% 62,72% Odchylenie standard. 25,25% 37,99%

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfeli dwóch akcji A(10%,10%), B(20%,30%) przy różnych współczynnikach korelacji (żółty- Cor(A,B)=1, różowy - Cor(A,B)= -1)

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji przy możliwości krótkiej sprzedaży Stopa zwrotu akcji A –16%, B - 12%

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela dwóch akcji, tworzonych z akcji 3 spółek

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela trzech akcji Portfele dwuakcyjne (linie ciągłe) portfele 3 akcji (kol. błękitny)

Zbiór możliwości inwestycyjnych dla portfela trzech akcji Krótka sprzedaż (kolor różowy)

Przykłady zagadnień optymalizacyjnych Ustalenie składu portfela charakteryzującego się minimalną wariancją minimalną wariancją, przy ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu maksymalną oczekiwana stopą zwrotu, przy ustalonym poziomie ryzyka maksymalnym ilorazem oczekiwanej stopy zwrotu do ryzyka maksymalnym ilorazem oczekiwanej stopy zwrotu do ryzyka, przy uwzględnieniu stopy wolnej od ryzyka

Portfel efektywny Portfel efektywny to taki portfel że: Nie istnieje portfel o tej samej stopie zysku i mniejszym ryzyku Nie istnieje portfel o tym samym ryzyku i większej stopie zysku Portfele efektywne stanowią część brzegu zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych

Relacja Markowitza dla portfeli Portfelowi przyporządkowana jest para : odchyl. std. stopy zwrotu, wartość oczekiwana stopy zwrotu Dla dwóch par (σ1 , R1) , (σ2 , R2) zdefiniujemy relację oznaczoną symbolem „«” (σ1 , R1) « (σ2 , R2) <=> ( σ2 ≤ σ1 i R1 ≤ R2 ) Mówimy, że portfel któremu odpowiada druga para jest lepszy w sensie relacji Markowitza

Granica efektywna (zbiór efektywny) (efficient frontier) Odcinek krzywej odpowiadający portfelom, dla których nie można wskazać różnych od nich portfeli lepszych w sensie relacji Markowitza nazywa się granicą efektywną zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych (bądź zbiorem efektywnym) Punkt będący elementem granicy efektywnej nazywamy portfelem efektywnym

Portfel optymalny. Portfel rynkowy Portfel optymalny to portfel o maksymalnym zysku względnym przypadającym na jednostkę ryzyka ( czyli o maksymalnym stosunku oczekiwanej stopy zwrotu do odchylenia std. stopy zwrotu) Portfel rynkowy (σM , RM), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std., czyli maksimum (ERP - RF)/σP Gdzie RF – stopa stała, wolna od ryzyka

Portfel minimalnego ryzyka Portfel minimalnego ryzyka to portfel charakteryzujący się najmniejszą wartością odchylenia standardowego stopy zwrotu portfela (czyli także wariancji stopy zwrotu )

Portfel optymalny. Portfel rynkowy Portfel minimalnego ryzyka

Portfel mieszany: rynkowy ze składnikami pozbawionymi ryzyka (risk free assets) Nowy portfel ma udział α obligacji o stałej stopie zwrotu RF i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu RM i ryzyku σM Stopa zwr. portf. miesz.: RP = α RF + β RM gdzie α + β = 1, α, β > 0. ERP = α RF + β ERM . , Wtedy Var RP = Var (β RM) = β 2 Var (RM ) czyli σP = β σM wyliczając stąd β i podstawiając do wzoru na ERP , otrzymujemy ERP = (1- σP/σM ) RF + σP/σM • ERM czyli ERP = RF + σP(ERM - RF )/σM Otrzymaliśmy liniową zależność między oczekiwana stopą zwrotu a odchyleniem standardowym dla portfela mieszanego

Portfel mieszany bez możliwości krótkiej sprzedaży (punkty fioletowego odcinka) Stopa wolna od ryzyka – 9%, portfel rynkowy (18,56%, 15,00%)

Analiza portfelowa Badanie parametrów portfelowych, określanie kryteriów doboru akcji, optymalizacja portfela H. Markowitz, „Portfolio selection” 1952 J. Tobin – „Liquidity preference as behavior towards risk” 1958 F. Modigliani, M. Miller „The cost of capital, corporation finance and the theory of investment” 1958 W. Sharpe „Capital asset pricing model” 1964 J. Lintner „Security prices, risk and maximal gains from diversifications” 1965

Literatura Komar Z. „Sztuka spekulacji” Jajuga K., Jajuga T. „Inwestycje” Luenberger D.G. „Teoria inwestycji finansowych” Sopoćko A. „Instrumenty finansowe” „Instrumenty pochodne. Sympozjum matematyki finansowej” UJ Kraków 1997 Dębski W. „Rynek finansowy i jego mechanizmy” Murphy J.J. „Analiza techniczna rynków finansowych” Schwager J.D.„Analiza techniczna rynków terminowych” Komar Z. „Sztuka spekulacji”

Analiza portfelowa Harry Markowitz, Merton Miller, William Sharpe - nagroda Nobla (1990) za pionierskie prace w dziedzinie ekonomii finansowej

Nagrody Nobla – analiza rynków finansowych 1981 James Tobin Relacje między rynkami finansowymi a decyzjami w zakresie wydatków, bezrobociem, produkcją i cenami 1985 Franco Modigliani Pionierska analiza oszczędności i rynków finansowych