Grawitacja jako pole lokalnych układów inercjalnych Jerzy Kijowski Centrum Fizyki Teoretycznej PAN 7 marca 2008

Albert Einstein, 1879-1955

Współrzędne sferyczne (geograficzne): (,) dobre w pobliżu równika, złe w pobliżu biegunów. Loksodroma: fałszywa „linia prosta”

Loksodroma staje się spiralą Archimedesa w pobliżu biegunów. Współrzędne sferyczne (geograficzne): (,) dobre w pobliżu równika, złe w pobliżu biegunów. Loksodroma: fałszywa „linia prosta”

q0 0 Ortodroma: linia prosta w „dobrym, prostoliniowym układzie współrzędnych” (x,y) x y człony wyższego rzędu

Lokalnie (w punkcie (x,y)=(0,0)) równania ortodromy: q0 0 x y Lokalnie (w punkcie (x,y)=(0,0)) równania ortodromy: Stałe (A,B) mierzą odstępstwo układu współrzędnych (q,) od „prostoliniowości”.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona: istnieje globalny układ współrzędnych w czasoprzestrzeni taki, że trajektoria ciała, na które nie działa żadna siła spełnia równanie: Globalny układ inercjalny Lokalny układ Grawitacja według Einsteina: wokół każdego punktu istnieje lokalny układ współrzędnych taki, że trajektoria ciała, na które nie działa żadna siła spełnia (w tym punkcie!) równanie:

Jeśli jest innym (nie-inercjalnym) układem współrzędnych, to:

Jeśli jest innym (nie-inercjalnym) układem współrzędnych, to:

Jeśli jest innym (nie-inercjalnym) układem współrzędnych, to: Konwencja sumacyjna Einsteina!!

Jeśli jest innym (nie-inercjalnym) układem współrzędnych, to: Konwencja sumacyjna Einsteina!!

Konwencja sumacyjna Einsteina!! Jeśli jest innym (nie-inercjalnym) układem współrzędnych, to:

Konwencja sumacyjna Einsteina!! Jeśli jest innym (nie-inercjalnym) układem współrzędnych, to:

Lokalny układ inercjalny: klasa równoważności lokalnych układów współrzędnych względem relacji równoważności: Grawitacja: pole lokalnych układów inercjalnych. Wielkości mierzące nieinercjalność układu : nie zależą od wyboru współrzędnych z klasy układu inercjalnego. Współrzędne należą do klasy układu inercjalnego w punkcie ,,m’’

Jeśli są dowolnymi współrzędnymi w otoczeniu punktu ,,m’’, ale ,,scentrowanymi’’ w tym punkcie, tzn. spełniającymi warunek , to poprawione współrzędne: należą do klasy układu inercjalnego w tym punkcie, bowiem zachodzi: Współrzędne ,,wyprostowane’’

Jak odróżnić przestrzeń płaską od krzywej? W przestrzeni płaskiej istnieją prostoliniowe układy współrzędnych, w których globalnie, ruch swobodny odbywa się po liniach prostych i obowiązuje geometria afiniczna (proste równoległe, Twierdzenie Talesa itp.), ale wybierając krzywoliniowy układ współrzędnych można uzyskać dowolnie skomplikowane . Przestrzeń krzywa: w każdym punkcie m oddzielnie można wyprosto- wać współrzędne , ale nie można tego zrobić globalnie, jedno- cześnie we wszystkich punktach. Przestrzeń płaska: współrzędne można wyprostować globalnie, jednocześnie we wszystkich punktach.

,,Wyprostowując’’ układ współrzędnych w punkcie m, ,,zabijamy’’ współczynniki powiązania: . dalej ulepszając układ współrzędnych? Czy potrafimy ,,zabić’’ również ich pochodne w tym punkcie: Ulepszone pochodne współczynników powiązania:

Ale tablica ,,Q’’ jest całkowicie symetryczna: Zatem mamy ,,absolutną’’ miarę krzywizny przestrzeni w punkcie, niezależną od wyboru układu współrzędnych z klasy inercjalnej (tensor krzywizny): W przestrzeni płaskiej tensor K zeruje się tożsamościowo, nawet we współrzędnych krzywoliniowych, w których współczynniki są bardzo skomplikowane! Okazuje się, że jest to też warunek dostateczny na płaskość przestrzeni.

Równanie Einsteina: G – cząstkowa informacja o krzywiźnie K T – tensor energii-pędu materii Materia powoduje zakrzywienie przestrzeni! Pierwsze, ścisłe rozwiązanie równań Einsteina: Schwarzschild.