Czy wolno nam klonować stany koherentne? Rafał Demkowicz-Dobrzański CFT PAN

Stany Koherentne Kwantowy oscylator harmoniczny Dobrze zlokalizowany w przestrzeni fazowej stan koherentny: p funkcja Wignera: x ewolucja:

Klonowanie oscylatora Idealne klonowanie: stan wejściowy: odziaływanie sprzężenie z otoczeniem stan „pusty”: - powinno produkować doskonałe kopie - powinno działać dla wszystkich wejściowych stanów Dlaczego klonowanie jest ważne: pozwala zrozumieć co jest możliwe a co nie w przetwarzaniu kwantowej informacji - może pomóc w rozpoznaniu stanu kwantowego - ważne z punktu widzenia kryptografii kwantowej

Niemożliwość klonowania Ewolucja unitarna w przestrzeni Hilberta stan wejściowy: odziaływanie sprzężenie z otoczeniem stan „pusty”: - dwa różne, nieortogonalne stany. Załóżmy że istnieje maszyna klonująca: Dzięki unitarności: Sprzeczność!

Niedoskonałe klonowanie Niedoskonałe maszyny klonujące Wierność - wiernie klonują tylko wybrane stany (wierne, nieuniwersalne) wszystkie stany klonują tak samo, ale niedoskonale (niewierne, uniwersalne) klonują pewne grupy stanów lepiej niż inne, ale niedoskonale (niewierne, nieuniwersalne) zredukowane macierze gęstości klonów: klonowanie symetryczne: wierność klonowania (fidelity):

Optymalne klonowanie qubitu Sfera Blocha |0 |1 Qubit Optymalne klonowanie qubitu (Buzek, Hillery 1996) stan wejściowy klon 1 wierność: stan pusty klon 2 Optymalne klonowanie quditu wierność:

Klonowanie stanów koherentnych Klonowanie optycznych stanów koherentnych może płytka światłodzieląca (50%)? |0 stan pusty |Y stan wejściowy klon 1 bardzo złe klonowanie stanów koherentnych: niska wierność jak |a| duży klon 2 różne stany koherentne klonowane z różną wiernością

Klonowanie stanów koherentnych Klonowanie optycznych stanów koherentnych może najpierw trzeba wzmocnić? (Braunstein et al., PRL 86, 4838 2000) |0 Ancilla |0 stan pusty a1new = a1+1/2(aA† + a2) a2new = a1+ 1/2(aA† - a2) aAnew = a1† + 2aA |Y stan wejściowy wzmacniacz klon 1 klon 2 wierność dla wszystkich stanów koherentnych tak sama: Czy to jest optymalne? (Cerf i Iblisdir, PRA 62, 040301 2000).

Spinowe stany koherentne H – skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta opisująca stany spinowe obiektu o całkowitym spinie j: d = dimH = 2j+1 |-j, |-j+1, ... , |j-1, |j - baza w H Spinowe stany koherentne otrzymuje się poprzez obroty stanu |-j (”stan podstawowy”) |q, f = R(q, f) |-j R(q, f) R(q, f) = exp[-iq (Jxsinf- Jycosf)] R(q, f) – obrót wokół osi n = [sinf, -cosf,0] o kąt q. W przypadku d = 2 (qubit) wszystkie stany czyste są spinowymi koherentnymi. Dla d  2 stany spinowe koherentne stanowią podzbiór w zbiorze wszystkich stanów czystych w H. Dla d   spinowe stany koherentne przechodzą w zwykłe stany koherentne.

Klonowanie spinowych stanów koherentnych Optymalne klonowanie spinowych stanów koherentnych (Demkowicz-Dobrzański, Kuś, Wódkiewicz, quant-ph/0307061 (accepted in PRA)) Analityczne wartości wierności dla d=3, d=4: Numeryczne wartości wierności dla d  16 Czy dla dużych d wierność dąży do 2/3?

Klonowanie spinowych stanów koherentnych Ocena zachowania asymptotycznego Dopasowanie funkcji: F  0.681 Asymptotycznie: Wierność klonowania stanów koherentnych > 2/3 ! Navez i Cerf (nieopublikowane) – znaleźli urządzenie klonujące z F=0.682

Czy potrafimy wytworzyć stan koherentny światła? Jaki stan światła produkuje laser?