Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO

z – przeciwprostokątna I. TWIERDZENIE PITAGORASA: z – przeciwprostokątna x, y - przyprostokątne z2=x2+y2 „W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej” z x y

Ćw1: Oblicz długość nieznanego boku trójkąta prostokątnego: 42=x2+12 x=√15 lub x=- √15 –odpada b) x2=32+62 x2=9+36 x2=45 x=√45 lub x=- √45 –odpada c) x2=32+22 x2=9+4 x2=13 x=√13 lub x=- √13 –odpada d) 62=x2+52 36=x2+25 x2=11 x=√11 lub x=- √11 -odpada 4 x 1 6 3 x x 2 3 6 5 x

Ćw2: Oblicz długość nieznanego boku trójkąta prostokątnego i wyznacz stosunki długości dowolnych boków: x2=a2+b2 x2=42+32 x2=16+9 x2=25 x=5 lub x=-5 –odpada x b=3 a=4

II. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE x – przyprostokątna przeciwległa kątowi α y – przyprostokątna przyległa do kąta α z - przeciwprostokątna β z x α y Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego do długości przeciwprostokątnej.

Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ostrym do długości przeciwprostokątnej. Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ostrym. α Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie ostrym do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego.

α α Ćw3: Do każdego trójkąta wyznacz funkcje trygonometryczne kąta α: I II l α b c k m α a

x2=62+82 x2=36+64 x2=100 x=10 lub x=-10 - odpada α Ćw4: W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 6cm i 8cm wyznacz funkcje trygonometryczne kąta α przyległego do krótszej przyprostokątnej: x2=62+82 x2=36+64 x2=100 x=10 lub x=-10 - odpada x 8 α 6

Ćw5: Wiedząc że kąt α jest kątem ostrym sprawdź jakimi wartościami są funkcje trygonometryczne. x α y

Ćw6: Wyznacz długość wysokości w trójkącie równoramiennym, w którym ramię ma długość 12cm, kąt ostry przy podstawie 45°. Oblicz długość podstawy, pole i obwód trójkąta. Dane: a=12 α=45° a a h 45° x

Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Wykorzystując funkcje trygonometryczne w tym trójkącie obliczymy długość odcinka x oraz wysokość h.

α Ćw7: W trójkącie równoramiennym o wysokości 3cm i ramieniu dwa razy większym wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta przy podstawie trójkąta. Wartości podane umieszczamy na rysunku. Obliczamy x wykorzystując twierdzenie Pitagorasa. 6 6 3 α x x

62=x2+32 36=x2+9 x2=36-9 x2=27 x=3√3 lub x=-3√3 - odpada