Wykład no 11

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane operatorem L: w obszarze  i warunki brzegowe:

W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości węzeł pomocniczy h=(hx,hy) hy Xk hx Parametr h charakteryzuje siatkę h x węzeł podstawowy W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych uh rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów Xk (k=1,2,...,Nh ) zwanym siatką. Punkty Xk są nazywane węzłami siatki. Równania służące do wyznaczania wartości przybliżonych nazywamy równaniami różnicowymi.

Dla równania różniczkowego: w obszarze  z warunkami brzegowymi: otrzymujemy jego odpowiednik różnicowy: Zakładając, że problem opisany równaniem różniczkowym ma jednoznaczne rozwiązanie, to równania różnicowe będą jego odpowiednikiem jeżeli są spełnione następujące warunki:

1. Układ równań różnicowych posiada jednoznaczne rozwiązanie: dla każdego dopuszczalnego h. 2. Zbieżność do rozwiązania dokładnego u. Oznacza to, że rozwiązanie uh powinno przy h 0 dążyć do rozwiązania dokładnego u. Dla określenia zbieżności jest koniecznym wprowadzenie odpowiednich przestrzeni funkcyjnych i norm w nich.

Wprowadzamy przestrzeń funkcyjną U z normą || ||U , do której należy rozwiązanie dokładne u. oraz przestrzeń Nh- wymiarową Uh z normą || ||Uh , której elementami są układy Nh liczb i do której należy rozwiązanie uh. Normy || ||U i || ||Uh winny być zgodne, tzn. ponieważ funkcja u(x) jest określona w węzłach podstawowych Xk siatki, to mówimy, że normy są zgodne jeżeli zachodzi: dla każdego uU.

Przykłady norm zgodnych: - zbiór węzłów wewnętrznych.

Wielkość: nazywamy błędem rozwiązania przybliżonego uh. Uh dąży do rozwiązania dokładnego u(x), jeżeli Jeżeli można znaleźć taką funkcję (h), że to mówimy, że zostało znalezione oszacowanie błędu.

3. Stabilność Różnicowe zagadnienie brzegowe jest stabilne, jeżeli istnieją takie liczby >0 i h0>0, że dla dowolnych h<h0 i fhFh , takich, że ||fh||Fh< zadanie brzegowe: posiada jedno jednoznaczne rozwiązanie i zachodzi: gdzie C stała niezależna od h.

Twierdzenie wiążące stabilność i zbieżność: Jeżeli zadanie różnicowe jest przybliżeniem różniczkowego problemu brzegowego: i rozwiązanie uh jest stabilne wtedy zachodzi i rząd zbieżności w funkcji h jest taki sam jak rząd aproksymacji.

Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej hk k-1 i-1 i i+1

Druga pochodna dodając k+1 Druga pochodna dodając stronami: k hi hk k-1 i-1 i i+1

k+1 Dla pochodnej mieszanej k hi hk k-1 i-1 i i+1

Konstrukcja warunków brzegowych na siatce r(i,k,) i 1. Przeniesienie wartości: Przyjmujemy: lub

2. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta  i,k i+1,k i-1,k Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy: i dla x=xi+ mamy:

3. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. hi i-1,k i,k hk n i,k-1

Dla uproszczenia rozważań będą analizowane przypadki Równania eliptyczne Dla uproszczenia rozważań będą analizowane przypadki dwuwymiarowe x=(x,y) Warunki brzegowe:

10 y(k) 9 8 7 p 6 hy j-1 j j+1 5 l 4 3 2 (0,0) hx 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(i)

Dla węzłów wewnętrznych będzie: p j-1 j j+1 l lub w formie macierzowej:

p hy j-1 j j+1 l (0,0) hx

styczna m p-1 p (xkp,ykp) normalna Przyjmując: otrzymujemy:

Uwaga dotycząca błędu obliczeń. Generalnie jeżeli węzły nie leżą na krzywej brzegowej i liczymy metodą przeniesienia wartości, to dokładność obliczeń jest rzędu h. Jeżeli węzły na krzywej brzegowej bądź wyliczamy wartości funkcji brzegowej interpolując liniowo dokładność wzrasta do h2. W zagadnieniu Dirichleta oprócz trudności z wyznaczeniem wartości brzegowych nie ma innych problemów i otrzymany układ równań algebraicznych najczęściej można rozwiązać bez kłopotów. Sytuacja może się komplikować przy zagadnieniu Neumanna. Siatki praktycznie nie stosowane w zagadnieniach eliptycznych liniowych i nieliniowych.

Równania paraboliczne Równania opisujące ewolucję układu w czasie Równania paraboliczne Dane jednowymiarowe równanie przewodnictwa: t k+1 k k-1  x h i-1 i i+1 1

t k+1 k k-1  x h i-1 i i+1 N Oznaczamy operator różnicy II rzędu: i wprowadzamy schematy różnicowe z wagą : i

Problem brzegowy jest aproksymowany przez dla i=1,2,...N dla k=1,2,...,K. Warunki zgodności

Schemat sześciowęzłowy k+1 k i-1 i i+1 k+1 k Jeżeli =0 schemat jest nazywany jawnym lub explicite i-1 i i+1 k+1 k Jeżeli 0 schemat jest nazywany niejawnym lub implicite i-1 i i+1

Wartości w warstwie k+1 otrzymujemy rozwiązując układ równań: k+1 k i-1 i i+1 k+1 k Czysto niejawny schemat: i k+1 k Schemat Cranka - Nicholsona: i-1 i i+1

Oszacowanie dokładności aproksymacji. Rozwiązanie dokładne zagadnienia brzegowego jest u(x,t) i jego wartość w węzłach (xi,tk) siatki będzie oznaczana u(i,k). Rozwiązanie zagadnienia brzegowego sformułowanego dyskretnie jest Błąd aproksymacji jest

Dla oceny błędu w kroku k-tym wprowadza się normę, np.: lub wynika, że Z i podstawiając do w miejsce otrzymujemy równoważne zadanie różnicowe dla

gdzie błąd schematu różnicowego w stosunku do rozwiązania dokładnego u(x,t).

Mówimy, że przybliża rozwiązanie problemu brzegowego z dokładnością rzędu (m,n) lub O(hm+n), jeżeli spełnia nierówność: gdzie M - stała.

Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy: i mamy: Uwzględniając powyższe równości i podstawiając do

Rozwijając funkcje u(n,p) w szereg Taylora w otoczeniu mamy Rozwijając funkcje u(n,p) w szereg Taylora w otoczeniu punktu: xi,tk+0.5  oraz wprowadzając oznaczenie: Będziemy mieli:

Uwzględniając powyższe zależności można zapisać w postaci:

Ale gdyż u jest rozwiązaniem dokładnym i w każdym punkcie obszaru spełnia równanie paraboliczne. Uwzględniając, że mamy

Jeżeli wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe zeru, tzn.: to schemat ma dokładność O(h4+2) oraz W obliczeniach numerycznych wygodniej przyjąć:

jest schematem o podwyższonej dokładności wynoszącej: Jeżeli  =0.5 jak w schemacie Cranka-Nicholsona, to

i dla =0.5 mamy: Dla zachowania oceny zbieżności O(h2+2) należy przyjąć: lub Jeżeli 0.5 i *, to dokładność obliczeń jest rzędu O(h2+).

Wesołych Świąt Wesołych Świat

Stabilność Zbadamy zachowanie się schematu: jawnego tj.  =0

Schemat jest Przyjmijmy: i załóżmy, że warunek początkowy w punkcie i-tym jest dany z błędem  . Badamy jak przenosi się błąd na siatce.

t x N Schemat jawny z =0 i

t x N Schemat jawny z =0 i Obliczenia z dokładnością do 2 miejsc

Analiza stabilności metodą spektralną Niech rozwiązanie jednorodnego zagadnienia różnicowego: ma postać gdzie

ale Po podstawieniu do mamy

Po podzieleniu przez otrzymujemy równanie: Warunek konieczny stabilności Neumanna stwierdza, że schemat różnicowy jest stabilny, jeżeli Dla =0 mamy

i na podstawie kryterium Neumanna otrzymujemy: czyli Dla = znajdujemy warunek na stosunek: Warunkiem zbieżności schematu jawnego jest spełnienie powyższego warunku. Warunek jest również prawdziwy dla schematu jawnego w przypadku wielowymiarowego równania parabolicznego.

Dowolne >0. Ocenę prowadzimy przy =. czyli Prawa nierówność jest spełniona dla dowolnych , a z lewej mamy:

Dla  spełniających nierówność: warunek: jest spełniony dla dowolnego stosunku W szczególności schemat Cranka-Nicholsona =0.5 jest stabilny dla dowolnego stosunku kroków

Dla schematu o podwyższonej dokładności mamy bo Przedstawione rozważania można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe jak również na równania o zmiennych współczynnikach. W przypadku równań wielowymiarowych ocena zbieżności zależy również od sposobu aproksymacji warunków brzegowych podobnie jak w przypadku równań eliptycznych.

Równania hiperboliczne Jako przykład zostanie rozpatrzone równanie linii długiej bez strat o długości L. Dla napięcia u mamy: Wprowadzamy siatkę prostokątną:

t k+1 k k-1  x h i-1 i i+1 N i funkcję węzłową oznaczamy: Przyjmujemy aproksymację pochodnych: i

i rozpatrujemy następujący schemat trójwarstwowy z parametrem >0: gdzie warunek początkowy konstruujemy tak, aby zachować rząd aproksymacji O(2).

Mamy czyli Z równania falowego mamy: Warunek początkowy dla pierwszej pochodnej będzie określony z dokładnością O(h2+2), jeżeli przyjąć, że czyli

Ostatecznie schemat różnicowy dla rozwiązania równania falowego jest Ocena dokładności aproksymacji Postępujemy podobnie jak poprzednio, a więc niech

jest rozwiązaniem różnicowego zagadnienia gdzie a u(xi,tk) jest rozwiązaniem problemu brzegowego: w punkcie xi,tk.

Pisząc otrzymujemy: gdzie Z konstrukcji warunku początkowego dla pochodnej wynika, że

Rozwijając w szereg Taylora mamy: Korzystając z otrzymanego wyniku mamy: Stąd otrzymujemy z dokładnością do małych 4-go rzędu:

Podobnie z dokładnością do małych 4-go rzędu. Ostatecznie otrzymujemy ocenę błędu: Funkcja u spełnia równanie falowe, a więc stąd niezależnie od  !!!

Oznacza to również zależność odwrotną, a mianowicie dobór  zależy tylko i wyłącznie od stabilności, a nie ma wpływu na dokładność obliczeń. Stabilność Analizujemy stabilność schematu różnicowego przy jednorodnych warunkach brzegowych:

Przyjmujemy rozwiązanie w postaci: i podstawiając do równania różnicowego: po wykonaniu kilku przekształceń otrzymujemy: Dzieląc równanie przez k-1 i grupując wyrazy otrzymujemy równanie określające :

Badamy pierwiastki równania: gdzie przy =. Wyróżnik: Jeżeli <0, to równanie ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone 1, 2 o module równym 1 co wynika ze wzoru Viety: Dla =0 otrzymujemy warunek Couranta:

który oznacza, że prędkość wędrówki fali na siatce h/ jest większa od prędkości fazowej. Przypadek 0 prowadzi do pierwiastków większych co do modułu od jedności i dlatego należy te przypadki odrzucić. Analizę można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe.

Wady i zalety metody różnicowej 1. Proste konstruowanie siatki podziałowej. 2. Prosta konstrukcja układu równań różnicowych szczególnie w środowiskach izotropowych. 3. Opracowane oceny błędów metody i warunki stabilności. Wady: 1. Duże trudności z dobrą aproksymacją brzegu lub wymuszony mały krok siatki. 2. Trudności z utrzymaniem rzędu aproksymacji przy interpolacji warunków brzegowych. 3. Praktycznie konieczność obliczania całego obszaru z tym samym krokiem podziałowym.