Metody numeryczne wykład no 7
Metody całkowania numerycznego Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrange’a: gdzie
Dzieląc odcinek [a,b] na N jednakowych części h: x a=x0 xk=a+kh b=xN Biorąc pod uwagę, że xk=a+kh mamy: przyjmując: gdzie t[0,N] mamy:
Podstawiając zamiast f(x) wielomian interpolacyjny do otrzymujemy:
Błąd eN z jakim obliczana jest całka podaje oszacowanie: Metoda trapezów t f(b) f(a) t-1 a; 0 x; t b; 1
błąd e1 wynosi: Metoda Simpsona y 1 1 f2 0 f0 f1 2 x a=x0 b=x2
Całka obliczana metodą Simpsona jest:
Błąd obliczania całki metodą Simpsona jest: Wielomian 3-go stopnia jest całkowany dokładnie! Kwadratury złożone Newtona-Cotesa. y Metoda trapezów x a b
Całkę przy podziale odcinka [a,b] na N części liczymy ze wzoru: Obliczenia prowadzimy w schemacie z połowieniem kroku co pozwala wykorzystać poprzednie obliczenia fk: 1 2 3 4 a b
Błąd e1N złożonego wzoru trapezów przy podziale przedziału całkowania [a,b] na N części jest: Przykład: N 1 2 4 8 Ip 0.5 0.683013 0.7489273 0.772455 I 0.7853982 eps 36 13 4.64 1.65
Metoda Simpsona liczba punktów podziału jest N=2M i całka IN określona jest wzorem: 2 22 23 Ocena błędu:
Przykład: N 2 4 8 Ip 0.74402 0.770899 0.780297293 I 0.7853982 eps 5.3 1.85 0.65 Formalna ocena błędu jeszcze gorsza ze względu na czwartą pochodną.
Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności Metoda Romberga Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności Ogólnie wzór kwadratur dla całki ma postać: . Załóżmy, że resztę można przedstawić w postaci: gdzie
Niech n=sp wtedy : Mnożąc przez i przyjmując p=n po odjęciu stronami otrzymuje się:
gdzie Definiując: widzimy, że przybliżona wartość całki jest obliczona z dokładnością większą bo wynoszącą Ogólnie po k+1 krokach mamy:
Dla wzoru trapezów zachodzi oszacowanie: Zakładając s=2 otrzymuje się: Organizację obliczeń można zapisać w formie tablicy:
gdzie elementy macierzy obliczane zgodnie z podanym powyżej algorytmem. Uwaga - przy obliczaniu korzystamy z
Przykład Q1=0.5 Q2=0.683013 Q11=0.744017333 Q4=0.7489273 Q12=0.770898733 Q21=0.772690827
Q8=0.772455 =0.780297567 =0.780924156 =0.781054843 Ocena błędu: eps=0.55% trapezy: 1.65% Simpson: 0.65%
Przykład z ograniczoną pochodną: Wstępny krok . Wartość dokładna Q=2.2572051728 1 2.541602 - 2 2.2847455921 2.199126789 4 2.2576215 2.248580136 2.251877026 8 2.25720546 2.25706678 2.257632556 2.251785668 16 2.2572053268 2.257205281 2.257214514 2.257207878 2.257229142 32 2.257205329 2.257205183 2.257205173 2.257205149
Błąd względny wynosi: 0.1E-5%.