Metody numeryczne wykład no 7.

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Modelowanie i symulacja
Advertisements

Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de.
Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty
Ilustracja obliczania całek oznaczonych metodą Monte Carlo
Kierunek Teleinformatyka
Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona.
Metody numeryczne część 1. Rozwiązywanie układów równań liniowych.
Równanie różniczkowe zupełne i równania do niego sprowadzalne
IV Tutorial z Metod Obliczeniowych
Interpolacja Cel interpolacji
Analiza Matematyczna część 3
Różniczkowanie numeryczne
Metody Numeryczne Wykład no 12.
Wykład no 9.
Metody numeryczne wykład no 2.
Metody Numeryczne Wykład no 3.
Wykład no 3.
Metody numeryczne Wykład no 1.
Przykład Równanie wahadła: Niech =1s -2 Warunki początkowe: około 86°
Interpolacja funkcji Dane wartości funkcji y n w punktach x n, gdzie n=0,1,2,....N-1. x y x0x0 y0y0 xnxn ynyn x N-1 y N-1.
Metody numeryczne wykład no 8.
Przykład: Dana jest linia długa o długości L 0 bez strat o stałych kilometrycznych L,C.Na początku linii zostaje załączona siła elektromotoryczna e(t),
Wykład no 11.
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu
wyrównanych spostrzeżeń pośredniczących i ich funkcji
Wpływ warunków na niewiadome na wyniki wyrównania.
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Zadanie 3 Gimnazjum nr 1, klasa 3f.
Metoda różnic skończonych I
obliczeNIA symbolicznE w MATLAB’ie
Dane do obliczeń.
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
Podstawy analizy matematycznej III
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.. Analiza danych Aproksymacja danych.
Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok
Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012
Podstawy analizy matematycznej II
Obserwatory zredukowane
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia.
Zakładamy a priori istnienie rozwiązania α układu równań.
Metoda elementów skończonych dla problemów nieliniowych
OBLICZANIE SPADKÓW I STRAT NAPIĘCIA W SIECIACH OTWARTYCH
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych
Analiza matematyczna III. Funkcje Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi
Sterowanie – metody alokacji biegunów II
Źródła błędów w obliczeniach numerycznych
Rozwiązywanie liniowych układów równań metodami iteracyjnymi.
Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar.
Metody numeryczne szukanie pierwiastka metodą bisekcji
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Wstęp do metod numerycznych
Obliczenia symboliczne
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej Wykład 3. Całkowanie numeryczne.
Tematyka zajęć LITERATURA
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
Wstęp do metod numerycznych
Metody nieinkluzyjne: Metoda iteracji prostej.
Wstęp do metod numerycznych
Wykład 6 Dr Aneta Polewko-Klim
U(t) t  t u’(t)=f(t,u) u(t+  t)=u(t)+  (t,u(t),  t) RRZ: Jednokrokowy schemat różnicowy.
ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH
yi b) metoda różnic skończonych
Na szczęście nie jesteśmy skazani na iterację funkcjonalną 2)metoda Newtona-Raphsona (stycznych) szukamy zera równania nieliniowegoF(x) F(x n +  x)=F(x.
Wstęp do metod numerycznych Wykład 6 Interpolacja 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Temat – 5 Modelowanie różniczkowe.
Fundamentals of Data Analysis Lecture 12 Approximation, interpolation and extrapolation.
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Analiza numeryczna i symulacja systemów
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej
Zapis prezentacji:

Metody numeryczne wykład no 7

Metody całkowania numerycznego Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrange’a: gdzie

Dzieląc odcinek [a,b] na N jednakowych części h: x a=x0 xk=a+kh b=xN Biorąc pod uwagę, że xk=a+kh mamy: przyjmując: gdzie t[0,N] mamy:

Podstawiając zamiast f(x) wielomian interpolacyjny do otrzymujemy:

Błąd eN z jakim obliczana jest całka podaje oszacowanie: Metoda trapezów t f(b) f(a) t-1 a; 0 x; t b; 1

błąd e1 wynosi: Metoda Simpsona y 1 1 f2 0 f0 f1 2 x a=x0 b=x2

Całka obliczana metodą Simpsona jest:

Błąd obliczania całki metodą Simpsona jest: Wielomian 3-go stopnia jest całkowany dokładnie! Kwadratury złożone Newtona-Cotesa. y Metoda trapezów x a b

Całkę przy podziale odcinka [a,b] na N części liczymy ze wzoru: Obliczenia prowadzimy w schemacie z połowieniem kroku co pozwala wykorzystać poprzednie obliczenia fk: 1 2 3 4 a b

Błąd e1N złożonego wzoru trapezów przy podziale przedziału całkowania [a,b] na N części jest: Przykład: N 1 2 4 8 Ip 0.5 0.683013 0.7489273 0.772455 I 0.7853982 eps 36 13 4.64 1.65

Metoda Simpsona liczba punktów podziału jest N=2M i całka IN określona jest wzorem: 2 22 23 Ocena błędu:

Przykład: N 2 4 8 Ip 0.74402 0.770899 0.780297293 I 0.7853982 eps 5.3 1.85 0.65 Formalna ocena błędu jeszcze gorsza ze względu na czwartą pochodną.

Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności Metoda Romberga Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności Ogólnie wzór kwadratur dla całki ma postać: . Załóżmy, że resztę można przedstawić w postaci: gdzie

Niech n=sp wtedy : Mnożąc przez i przyjmując p=n po odjęciu stronami otrzymuje się:

gdzie Definiując: widzimy, że przybliżona wartość całki jest obliczona z dokładnością większą bo wynoszącą Ogólnie po k+1 krokach mamy:

Dla wzoru trapezów zachodzi oszacowanie: Zakładając s=2 otrzymuje się: Organizację obliczeń można zapisać w formie tablicy:

gdzie elementy macierzy obliczane zgodnie z podanym powyżej algorytmem. Uwaga - przy obliczaniu korzystamy z

Przykład Q1=0.5 Q2=0.683013 Q11=0.744017333 Q4=0.7489273 Q12=0.770898733 Q21=0.772690827

Q8=0.772455 =0.780297567 =0.780924156 =0.781054843 Ocena błędu: eps=0.55% trapezy: 1.65% Simpson: 0.65%

Przykład z ograniczoną pochodną: Wstępny krok . Wartość dokładna Q=2.2572051728 1 2.541602 -   2 2.2847455921 2.199126789 4 2.2576215 2.248580136 2.251877026 8 2.25720546 2.25706678 2.257632556 2.251785668 16 2.2572053268 2.257205281 2.257214514 2.257207878 2.257229142 32 2.257205329 2.257205183 2.257205173 2.257205149

Błąd względny wynosi: 0.1E-5%.