Metody Numeryczne wykład no 6

Rozwiązywanie równań algebraicznych f(x)=0 Metoda bisekcji Przykład: x -1 -0.5 -0.25 -0.125 -0.1875 f(x) -4 1 -1.125 -0.015625 0.498045 0.24308 x -0.21875 -0.234375 -0.2421875 -0.24609375 f(x) 0.114532 0.0496254 0.0170445 0.000721037

x -0.2480469 -0.24658203 -0.2463379 -0.2462158 f(x) -0.0074491 -0.00132098 -0.00029993 0.00021057 Zaleta metody: Jeżeli pierwiastek istnieje, to go znajdziemy. Wada metody: Duża liczba obliczeń Regula falsi. Założenia: funkcja ma w przedziale [a,b] tylko jeden pierwiastek i zachodzi f(a)f(b)<0, b) jest funkcja jest klasy C2[a,b], pierwsza i druga pochodna nie zmieniają znaku na przedziale [a,b].

Funkcja spełniająca powyższe założenia musi mieć w otoczeniu miejsca zerowego jeden z następujących przebiegów: y y f(b) f(b) a a x x b b f(a) f(a) y y f(a) f(a) b b a a x x f(b) f(b)

Przebieg obliczeń metodą regula falsi: y f(b) f(x1) a x x2 x1 b f(a) analitycznie: ustalamy koniec z warunku f(x1)f(a)<0 lub f(x1)f(b)<0 Prowadzimy prostą:

ale f(x1)=0 stąd lub Dla n-tej iteracji mamy b=xn-1 i podstawiając mamy:

Ocena błędu dla dostatecznie małego przedziału [xn-1,xn] można przyjąć jako: Metoda regula falsi jest zbieżna dowolnej funkcji ciągłej na przedziale [a,b]. Poszukiwanie pierwiastka zostaje zakończone jeżeli: Metoda jest wolno zbieżna. Przykład:

w metodzie bisekcji potrzebowaliśmy x -1 -0.2 -0.2366412 -0.24423354 f(x) -4 1 0.192 0.04013427 0.008497292 Ponieważ f(-1)=-4, a f(x1)=0.192, więc stałym punktem będzie x=-1 w metodzie bisekcji potrzebowaliśmy 14 kroków x -0.245835632 -0.24617492 -0.246246829 f(x) 0.001800359 0.000381603 0.000080891 ocena błędu: x -0.246262072 f(x) 0.000017147

ocena błędu: Metoda siecznych Przepis: Przykład: x -1 -0.2 -0.247524752 -0.246256439 f(x) -4 1 0.192 -0.005264481 0.000040703 w regula falsi potrzeba 8 kroków

x -0.24626617 f(x) 0.907E-8 w 6-tym kroku Koniecznie trzeba obliczać f(xn) i jeżeli zaczyna narastać należy zawęzić przedział i powtórzyć obliczenia. Niebezpieczeństwo znalezienia fałszywego pierwiastka. Metoda szybsza niż reguła falsi. Pierwsza iteracja musi startować z punktów spełniających warunek: f(a)f(b)<0 x1 a b

Pomijając małe drugiego rzędu 2 mamy, że f(x+)=0, Metoda Newtona - Raphsona Niech  małe w mamy: Pomijając małe drugiego rzędu 2 mamy, że f(x+)=0, jeżeli Graficznie: y Równanie prostej stycznej w punkcie xn jest: n x xn+1 xn

W 3 krokach dokładność osiągana w metodzie siecznych Prosta: przechodzi przez zero, czyli y=0, w punkcie xn+1 i mamy:   Przykład: x -0.25 -0.246268657 -0.246266172 f(x) 1 -0.015625 -0.00001039 -0.2E-10 W 3 krokach dokładność osiągana w metodzie siecznych w 5 krokach

Metoda Newtona – Raphsona jest zbieżna kwadratowo, tzn. W obliczeniach numerycznych pochodną najczęściej oblicza się numerycznie: f(x) „Pechowe” przypadki: x2 rozbieżna x Zmniejszyć przedział [xd,x0] xd x1 x0

Budując procedurę należy się zabezpieczyć przed taką możliwością. f(x) cykl x2=x4=... x xd x1=x3=... Budując procedurę należy się zabezpieczyć przed taką możliwością. Wystartować z punktu x1 znajdującego się bliżej xd Pierwiastki wielokrotne: Przy pierwiastkach wielokrotnych badać funkcję:

Pierwiastki zespolone Przykład Szukamy zespolonych pierwiastków metodą Newtona - Raphsona

Jako punkt startowy musimy wybrać liczbę zespoloną: x0=i gdzie xd=-0.5+1.322288i x2=-0.50605+1.21289i x3=-0.49471+1.32934i x4=-0.50119+1.32409i x5=-0.500059+1.322855i x6=-0.5+1.32275i błąd=-0.00083198+0.00043738i

Układy równań nieliniowych Dany jest układ równań: Dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenia: oraz

i równanie zapisujemy krótko: Metoda iteracji prostej Równanie: zapisujemy w postaci: i procedura iteracji prostej ma postać: Stosowana szczególnie w przypadkach jeżeli mamy dobre przybliżenie początkowe. Sytuacja taka występuje np. w przypadku małej zmiany parametrów równania.

Przykład: którego rozwiązaniem jest: x1=1; y1=0 oraz x2=-1; y2=0 Szukamy rozwiązania układu po małej zmianie parametrów: mamy schemat iteracyjny: Jako startowy punkt wybieramy: x0=1; y0=0 i mamy:

n 1 2 3 4 xn 0.97468 0.961834 yn 0.157718 0.193006 n 5 6 7 8 xn 0.955379 0.9521509 0.952151 yn 0.193006 0.208347 0.2155736 n 9 10 11 12 xn 0.9505409 0.950541 0.9497389 0.949739 yn 0.2155734 0.21907994 0.2190797 0.2208036

Z przedstawionych obliczeń widać, że metoda jest wolno zbieżna i dlatego stosowana tylko w przypadkach, gdy znamy bardzo dobrze zerowe przybliżenie. Zastosowanie w równaniach różniczkowych. Metoda Newtona - Raphsona Rozwijamy funkcję fk(X) w szereg Taylora w otoczeniu punktu Xi:

Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy macierz Jacobiego zdefiniowaną następująco:

i w postaci macierzowej możemy krótko zapisać układ równań: gdzie oznaczono: i rozwiązując symbolicznie mamy:

Przykład