mgr inż. Sylwester Laskowski Obrona Rozprawy Doktorskiej Wspomaganie procesu ustalania cen detalicznych i negocjacji stawek rozliczeniowych na konkurencyjnym rynku usług telekomunikacyjnych mgr inż. Sylwester Laskowski Witam Państwa bardzo serdecznie! Nazywam się Sylwester Laskowski i mam przyjemność przedstawić Państwu wyniki mojej pracy zawarte w Rozprawie zatytułowanej: „Wspomaganie procesu ustalania cen detalicznych i negocjacji stawek rozliczeniowych na konkurencyjnym rynku usług telekomunikacyjnych”. *

Plan prezentacji Wprowadzenie Model gry rynkowej Analiza jednokryterialnych gier przeciwko naturze Zarys analizy wielokryterialnych i N-osobowych gier o sumie niezerowej Podsumowanie Plan mojej prezentacji jest następujący: * Rozpocznę od krótkiego wprowadzenia w tematykę konkurencji na rynku telekomunikacyjnym. Następnie zaprezentuję podstawowe założenia zaproponowanego w pracy modelu gry rynkowej wraz z ogólną klasyfikacją różnego typu gier . W dalszej kolejności mówił będę o narzędziach analizy i wspomagania decyzji graczy rynkowych w szczególnym typie gry, nazwanej w pracy: „jednokryterialną grą przeciwko naturze”. Następnie przedstawię zarys analizy pozostałych typów gier ujętych w klasyfikacji. I na zakończenie dokonam podsumowania kluczowych rezultatów mojej pracy.

Wprowadzenie Zacznijmy od wprowadzenia. *

Rynek hurtowy: Współpraca Operator zasiedziały Nowy operator Rynek detaliczny: Konkurencja Od czasu zniesienia prawnie chronionego monopolu, na rynku telekomunikacyjnym prócz dawnego monopolisty – operatora zasiedziałego pojawiają się nowi operatorzy, nowi gracze. Charakterystyczną cechą tej nowej sytuacji jest z jednej strony * Konieczność współpracy międzyoperatorskiej, a z drugiej Konieczność konkurowania o dostęp do abonentów.

Rynek hurtowy: Współpraca Reciprocity (Bill & keep) Imputation Unbundling Wspólne wykorzystanie środków Ustalanie stawek rozliczeniowych (koszty lub benchmarking) Rynek detaliczny: Konkurencja Główny problem związany ze współpracą międzyoperatorską wiąże się z kwestią wzajemnych rozliczeń za ruch wymieniany pomiędzy sieciami. Stąd też uwaga ośrodków badawczych, jak też regulatorów rynku skupiała się dotychczas w głównej mierze * Na kwestii zasad i metod rozliczeń międzyoperatorskich. Dominującym obecnie podejściem do kwestii rozliczeń jest ustalanie stawek opartych na kosztach świadczenia usług, a w przypadku nieznajomości tych kosztów na zasadzie porównania z innymi operatorami tzw. benchmarking. W kwestii działań pro-konkurencyjnych zaleca się przestrzeganie zasady niewiązania cen detalicznych z cenami hurtowymi. Zasada niewiązania cen detalicznych z cenami hurtowymi

Stawki oparte na kosztach. Współpraca Operator zasiedziały Nowy operator Popyt W kwestii współpracy międzyoperatorskiej zaleca się, by stawki rozliczeniowe oparte były na kosztach. Jest to podejście względnie proste i uzasadnione w przypadku, gdy pomiędzy operatorami istnieje duża dysproporcja siły negocjacyjnej, wynikająca z przewagi rynkowej operatora zasiedziałego. Jednakże z punku widzenia wielu istotnych kryteriów oceny działalności rynkowej nie jest to rozwiązanie optymalne. Takie uzyskać można jedynie wówczas, gdy stawki za połączenia międzysieciowe uwzględniały będą – prócz kosztów * – również popyt na te usługi.

Nie wiązać cen detalicznych i hurtowych. Konkurencja Powiązanie Operator zasiedziały Nowy operator Nie wiązać cen detalicznych i hurtowych. Konkurencja W kwestii działań pro-konkurencyjnych zaleca się, by nie wiązać cen detalicznych z cenami hurtowymi. Tymczasem * z punktu widzenia operatorów, ceny te będą zawsze powiązane! Ceny za połączenia do innych sieci, generowane przez użytkowników końcowych muszą uwzględniać wysokość stawek rozliczeniowych, za ruch międzysieciowy.

Idea Zbudować model gry rynkowej oparty na modelu ponoszonych kosztów i modelu popytu na usługi telekomunikacyjne. Zaadoptować znane z teorii gier oraz zaproponować własne narzędzia analizy konkurencyjnej użyteczne dla graczy rynkowych. Na tle tych spostrzeżeń zrodziła się idea, by zbudować model gry rynkowej oparty na modelu ponoszonych kosztów i modelu popytu na usługi telekomunikacyjne. A następnie * Zaadoptować znane z teorii gier oraz zaproponować własne narzędzia analizy konkurencyjnej, użyteczne dla graczy rynkowych. Myśl ta znalazła swój wyraz w zasadniczych tezach mojej Rozprawy.

Teza 1. Modelowanie i analiza popytu na usługi telekomunikacyjne w połączeniu z analizą kosztów świadczenia tych usług prowadzi do bardziej skutecznego działania na rynku. Teza pierwsza głosi, iż: Modelowanie i analiza popytu na usługi telekomunikacyjne w połączeniu z analizą kosztów świadczenia tych usług prowadzi do bardziej skutecznego działania na rynku. *

Teza 2. Analiza konkurencyjna rynku usług telekomunikacyjnych może dać lepsze rezultaty w procesie ustalania stawek rozliczeniowych za połączenia międzyoperatorskie, niż analiza oparta wyłącznie na kosztach świadczenia usług. Teza druga wnosi, iż: Analiza konkurencyjna rynku usług telekomunikacyjnych może dać lepsze rezultaty w procesie ustalania stawek rozliczeniowych za połączenia międzyoperatorskie, niż analiza oparta wyłącznie na kosztach świadczenia usług. *

Teza 3. Modele rozwiązywania sytuacji konfliktowych oparte o teorię gier dają się stosować do lepszego zrozumienia i rozwiązywania problemów konkurencyjnych na rynku usług telekomunikacyjnych. I teza trzecia, której treścią jest twierdzenie, że: Modele rozwiązywania sytuacji konfliktowych, oparte o teorię gier dają się stosować do lepszego zrozumienia i rozwiązywania problemów konkurencyjnych na rynku usług telekomunikacyjnych. Przedstawię teraz rezultaty mojej pracy, które uzasadniają słuszność postawionych tez. *

Model gry rynkowej Rozpocznę od prezentacji modelu gry rynkowej. *

Gracze rynkowi Strategiczne decyzje Przedsiębiorstwa telekomunikacyjne (operatorzy, dostawcy usług) Strategiczne decyzje Na jakich rynkach funkcjonować? Jakie oferować usługi, kiedy, komu i za ile? W grze rynkowej udział biorą „Gracze rynkowi”, którymi są przedsiębiorstwa telekomunikacyjne, takie jak operatorzy czy dostawcy usług. * Gracze Ci podejmują kluczowe dla swej działalności decyzje: Na jakich rynkach funkcjonować? Jakie oferować usługi, kiedy, komu i za ile?

Definicje Jednostką usługową – SUAipm nazywamy elementarną część m usługi bądź usług, świadczoną przez przedsiębiorstwo A, w i-tej strefie numeracyjnej, dla użytkownika o profilu p, z którą związana jest pobierana od użytkownika opłata PAipm. Strategią aj gracza A nazywamy zbiór par {(SUAipm,PjAipm )} Dla precyzyjnego określenia zmiennych decyzyjnych graczy, czyli ich strategii gry, wprowadzam pojęcie jednostki usługowej, która jest: elementarną częścią m usługi bądź usług, świadczoną przez przedsiębiorstwo A, w i-tej strefie numeracyjnej, dla użytkownika o profilu p, z którą związana jest pobierana od użytkownika opłata PAipm. * Strategia gry zdefiniowana jest jako zbiór par: jednostka usługowa i związana z nią cena.

Decyzje gracza B Decyzje gracza A Wynik gry W rezultacie podjęcia przez graczy decyzji – tu prezentuję to dla dwóch graczy, gracza A i gracza B – ustala się pewien „wynik gry”. *

Udział w rynku Decyzje gracza B Decyzje gracza A Wynik ten jest wielokryterialny. Może on być określony przez udział graczy w rynku. *

Dystrybucja ruchu w sieciach Decyzje gracza B Decyzje gracza A Dystrybucja ruchu w sieciach Przez dystrybucję ruchu w sieciach operatorów. *

Ponoszone koszty Decyzje gracza B Decyzje gracza A Ponoszone z tytułu świadczonych usług koszty *

Czerpane zyski Decyzje gracza B Decyzje gracza A Czy czerpane z działalności zyski. *

Kryteria oceny: Decyzje gracza B Decyzje gracza A - Udział w rynku - Dystrybucja ruchu - Ponoszone koszty - Czerpane zyski Ogólnie są to pewne kryteria oceny podjętych decyzji. *

Decyzje gracza B Decyzje gracza A b1 b2 b3 b4 a1 : a2 a3 . . . . . a4 [VA,VB] a4 Całość dla dwóch graczy przedstawić można w formie tzw. macierzy wypłat, w której wiersze odpowiadają strategiom gracza A, a kolumny strategiom gracza B. Elementami macierzy są wartości określonego kryterium, tzw. funkcji wypłaty, odpowiednio dla gracza A i gracza B. *

Kryteria oceny (funkcje wypłaty) Decyzje gracza B Decyzje gracza A [VA,VB] Model popytu x Model kosztów b1 b2 b3 b4 a1 : a2 a3 . . . . . [VA,VB] a4 [VA,VB] Każde spośród uwzględnionych w modelu kryteriów oceny bazuje na modelu popytu na usługi telekomunikacyjne. Dwa kryteria – kryterium ponoszonych kosztów i kryterium czerpanych zysków bazuje ponadto na modelu kosztów. Na temat modelowania kosztów świadczenia usług telekomunikacyjnych napisano już bardzo wiele. Znacznie mniej uwagi poświęca się * modelowaniu popytu. Stąd też w swojej pracy zaproponowałem analityczny model popytu na usługi telekomunikacyjne.

Model popytu Modele składowe Fazy konstrukcji modelu Model funkcji popytu – D Model rozpływu ruchu – Model liczby abonentów – U Fazy konstrukcji modelu Przypadek ekstremalny Przypadek monopolu Przypadek konkurencji Model składa się z trzech zasadniczych części: „Modelu funkcji popytu” określającego jak zmienia się wielkość generowanego ruchu wraz ze zmianą cen. „Modelu rozpływu ruchu” określającego, jak ceny za usługi w określonych relacjach wpływają na dystrybucję ruchu w sieciach. I „Modelu liczby abonentów” określającego wpływ cen na decyzję abonentów, czy korzystać z usług danego operatora. * Model budowałem w trzech fazach, zaczynając od przypadku ekstremalnego, w którym brak jest jakichkolwiek zależności substytucyjnych, poprzez przypadek monopolu, w którym istnieje substytucja między-usługowa w ramach sieci jednego operatora i wreszcie uogólniłem to na przypadek konkurencji, w którym dochodzi substytucja pomiędzy operatorami. Model z braku rzeczywistych danych pozostał na poziomie weryfikacji teoretycznej.

Gra o udział w rynku na rynku połączeń lokalnych Jednokryterialna gra rynkowa Rynek Transmisja rozsiewcza Usługi roamingu Dzierżawa na potrzeby tranzytowe Hurtowy dostęp do infrastruktury Zakończenie połączenia w sieci komórkowej Rozpoczęcie połączenia w sieci komórkowej Dostęp do uwolnionej pętli Gra o udział w rynku na rynku połączeń lokalnych Tranzyt połączenia połączenia Zakończenie połączenia Rozpoczęcie połączenia Połączenia międzynarodowe Połączenia międzystrefowe Na tle powyższych ustaleń wprowadziłem pojęcie: „Jednokryterialnej gry rynkowej”, która jest punktem w dwuwymiarowej przestrzeni: właściwy rynek – kryterium. I tak dla przykładu * Mamy tu do czynienia z grą o udział w rynku na rynku połączeń lokalnych. Połączenia lokalne Łącza dzierżawione Dostęp do abonentów domowych Kryterium

Informacja o macierzy wypłat konkurenta Klasyfikacja gier 2-osobowe N-osobowe Liczba graczy Jednokryterialne Wielokryterialne Liczba kryteriów Gry klasyfikuję ze względu na liczbę biorących w niej udział graczy, wyróżniając gry 2-osobowe i N-osobowe. * Ze względu na liczbę rozpatrywanych kryteriów, wyróżniając gry jednokryterialne i wielokryterialne. Oraz ze względu na posiadaną informację o macierzy wypłat graczy konkurencyjnych, która może być znana, lub nieznana. W sensie definicji gry, którą wprowadziłem nieznajomość macierzy wypłat w grze na rynku telekomunikacyjnym oznacza w praktyce albo nieznajomość modelu kosztów graczy konkurencyjnych, albo niewiedzę, w jaką grę ci gracze grają (jakie kryterium optymalizują). W swojej pracy zasadniczo skupiłem uwagę Na grach 2-osobowych, jednokryterialnych z nieznaną macierzą wypłat konkurentów. Po części jednak wyniki pracy dotyczą również pozostałych typów gier. Informacja o macierzy wypłat konkurenta Znana Nieznana

Gra przeciwko naturze B A b1 b2 b3 b4 a1 : a2 a3 . . . . . V2(a3) a4 Jednokryterialną, 2-osobową grę z nieznaną macierzą wypłat drugiego gracza traktować można jak swoistą „grę przeciwko naturze”. Tu właśnie strategie gracza B reprezentują stany natury. *

Negocjowane ceny na rynku hurtowym Strategie gracza A Strategie gracza B Ceny na rynku detalicznym gracza A Negocjowane ceny na rynku hurtowym Ceny na rynku detalicznym gracza B Jest to jednakże nietypowa gra przeciwko naturze bowiem strategie graczy nie są do końca rozłączne. Na strategie graczy składają się ustalane przez nich (w pewnym sensie niezależnie) ceny na rynku detalicznym. Na strategie te jednak składają się również * Negocjowane ceny na rynku hurtowym, czyli stawki rozliczeniowe za ruch międzysieciowy. Wysokość tych cen zależy od decyzji obu graczy. Zakładając, że pierwszym ruchem w grze jest ustalenie przez gracza A cen na rynku detalicznym, na potrzeby analizy sytuacji decyzyjnej z punktu widzenia gracza A zakładam początkowo, iż

Negocjowane ceny na rynku hurtowym Strategie gracza A Strategie gracza B Ceny na rynku detalicznym gracza A Negocjowane ceny na rynku hurtowym Ceny na rynku detalicznym gracza B Negocjowane ceny na rynku hurtowym należą do strategii natury. W późniejszej fazie analizy to założenie zostanie uchylone. *

Analiza jednokryterialnych gier przeciwko naturze Przedstawię teraz zaproponowane w pracy narzędzia analizy sytuacji decyzyjnej z punktu widzenia gracza A, w grze rynkowej modelowanej, jako gra przeciwko naturze.

Kryteria wyboru strategii 2 1 a2 a3 4 a4 3 Jeśli sytuację decyzyjną gracza A można wyrazić w formie macierzy wypłat, odzwierciedlającej wartość podjętych przez niego decyzji, dla określonych odpowiedzi gracza B, to dla potrzeb racjonalizacji tych decyzji należy zastosować określone kryterium wyboru strategii. Powszechnie w literaturze spotyka się * pięć kryteriów wyboru strategii: kryterium Walda, Optymistyczne, Hurwicza, Laplace’a i Savage’a. W swojej pracy zaproponowałem Dodatkowo osiem innych kryteriów. Cechą charakterystyczną większości z nich jest wprowadzenie pojęcia tzw. „progu uznania”. Z racji na ograniczenia czasowe, związane z moją prezentacją kryteriów tych nie będę w tym miejscu omawiał.

Kryteria wyboru strategii Powszechnie znane Walda Optymistyczne Hurwicza Laplace’a Savage’a Autorskie LNW LNWP SNWP EWP ESP PEW PES WES b1 b2 b3 b4 a1 2 1 a2 a3 4 a4 3 Jeśli sytuację decyzyjną gracza A można wyrazić w formie macierzy wypłat, odzwierciedlającej wartość podjętych przez niego decyzji, dla określonych odpowiedzi gracza B, to dla potrzeb racjonalizacji tych decyzji należy zastosować określone kryterium wyboru strategii. Powszechnie w literaturze spotyka się * pięć kryteriów wyboru strategii: kryterium Walda, Optymistyczne, Hurwicza, Laplace’a i Savage’a. W swojej pracy zaproponowałem Dodatkowo osiem innych kryteriów. Cechą charakterystyczną większości z nich jest wprowadzenie pojęcia tzw. „progu uznania”. Z racji na ograniczenia czasowe, związane z moją prezentacją kryteriów tych nie będę w tym miejscu omawiał.

Regularyzacja X:Y Kryterium Laplace’a : Kryterium Walda b1 b2 b3 b4 a1 1 a2 a3 4 a4 3 Kolejnym narzędziem analizy sytuacji decyzyjnej jest tak zwana regularyzacja, czyli redukcja rozmiaru zbioru niejednoznacznych w sensie określonego kryterium strategii, poprzez zastosowanie kryterium innego. Dla przykładu jeśli macierz wypłat przedstawia się jak w niniejszej tabeli, to stosując * Kryterium Laplace’a otrzymamy dwie niejednoznaczne w jego sensie strategie – a1 i a2. Jeśli teraz do tego zbioru zastosujemy kryterium Walda, to wskaże ono jednoznacznie na strategię a2.

Regulatyzacje użyteczne Regulatyzacje nieużyteczne Laplace’a : Walda Laplace’a : Optymistyczne Laplace’a : Savage’a Laplace’a : LNW Walda : Savage’a Walda: LNW Optymistyczne: Savage’a Optymistyczne: LNW Savage’a: Walda Savage’a : Optymistyczne LNW : Walda LNW : Optymistyczne Regulatyzacje nieużyteczne Walda : Optymistyczne Walda : Laplace’a Optymistyczne : Walda Optymistyczne: Laplace’a Savage’a : Laplace’a Savage’a : LNW LNW : Laplace’a LNW : Savage’a Okazuje się, że nie wszystkie zestawienia kryteriów w ramach regularyzacji są użyteczne. Niektóre zestawienia nigdy nie doprowadzą do zredukowania zbioru niejednoznacznych strategii. W powyższym zestawieniu nie uwzględniam kryteriów odwołujących się do pojęcia progu uznania oraz współczynnika optymizmu, z racji na arbitralność wyboru ich wartości. *

Analiza wielokryterialna Regularyzacja (z1 : z2 ) to w istocie optymalizacja wielokryterialna z leksykograficzną funkcją skalaryzującą Alternatywa: Metoda Punktu Odniesienia Regularyzacja to w istocie optymalizacja wielokryterialna z leksykograficzną funkcją skalaryzującą. Dlatego też zaproponowałem * Alternatywne podejście: Metodę Punktu Odniesienia, gdzie optymalizowanymi kryteriami są wcześniej omówione kryteria wyboru strategii. ηj – cząstkowa funkcja osiągnięcia zj – kryterium wyboru strategii w grze przeciwko naturze (np. Walda)

Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego 3 2 a2 b1 b2 a1 4 2 a2 1 3 C B Kolejnym narzędziem analizy jest tak zwana: Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego. Rozpatruję tu sytuację co najmniej trzech graczy. Strategie gracza B i C stanowią dla gracza A strategie natury. Zakładając, że gracz A może w jakiś sposób poznać decyzję któregoś z graczy, stawiam pytanie: „Decyzję którego z nich najbardziej opłaca się poznać?”, „Znajomość decyzji którego z nich jest dla gracza A najbardziej korzystna?” Odpowiedź na to pytanie ustala się w oparciu o analizę macierzy wypłat gracza A. * Decyzję którego z graczy najbardziej opłaca się poznać? A

Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego SQXA – (Status Quo) aktualnie wyliczona wypłata dla gracza A w oparciu o kryterium wyboru strategii X. KDXAO – (Known Decision of Operator O) wypłata wyliczona w oparciu o kryterium X przy znajomości decyzji operatora O. VIXAO – (Value of Information) wartość informacji dla operatora A odnośnie decyzji operatora O wyliczona w oparciu o kryterium X. VIXAO = |KDXAO – SQXA | Wprowadzam więc pojęcie współczynnika status quo określającego wartość wypłaty gracza A, wyliczoną w sensie określonego kryterium wyboru strategii, w sytuacji nieznajomości decyzji żadnego z graczy. * Następnie współczynnik KD określający wartość wypłaty, wyliczonej w oparciu o kryterium X przy znajomości decyzji jednego z graczy. I współczynnik wartości informacji, zdefiniowany jako moduł różnicy wyżej zdefiniowanych współczynników.

Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego Operator Najbardziej Obiecujący w sensie kryterium X dla operatora A to operator, dla którego współczynnik VIXAO – przyjmuje wartość największą. Przykład: Wyznaczanie współczynników dla operatora B. X – kryterium Walda Operatorem Najbardziej Obiecującym jest ten, dla którego współczynnik wartości informacji przyjmuje wartość największą. Poniżej ilustruję przykład wyznaczania współczynników SQ i KD przy założeniu, że gracz A kieruje się kryterium Walda. *

Wybór strategii gry w sytuacji istnienia rekomendowanych stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym W przypadku gdy negocjacje dotyczące połączenia sieci zakończą się fiaskiem, operatorzy mają prawo odwołać się do regulatora rynku z żądaniem arbitralnego rozstrzygnięcia problemu. W wielu przypadkach regulatorzy rynku podają tak zwane rekomendowane stawki rozliczeniowe, a operatorzy o znaczącej pozycji rynkowej zobowiązani są do przedstawiania ofert ramowych. W związku z tym w dalszej części rozważam, jak zmienia się sytuacja decyzyjna gracza A przy założeniu istnienia rekomendowanych stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym.

Negocjowane ceny na rynku hurtowym Strategie gracza A Strategie gracza B Ceny na rynku detalicznym gracza A Negocjowane ceny na rynku hurtowym Ceny na rynku detalicznym gracza B Zaproponowałem więc inne podejście przyjmując, iż negocjowane ceny na rynku hurtowym nie są strategiami gracza B, tylko * Strategiami pewnego hipotetycznego gracza H. Strategie hipotetycznego gracza H

VXil – wartość strategii hl wyznaczona w oparciu o kryterium wyboru strategii X. h1 = h* h2 h3 h4 a1 : a2 VX2* . . . . . . VX23 a3 a4 X – Laplace’a Problem sprowadzić można do gry przeciwko naturze, której strategiami są strategia gracza H, z których jedna jest strategią rekomendowanych cen - h*. Wypłatami gracza A są wartości poszczególnych strategii gracza H, obliczone jako agregat względem strategii cen detalicznych gracza B. Tu dla przykładu podaję sposób wyznaczania wartości wypłaty gracza A w oparciu o kryterium Laplace’a. Następnie dokonać można * agregacji strategii hl jednakże tylko takich, których wartość jest większa niż wartość strategii h*, a następnie Zakładając znajomość prawdopodobieństwa, że strategia hl ma dla gracza B wartość większą niż strategia h*, Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że strategia zaagregowana nie zostanie odrzucona. pBil – prawdopodobieństwo, że strategia hl ma przy ustalonej strategii ai dla gracza B wartość niemniejszą aniżeli strategia h* (pBil = 0,5).

h* a1 a2 a3 a4 Problem sprowadza się w ten sposób sytuacji, w której gracz H ma dwie strategie: Strategię h*, którą gracz A zawsze może wybrać I strategię zaagregowaną, która może zostać wybrana z określonym prawdopodobieństwem. *

Problem wielokryterialny - wartość strategii - wartość strategii Uzyskujemy w ten sposób problem wielokryterialny, gdzie optymalizowanymi kryteriami są: Wartość strategii h* Wartość strategii zaagregowanej I prawdopodobieństwo, że strategia zaagregowana jest możliwa do osiągnięcia. * - prawdopodobieństwo osiągnięcia strategii

Kolejność ruchów A - proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza A B - proces ustalania cen na rynku detalicznym gracza B H - proces negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym między graczami A i B (ruch hipotetycznego gracza H) Kolejnym elementem, który analizowałem jest kwestia kolejności ruchów. W przypadku gry, w której udział bierze dwóch graczy mamy do czynienia z trzema procesami: Procesem ustalania cen na rynku detalicznym gracza A Procesem ustalania cen na rynku detalicznym gracza B I procesem negocjacji stawek rozliczeniowych na rynku hurtowym pomiędzy graczami, który traktować można jako ruch hipotetycznego gracza H. Ustawiając te procesy w czasie i zakładając ich rozłączność *

Uszeregowanie ABH AHB BAH BHA HAB HBA Optymalne z punku widzenia sprawności przeprowadzania procesu negocjacji Najgorsze dla A z punktu widzenia możliwości wpływania na wynik gry ABH AHB BAH BHA HAB HBA Zmiana kolejności ruchów dokonywać się może: Poprzez zmianę momentu zakończenia negocjacji cen na rynku hurtowym Poprzez zmianę momentu ustalenia cen na rynku detalicznym. Otrzymujemy sześć sposobów ich uszeregowania. * Uszeregowanie BHA jest optymalne dla gracza A z punktu widzenia możliwości wpływania na wynik gry. Gdy rozpoczynają się negocjacje (proces H), ceny na rynku detalicznym gracza B są już ustalone. Stąd ostatnim momentem, w którym może on wpłynąć na wynik gry jest proces negocjacji cen na rynku hurtowym. Wynik gry ostatecznie określony zostanie przez gracza A, w procesie ustalania cen na jego rynku detalicznym. Z tych samych powodów, uszeregowanie odwrotne jest dla gracza A z punktu widzenia możliwości wpływania na wynik gry – najgorsze. Z punktu widzenia sprawności przeprowadzania procesu negocjacji optymalnymi są uszeregowania, w których negocjacje są ostatnim ruchem w grze. W pozostałych przypadkach przynajmniej jeden z graczy ma motywację do opóźniania zakończenia negocjacji do momentu, aż drugi gracz ustali swoje ceny na rynku detalicznym. Zmiana kolejności ruchów dokonywać się może na dwa sposoby. Poprzez zmianę momentu zakończenia negocjacji cen na rynku hurtowym, Albo poprzez zmianę momentu ustalenia cen na rynku detalicznym. Optymalne dla A z punku widzenia możliwości wpływania na wynik gry

Gra przeciwko podwójnej naturze h1 h2 b1 b2 a1 3 2 a2 b1 b2 a1 4 2 a2 1 3 Problem: Wykonać ruch jako pierwszy (ustalić ceny na rynku detalicznym A) czy czekać na zakończenie B lub H? Sytuację rozpatruję w dwóch przypadkach. Gra przeciwko podwójnej naturze to sytuacja, w której żaden z procesów nie dobiegł końca. Gracz A rozgrywa wówczas grę przeciwko naturze, która reprezentuje strategie gracza B i gracza H, a problem sprowadza się do pytania, czy ruszyć się jako pierwszy (czyli ustalić ceny na rynku detalicznym), czy czekać, aż ceny te ustali gracz B lub H. *

Gra przeciwko pojedynczej naturze b1 b2 a1 4 2 a2 1 3 W wyniku rozegrania gry przeciwko podwójnej naturze ustalone zostały ceny na jednym z rynków h1 h2 a1 3 2 a2 Gra przeciwko pojedynczej naturze to sytuacja, tuż po zakończeniu gry przeciwko podwójnej naturze, w wyniku rozegrania której ceny na jednym z rynków zostały ustalone. W zależności od tego, który z graczy ustalił swoje ceny, w grze przeciwko pojedynczej naturze mamy do czynienia z trzema przypadkami. Przypadek pierwszy, to sytuacja, gdy ustalone są już ceny na rynku hurtowym, W przypadku drugim ustalone są już ceny na rynku detalicznym gracza B I w przypadku trzecim ustalone są ceny na rynku detalicznym gracza A. Strategiami gracza A są więc albo jego ceny na rynku detalicznym, albo ceny na rynku hurtowym. Analogiczna sytuacja zachodzi w przypadku gracza B. * b1 b2 h1 2 h2 1 3

Gra przeciwko pojedynczej naturze Gra przeciwko podwójnej naturze Proces decyzyjny przebiega zatem w dwóch fazach: najpierw rozgrywana jest gra przeciwko podwójnej naturze, a następnie gra przeciwko pojedynczej naturze. *

Korzyść ze zmiany kolejności ruchów w grze przeciwko podwójnej naturze Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego VIXAO = |KDXAO – SQXA | Siła negocjacyjna α uwzględniona poprzez dobór odpowiedniego kryterium wyboru strategii agregującego strategie gracza H. α · Optymistyczne + (1 – α) · Walda W przypadku gry przeciwko podwójnej naturze do wyznaczenia korzyści ze zmiany kolejności ruchów stosować można w sposób bezpośredni koncepcję operatora najbardziej obiecującego. * W sytuacji istnienia rekomendowanych stawek rozliczeniowych mamy do czynienia z trzema prostymi przypadkami: W przypadku, gdy zakłada się, że strategia h* zostanie wybrana, mamy sytuację w której gracz H ma tylko jedną strategię. Jeśli strategia h* ma zostać odrzucona to gracz H ma o jedną strategię mniej. A w sytuacji gdy nie rozstrzyga się a priori czy strategia h* zostanie wybrana czy odrzucona, strategię h* traktować można jak każda inną strategię. W związku z szacowaniem korzyści ze zmiany kolejności ruchów pojawia się jeszcze problem siły negocjacyjnej graczy. Im dany gracz ma większą siłę (tu wyrażoną poprzez współczynnik αlfa) , tym mocniej wpłynąć może na wynik procesu negocjacji. Okazuje się, że w przypadku gry przeciwko podwójnej naturze kwestia ta zostaje uwzględniona poprzez odpowiedni dobór kryterium wyboru strategii, agregującej strategie gracza H.

Korzyść ze zmiany kolejności ruchów w grze przeciwko pojedynczej naturze Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego VIXAO = |KDXAO – SQXA | KD wyznacza się stosując kryterium X do wektora najlepszych odpowiedzi gracza A, w sytuacji, gdy A rusza się jako drugi: W przypadku gry przeciwko pojedynczej naturze, do wyznaczenia korzyści ze zmiany kolejności ruchów, również zastosować można koncepcję operatora najbardziej obiecującego z tą różnicą, że do wyznaczenia współczynnika KD, agreguje się tzw. najlepsze odpowiedzi gracza A, w sytuacji gdy rusza się on jako drugi. * Kwestia istnienia rekomendowanych stawek rozliczeniowych uwzględniana jest tu w sposób analogiczny jak w przypadku gry przeciwko podwójnej naturze.

VIXαHB = | KDXαHB - SQXαH | Siła negocjacyjna - α h1 h2 a1 3 2 a2 Wpływ siły negocjacyjnej na korzyść ze zmiany kolejności ruchów ustala się w sposób analogiczny jak w grze przeciwko podwójnej naturze – poprzez dobór odpowiedniego kryterium wyboru strategii. b1 b2 h1 2 h2 1 3 Określenie zbioru - IH potencjalnie możliwych do wybrania strategii – hl. Stworzenie rankingów strategii hl – IHSQ, IHKDj. Redukcja liczności zbiorów IHSQ i IHKDj proporcjonalnie do (1 - α) Wyznaczenie wartości SQXαH i KDXαHB dla zredukowanych zbiorów IαHSQ i IαHKDj. Obliczenie wartości korzyści ze zmiany kolejności ruchów VIXαHB = | KDXαHB - SQXαH | Różnica zachodzi w kwestii uwzględniania siły negocjacyjnej. W przypadku, gdy ceny na rynku hurtowym traktowane są jako strategie natury, * Wpływ siły negocjacyjnej na korzyść ze zmiany kolejności ruchów wyznacza się w sposób analogiczny jak w grze przeciwko podwójnej naturze – poprzez dobór odpowiedniego kryterium wyboru strategii. W przypadku, gdy ceny na rynku hurtowym traktowane są jako strategie gracza A, tego podejścia zastosować już nie można. Zaproponowałem więc alternatywną metodę szacowania korzyści: Najpierw określa się zbiór potencjalnie możliwych do wybrania strategii hl. Następnie tworzone są rankingi tych strategii w sytuacjach, gdy gracz A rusza się jako pierwszy i gdy rusza się jako drugi. Potem redukuje się liczność tych zbiorów tym mocniej, im mniejsza jest siła negocjacyjna gracza A. Następnie wyznaczane są wartości współczynników SQ i KD dla tak zredukowanych zbiorów I w standardowy już sposób wyznaczana jest korzyść ze zmiany kolejności ruchów, jako moduł różnicy tych współczynników.

BATNA Best Alternative To a Negotiated Agreement najlepsza alternatywa negocjowanego porozumienia BATNA negocjacji międzyoperatorskich – „wartość” stawek rozliczeniowych rekomendowowanych przez regulatora rynku - V(h*) Jednym z kluczowych pojęć teorii negocjacji jest BATNA – czyli najlepsza alternatywa negocjowanego porozumiania. * W przypadku negocjacji międzyoperatorskich BATNA określona jest przez wartość stawek rozliczeniowych rekomendowanych przez regulatora rynku. Istotnym jest tu spostrzeżenie, iż w przypadku gry przeciwko naturze gracz A nie może określić wartości BATNA gracza B. Wynika to z faktu, że rekomendowane stawki są decyzjami, do określenia wartości których niezbędna jest znajomość funkcji wypłaty gracza B. W grze przeciwko naturze gracz A nie może określić wartości BATNA gracza B!

Zarys analizy wielokryterialnych i N-osobowych gier o sumie niezerowej W ramach pracy rozpocząłem również analizę pozostałych typów gier. *

Informacja o macierzy wypłat konkurenta Zarys analizy 2-osobowe N-osobowe Liczba graczy Jednokryterialne Wielokryterialne Liczba kryteriów Rozważałem sytuację gry, w której dany gracz zna macierz wypłat konkurenta. Poczyniłem również pewne spostrzeżenia w kwestii gier wieloosobowych i wielokryterialnych. * Informacja o macierzy wypłat konkurenta Znana Nieznana

Zarys analizy Rola informacji o funkcji wypłaty i strategiach konkurencyjnych graczy Nieefektywność rozwiązania gry nawet w przypadku wybierania dominujących strategii Nieefektywność może wynikać z samej struktury gry Niewiedza gracza B może być niekorzystna dla gracza A Problem nieznanego charakteru kryterium gracza B i niejednoznaczności jego odpowiedzi Wielopoziomowa agregacja kryteriów Agregacja elementarnych funkcji wypłat Agregacja wypłat dla różnych strategii konkurenta Agregacja gier jednokryterialnych Agregacja uczestników gry W szczególności rozważałem kwestię Roli informacji o funkcji wypłaty i strategiach konkurencyjnych graczy, wskazując na możliwość uzyskania nieefektywnych rozwiązań gry, nawet w przypadku wybierania dominujących strategii. Zasygnalizowałem, iż nieefektywność rozwiązania może wynikać z samej struktury gry. Pokazałem również przypadki, w których niewiedza gracza B na temat macierzy wypłat gracza A może być dla gracza A niekorzystna. * Ponadto wskazałem na problem nieznanego charakteru kryterium gracza konkurencyjnego i problem niejednoznaczności jego odpowiedzi. Pokazałem również, iż w przypadku gier wielokryterialnych i wieloosobowych będziemy mieli do czynienia co najmniej z czterema poziomami agregacji.

Podsumowanie Podsumowując *

Rezultaty pracy Model gry rynkowej (model popytu na usługi telekomunikacyjne) Ogólna klasyfikacja gier rynkowych Nowe kryteria wyboru strategii w grach przeciwko naturze Wskazanie na użyteczne i nieużyteczne regularyzacje rozwiązań niejednoznacznych Podstawowymi rezultatami mojej pracy są: * Model gry rynkowej, w tym model popytu na usługi telekomunikacyjne Ogólna klasyfikacja gier rynkowych Nowe kryteria wyboru strategii w grach przeciwko naturze Wskazanie na użyteczne i nieużyteczne rodzaje regularyzacji rozwiązań niejednoznacznych

Rezultaty pracy cd. Pokazanie sposobu zastosowania optymalizacji wielokryterialnej w jednokryterialnej grze przeciwko naturze Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego Metoda wyboru strategii gry w sytuacji istnienia rekomendowanych stawek rozliczeniowych Wskazanie optymalnej kolejności ruchów graczy z punktu widzenia możliwości wpływania na wynik gry i sprawności przeprowadzania procesu negocjacji Pokazanie sposobu zastosowania analizy wielokryterialnej w jednokryterialnej grze przeciwko naturze * Koncepcja Operatora Najbardziej Obiecującego Metoda wyboru strategii gry w sytuacji istnienia rekomendowanych stawek rozliczeniowych Wskazanie optymalnej kolejności ruchów graczy z punktu widzenia możliwości wpływania na wynik gry i sprawności przeprowadzania procesu negocjacji

Rezultaty pracy cd. Metoda kalkulacji korzyści ze zmiany kolejności ruchów graczy Metoda uwzględniania siły negocjacyjnej graczy przy kalkulacji korzyści ze zmiany kolejności ruchów Wskazanie na niemożność określenia BATNA konkurentów w grze przeciwko naturze Zarys analizy wielokryterialnych i N-osobowych gier o sumie niezerowej Metoda kalkulacji korzyści ze zmiany kolejności ruchów graczy * Metoda uwzględniania siły negocjacyjnej graczy przy kalkulacji korzyści ze zmiany kolejności ruchów Wskazanie na niemożność określenia BATNA konkurentów w grze przeciwko naturze I zarys analizy wielokryterialnych i N-osobowych gier o sumie niezerowej.

mgr inż. Sylwester Laskowski Dziękuję za uwagę! mgr inż. Sylwester Laskowski Dziękuję Państwu za uwagę!

mgr inż. Sylwester Laskowski Obrona Rozprawy Doktorskiej Wspomaganie procesu ustalania cen detalicznych i negocjacji stawek rozliczeniowych na konkurencyjnym rynku usług telekomunikacyjnych mgr inż. Sylwester Laskowski Witam Państwa bardzo serdecznie! Nazywam się Sylwester Laskowski i mam przyjemność przedstawić Państwu wyniki mojej pracy zawarte w Rozprawie zatytułowanej: „Wspomaganie procesu ustalania cen detalicznych i negocjacji stawek rozliczeniowych na konkurencyjnym rynku usług telekomunikacyjnych”. *

Aneks Podsumowując *

Model popytu Determinanty zmienności popytu Ceny danej usługi, usług komplementarnych i substytucyjnych Dochód abonentów Liczba abonentów (z uwzględnieniem ich profilu i gęstości telefonicznej) Odległość pomiędzy strefami źródłową i docelową Czas (w sensie pory dnia) świadczenia usługi Dzień tygodnia Wizerunek (prestiż) operatora i gusta użytkowników W modelu tym rozpatrywałem wpływ na popyt następujących determinantów jego zmienności: * Ceny danej usługi, usług komplementarnych i substytucyjnych Dochód abonentów Liczba abonentów (z uwzględnieniem ich profilu i gęstości telefonicznej) Odległość pomiędzy strefami źródłową i docelową Czas (w sensie pory dnia) świadczenia usługi Dzień tygodnia Wizerunek operatora i gusta użytkowników Przyjąłem, iż ceny za usługi telekomunikacyjne stanowią zmienne decyzyjne w modelu. Pozostałe determinanty są parametrami.

Ustalenie Każdy gracz bierze udział w każdej grze na danym rynku w tym sensie, że jego decyzje wpływają na wartość funkcji wypłaty każdego z graczy w każdej z gier. Dany gracz gra w daną grę, jeśli jest zainteresowany wynikiem tej gry, jeśli funkcja wypłaty, definiująca tę grę jest dla niego istotnym kryterium oceny. Każda spośród jednokryterialnych gier ma ten sam zbiór strategii gry, w związku z tym: Każdy gracz bierze udział w każdej grze na danym rynku w tym sensie, że jego decyzje wpływają na wartość funkcji wypłaty każdego z graczy w każdej z gier. Jednakże * Będę mówił, że Dany gracz gra w daną grę, jeśli jest zainteresowany wynikiem tej gry, jeśli funkcja wypłaty, definiująca tę grę jest dla niego istotnym kryterium oceny. Innymi słowy: każdy gracz bierze udział w każdej grze, jednakże nie w każdą musi grać. Gra tylko w tych, które są dla niego ważne.

Macierz wypłat Macierz strat 2 1 4 b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 a4 3 b1 b2 b3 1 a2 a3 4 a4 3 Macierz wypłat b1 b2 b3 b4 a1 2 1 a2 3 a3 a4 Część spośród tych kryteriów operuje na macierzy wypłat, część zaś na tak zwanej „macierzy strat”. Elementami macierzy strat są wartości funkcji straty. Funkcja straty definiuje odległość między wartością wypłaty jaką (przy ustalonej odpowiedzi gracza B) gracz A mógłby w najlepszym przypadku uzyskać, a wartością jaką faktycznie otrzymał. Charakterystyczną rzeczą jest to, że tam gdzie w kolumnie macierzy wypłat jest wartość największa, tam w macierzy strat jest wartość zerowa. * Macierz strat

Powszechnie znane kryteria Kryterium Walda: Kryterium Optymistyczne: Kryterium Hurwicza: Kryterium Laplace’a: Pokrótce przedstawię powszechnie znane kryteria, tak aby na ich tle zilustrować kryteria własne. Kryterium Walda, jest to procedura zakładająca, iż zdarzy się przypadek najgorszy. Gracz A wybiera wówczas taką strategię, dla której najmniejsza spośród wypłat jest największa. * Kryterium Optymistyczne z kolei zakłada, że zdarzy się przypadek najlepszy i wskazuje na strategię, w której znajduje się wypłata największa w całej macierzy wypłat. Kryterium Hurwicza jest kombinacją liniową kryterium Walda i Optymistycznego ze współczynnikiem optymizmu α przyjmującym wartości od 0 do 1. Kryterium Laplace’a wskazuje na strategię, dla której wartość oczekiwana wypłaty jest największa. I kryterium Savage’a, operujące na macierzy strat, które wybiera strategię, która ma minimalną największą stratę. Kryterium Savage’a rozumieć można jako zastosowanie kryterium Walda do macierzy strat. Kryterium Savage’a:

Kryteria autorskie Kryterium maksymalizacji liczby największych wygranych – LNW: wybiera strategię, która ma największą liczbę wypłat, którym odpowiada zerowa wartość funkcji straty (kryterium Optymistyczne zastosowane do macierzy strat). Kryterium maksymalizacji liczby największych wygranych z progiem uznania – LNWP: wybiera strategię, która ma największą liczbę wypłat, którym odpowiada wartość funkcji straty nie większa niż próg – ρ. Zaproponowane przeze mnie kryterium maksymalizacji liczby największych wygranych – LNW rozumieć można jako zastosowanie kryterium Optymistycznego do macierzy strat. Kryterium to wybiera strategię, która ma największą liczbę wypłat, którym odpowiada zerowa wartość funkcji straty. * Kryterium LNWP jest uogólnieniem kryterium LNW poprzez wprowadzenie pojęcia progu uznania. Za największą wygraną uważa się tu tym razem wypłatę, dla której wartość funkcji straty nie przekracza pewnego progu. Kryterium to definiuję również z tak zwanym względnym progiem uznania, poprzez przyrównanie wartości straty do wartości największej wygranej.

Kryteria autorskie Kryterium maksymalizacji sumy największych wygranych z progiem uznaniam – SNWP: wybiera strategię, dla której suma wypłat, którym odpowiada wartość funkcji straty nie większa niż próg – ρ jest największa. Kryterium SNWP w przeciwieństwie to LNWP maksymalizuje nie liczbę największych wygranych, lecz ich sumę. * Kryterium to wprowadzam również dla względnej wartości progu.

Kryteria autorskie Kryterium maksymalizacji wartości oczekiwanej wypłaty z progiem uznania – EWP: wybiera strategię, która ma największą sumę wypłat, o wartości równiej lub większej niż próg – υ. Kryterium minimalizacji wartości oczekiwanej straty z progiem uznania – ESP: wybiera strategię, która ma najmniejszą sumę wartości funkcji straty, o wartości równiej lub większej niż próg – υ. Kryterium EWP wprowadza pojęcie progu określającego tym razem nie jaką wartość uznajemy za stratę, ale jaką wartość uznajemy za wygraną. Kryterium to maksymalizuje wartość oczekiwaną z wypłat o wartości większej niż próg. * I analogiczne kryterium – minimalizacji wartości oczekiwanej straty z progiem uznania – ESP – operujące na macierzy strat.

Zestawienie Kryterium Działanie EWP Maksymalizuje sumę wypłat uznanych za wygraną ESP Maksymalizuje sumę wypłat, dla których jest zauważalna strata SNWP Maksymalizuje sumę wypłat, dla których strata jest niezauważalna Tu ilustruję porównanie trzech kryteriów: EWP – maksymalizuje sumę wypłat uznanych za wygraną ESP – maksymalizuje sumę wypłat, dla których jest zauważalna strata SNWP – maksymalizuje sumę wypłat, dla których strata jest niezauważalna *

Kryteria autorskie Kryterium maksymalizacji progowej wartości oczekiwanej wypłaty – PEW: wybiera strategię, która ma największą sumę wypłat, o wartości równiej lub większej niż nieznany a priori próg – k·υ (wartość oczekiwana po progach z EWP). Kryterium minimalizacji progowej wartości oczekiwanej straty – PES: wybiera strategię, która ma najmniejszą sumę wartości funkcji straty, o wartości równiej lub większej niż nieznany a priori próg – k·υ (wartość oczekiwana po progach z ESP). Kryterium maksymalizacji progowej wartości oczekiwanej wypłaty – PEW zakłada, iż wartości progu nie jest a priori znana, znany jest natomiast rozkład jej wartości. I w tej sytuacji wybiera strategię, która daje największą wartość oczekiwaną wypłaty. * I analogiczne kryterium, operujące na macierzy strat – kryterium minimalizacji progowej wartości oczekiwanej straty.

Kryteria autorskie Kryterium minimalizacji ważonej sumy największej i najmniejszej straty – WES: wybiera strategię, dla której ważona suma największej i najmniejszej straty jest najmniejsza (kryterium Hurwicza zastosowane do macierzy strat). Sensowne tylko w postaci ogólnej – leksykograficznej minimalizacji kolejnych par wartości funkcji straty. Ostatnie spośród zaproponowanych przeze mnie kryteriów, to kryterium minimalizacji ważonej sumy największej i najmniejszej straty – WES, które rozumieć można jako zastosowanie kryterium Hurwicza do macierzy strat. Kryterium to ma sens tylko w swojej uogólnionej postaci jako leksykograficzna minimalizacja kolejnych par wartości funkcji straty. *

Negocjowane ceny na rynku hurtowym Strategie gracza A Strategie gracza B Ceny na rynku detalicznym gracza A Negocjowane ceny na rynku hurtowym Ceny na rynku detalicznym gracza B Dotychczas zakładałem, że negocjowane ceny na rynku hurtowym należą do strategii gracza B (strategii natury). Możliwość arbitrażu w przypadku niepowodzenia w negocjacjach rozpatrywać można jako * istnienie pewnej strategii h*, którą gracz A zawsze może wybrać. Stąd zrodził się pomysł, aby określić wartość, jaką strategia h* przedstawia dla gracza A, a następnie porównać ją z wartością innych strategii na rynku hurtowym i wyeliminować z rozważań te, które są dla gracza A gorsze. W ten sposób h*

Negocjowane ceny na rynku hurtowym Strategie gracza A Strategie gracza B Negocjowane ceny na rynku hurtowym Ceny na rynku detalicznym gracza A Ceny na rynku detalicznym gracza B Zredukowana zostałaby liczba strategii gracza B (strategii natury). * h*

Niemożliwe! h* lepsze od hl b1 b2 b3 b4 a1 2 1 a2 a3 4 a4 3 Wartość strategii hl wyznaczyć można tylko przy założeniu ustalonej strategii ai i to w sensie probabilistycznym, przyjmując określoną formę agregacji strategii cen na rynku detalicznym gracza B. b1 b2 b3 b4 a1 2 1 a2 a3 4 a4 3 Niemożliwe! Innymi słowy, jeśli strategia h* byłaby dla gracza A lepsza niż jakaś strategia hl, to * Strategie natury, które zawierają strategie hl można by wyeliminować Upraszczając w ten sposób problem decyzyjny gracza A. Okazuje się jednak, że Jest to niemożliwe, bowiem wartość strategii hl wyznaczyć można tylko przy założeniu ustalonej strategii ai i to w sensie probabilistycznym, przyjmując odpowiednią formę agregacji strategii cen na rynku detalicznym gracza B.

Koniec www.sylwesterlaskowski.com Podsumowując *