Modelowanie komputerowe procesu oddziaływania z materią ciężkich cząstek naładowanych Krzysztof Fornalski 2006 r.

Wstęp Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią realizuje się poprzez wiele procesów związanych z oddziaływaniem padających cząstek ze składnikami (elektronami lub jądrami atomowymi) materii w danym absorbencie.

Straty energii na jonizacje atomów ośrodka Cząstki promieniowania przechodząc przez materię oddziaływują poprzez swoje pole elektryczne z elektronami atomów wybijając je i powodując jonizację. Oczywiście w wyniku tego procesu padające cząstki tracą swoją energię. I ten właśnie proces nieelastycznych zderzeń z elektronami atomów stanowi dla ciężkich cząstek naładowanych podstawowy typ ich oddziaływania z materią (absorbentem).

Wzór Bethe-Blocha Związek między stratą energii dE cząstki, a jej przebiegiem dx w danym absorbencie określa tzw. wzór Bethe-Blocha wyrażający stosunek dE/dx tj. straty energii cząstki na jednostkę długości jej przebiegu w danym materiale:

We wzorze tym z jest liczbą atomową padającej cząstki, Z liczbą atomową absorbentu (liczbą protonów w jądrze atomu ośrodka), A liczbą masową absorbentu (sumaryczną liczbą protonów i neutronów w jądrze), c prędkością światła w próżni, K- stałą stanowiącą kombinację kilku stałych fizycznych i równą 307 keVcm2/g, ß = v/c =pc/E - aktualną prędkością cząstki wyrażoną w jednostkach prędkości światła ( p=pęd; E=energia całkowita)

Pozostałe wielkości: Gdzie M oznacza masę cząstki, me masę elektronu, a I jest średnim potencjałem jonizacji i wzbudzenia atomów absorbentu.

Jak widać z postaci wzoru, strata energii na jednostkę drogi w absorbencie jest wprost proporcjonalna do kwadratu ładunku cząstki padającej ( z2), do stosunku liczby protonów do wszystkich nukleonów w jądrze atomu (Z/A), a co najważniejsze jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu prędkości cząstki . Oznacza to, że w miarę przechodzenia cząstki przez absorbent straty energii będą bardzo szybko rosnąć. Cząstka będzie na kolejnych odcinkach swego toru deponować coraz to większe ilości energii w postaci zjonizowanych atomów, aż do zatrzymania się po przebyciu określonej drogi.

Wzór ten traci słuszność dla bardzo małych energii cząstek, gdyż nie uwzględnia występujących wtedy procesów chwytania przez cząstkę elektronów i ponownego ich oddawania (brak członu jonizacyjnego „delta”). Podany wzór Bethe-Blocha uwzględnia też zjawiska relatywistyczne. Czynnik logarytmiczny, gdzie kwadrat prędkości jest w liczniku i gdzie występuje też tzw. czynnik Lorentza - gamma, rośnie wraz ze wzrostem prędkości. Prowadzi to do słabego zwiększania się strat jonizacyjnych dla największych energii cząstek, kiedy już prędkości bliskie są prędkości światła

Obserwujemy bardzo duże straty jonizacyjne dla małych energii, istnienie obszaru energii gdzie straty te maja wartości minimalne (efekty relatywistyczne) i słaby wzrost dla energii największych. Dla cząstek o różnych masach i ładunkach krzywe mają różny przebieg

Krzywa Bragga Na początkowym odcinku toru straty są stosunkowo niewielkie, następnie rosną w pobliżu końca toru cząstki w materii. Natychmiast nasuwa się możliwość zastosowania tej zależności dla celów radioterapii.

Rozproszenia wielokrotne Oprócz strat energii naładowanej cząstki przechodzącej przez materię obserwujemy także zjawisko wielokrotnych rozproszeń tejże cząstki, zilustrowane na rysunku:

Rozproszenia wielokrotne - c.d. Oddziaływanie cząstki z materią prowadzi nie tylko do zmiany wartości prędkości cząstki, ale także do zmiany jej kierunku Im większe straty energetyczne następują, tym większe jest prawdopodobieństwo większego odchylenia toru cząstki

Gdzie q oznacza odchylenie standardowe rozkładu normalnego, któremu z dobrym przybliżeniem podlega rozkład wielkości charakteryzujących rozproszenia wielokrotne; L jest grubością materiału, a LR tzw. jednostką (długością) radiacyjną

Algorytm W omawianym programie do modelowania zjawiska przejścia cząstek naładowanych przez zadany absorbent posłużyliśmy się podanymi wyżej wzorami. Użytkownik może określić wartości następujących wielkości: początkową energię kinetyczną padającej cząstki, typ absorbentu, grubość absorbentu, wielkość kroku dx.

Algorytm - c.d. Wielkość kroku ważna jest ze względu na dokładność obliczeń; im mniejsze dx tym większa dokładność obliczeń (oczywiście ciągnie to za sobą konsekwencje w postaci wolniej działającego programu) oraz typ cząstki. Efektem jest narysowanie 3 wykresów...

Wykres 1 Przedstawia zależność E(x), gdzie E jest wyrażone w MeV, a x w g/cm2. Rysowana krzywa obrazuje straty energii kinetycznej padającej cząstki w zależności od drogi przebytej w absorbencie. Pokazany poniżej przykładowy wykres (jak i następne) pochodzą z mojego programu przy ustawionych danych domyślnych:

Wykres 2 Przedstawia zależność dE/dx (x). Jednostki zadane analogicznie jak poprzednio. Krzywa ta, jak już podano, nosi nazwę krzywej Bragga. Na jej podstawie określa się energie padających cząstek w radioterapii względem głębokości umiejscowienia nowotworu w ludzkim ciele tak, aby widoczny "pik" przypadał właśnie w miejscu chorym, a tkanki zdrowe były poddawane jak najmniejszym niepotrzebnym jonizacjom.

Wykres 3 Przedstawia zależność dE/dx (E). Jednostki zadane analogicznie jak poprzednio. Oś wartości jest podana w skali logarytmicznej i ze znakiem minus dla lepszego zobrazowania zachodzącego procesu

Algorytm - c.d. Początkowo przebiega tzw. symulacja wstępna (niewizualizowana), która ma na celu pomiar zasięgu cząstki oraz maksymalnej wartości funkcji dE/dx (x). Używamy w tym celu wzoru Bethe-Blocha wpisanego w pętlę typu FOR przebiegającą od x=0 przez kolejne dx, aż do osiągnięcia w sumie grubości całego absorbentu D. W pętli tej obliczamy aktualną energię przez odejmowanie kolejnych wartości dE w każdym kroku od początkowej energii kinetycznej. Po tych obliczeniach odpowiednie zmienne przechowują już znane nam: maksymalną wartość dE/dx oraz maksymalny zasięg cząstki w absorbencie (w przypadku całkowitego jej pochłonięcia i zatrzymania).

Algorytm - c.d. Dopiero na podstawie tychże danych przechodzimy do właściwej pętli symulującej i rysującej tor cząstki i 3 wykresy. Przebiega ona dokładnie tak samo jak pętla wstępna z tą różnicą, że w przypadku zatrzymania się cząstki w absorbencie, zmienna x dąży do maksymalnego zasięgu, a nie przebiega przez całą grubość D. W czasie rzeczywistym symulowania ruchu cząstki rysowane są jednocześnie wszystkie 3 wspomniane wykresy

Pełny opis i kod źródłowy programu: www.if.pw.edu.pl/~fornal/bethe_bloch