Modelowanie konstrukcji z uwzględnieniem niepewności parametrów Andrzej Pownuk Zakład Mechaniki Teoretycznej Politechnika Śląska

Przykład

L=1 [m], P1=1012 [N], P2=500 [N], P1=P1·0.025=25.3 [N], P1+= P1+ P1 = 1037.3 [N] P1- = P1 - P1 = 986.7 [N] MA (P1, P2)=-12 [N · m] MA (P1+, P2)=-37.3 MA (P1 -, P2)= 13.3

Względny błąd obliczeń

Celem niniejszej pracy jest przedstawienie nowych metod projektowania konstrukcji z niepewnymi parametrami. W szczególności: - konstrukcji z przedziałowymi parametrami, - konstrukcji z losowymi parametrami, - konstrukcji z rozmytymi parametrami, - konstrukcji o parametrach modelowanych przy wykorzystaniu teorii zbiorów losowych.

Szacowanie bezpieczeństwa w metodzie stanów granicznych O bezpieczeństwie decyduje najsłabszy element konstrukcji. (tzn. ekstremalne wartości nośności (N) i obciążenia (P) ) Warunek stanu granicznego (nośności lub użytkowalności) można zapisać w następującej postaci:

Warunek stanu granicznego można również zapisać następująco. lub bardziej ogólnie Niepewności parametrów uwzględniane są przy wykorzystaniu współczynników bezpieczeństwa . Wartość charakterystyczna Wartość obliczeniowa Wartość ekstremalna

Obecnie wykorzystywane algorytmy półprobabilistyczne są szczególnym przypadkiem metod wykorzystujących parametry przedziałowe.

X W przypadku gdy dysponujemy dużą liczbą pomiarów, do modelowania niepewności najlepiej wykorzystać metody probabilistyczne. Pomiary (realizacje zmiennej losowej) X Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa

Czasem nie można wykonać dokładnych pomiarów. (konstrukcje zabytkowe, biomechanika, mechanika gruntów, konstrukcje murowe) W takim przypadku możemy otrzymać jedynie oszacowanie przedziałowe dokładnych wartości parametrów układów mechanicznych. Rodzinę pomiarów przedziałowych można interpretować jako zbiór losowy.

Zbiór losowy może być interpretowany jako realizacje zmiennej losowej o wartościach zbiorowych (przedziałowych).

Interpretacja funkcji przynależności zbioru rozmytego oparta na teorii zbiorów losowych 1 0.5 P

Rodzina pomiarów przedziałowych (zbiorowych) Zbiory losowe Rodzina pomiarów przedziałowych (zbiorowych) lub punktowych. Parametry rozmyte Parametry przedziałowe Jeden przedziałowy pomiar. Parametry losowe Monotoniczna rodzina pomiarów przedziałowych. Rodzina pomiarów punktowych.

Górne i dolne prawdopodobieństwo

Funkcja graniczna P x u(x) lub

Górne i dolne prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji W praktycznych obliczeniach można wykorzystać metodę Monte-Carlo.

Funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej o wartościach przedziałowych.

W praktycznych obliczeniach kluczową rolę odgrywa problem rozwiązania układu równań z przedziałowymi parametrami. Jeśli , to

Algorytm rozwiązywania równań z przedziałowymi parametrami

Własności algorytmu: 1) W wielu zagadnieniach inżynierskich zależność rozwiązania od niepewnych parametrów jest monotoniczna, dlatego algorytm może zostać zastosowany do rozwiązywania szerokiej klasy problemów. 2) Algorytm charakteryzuje się niską złożonością obliczeniową i może zostać zastosowany do bardzo złożonych zagadnień mechaniki konstrukcji. 3) W algorytmie można wykorzystać istniejące metody analizy wrażliwości. 4) Algorytm może zostać wykorzystany do rozwiązywania zagadnień nieliniowych oraz zagadnień dynamiki.

E_P 1 1 2 IEX_P 1 210E9 21E9 1 IA_P 1 0.0001 0.00001 2 E_P 2 1 3 IEX_P 2 210E9 21E9 3 IA_P 2 0.0001 0.00001 2 E_P 3 1 4 IEX_P 3 210E9 21E9 4 IA_P 3 0.0001 0.00001 2 E_P 4 2 3 IEX_P 4 210E9 21E9 5 IA_P 4 0.0001 0.00001 2 E_P 5 2 4 IEX_P 5 210E9 21E9 6 IA_P 5 0.0001 0.00001 2 E_P 6 3 4 IEX_P 6 210E9 21E9 6 IA_P 6 0.0001 0.00001 2 E_P 7 3 5 IEX_P 7 210E9 21E9 4 IA_P 7 0.0001 0.00001 2 E_P 8 3 6 IEX_P 8 210E9 21E9 5 IA_P 8 0.0001 0.00001 2 E_P 9 4 5 IEX_P 9 210E9 21E9 6 IA_P 9 0.0001 0.00001 2 E_P 10 4 6 IEX_P 10 210E9 21E9 4 IA_P 10 0.0001 0.00001 2 E_P 11 5 6 IEX_P 11 210E9 21E9 5 IA_P 11 0.0001 0.00001 2 E_P 12 5 7 IEX_P 12 210E9 21E9 6 IA_P 12 0.0001 0.00001 2 E_P 13 5 8 IEX_P 13 210E9 21E9 4 IA_P 13 0.0001 0.00001 2 E_P 14 6 7 IEX_P 14 210E9 21E9 5 IA_P 14 0.0001 0.00001 2 E_P 15 6 8 IEX_P 15 210E9 21E9 6 IA_P 15 0.0001 0.00001 2 E_P 16 7 8 IEX_P 16 210E9 21E9 6 IA_P 16 0.0001 0.00001 2 F 6 FX 1 F 8 FX 1

1 [ 0.917113, 0.879202 ] kN 2 [ 3.97532, 3.811 ] kN 3 [ 1.64509, 1.45978 ] kN 4 [ -1.27231, -1.27231 ] kN 5 [ -4.10034, -4.10034 ] kN 6 [ -0.131339, -0.131339 ] kN 7 [ 1.9783, 1.95991 ] kN 8 [ 1.54484, 1.36717 ] kN 9 [ -1.37038, -1.37038 ] kN 10 [ -2.03099, -2.03099 ] kN 11 [ 0.343308, 0.393742 ] kN 12 [ 0.396898, 0.40188 ] kN 13 [ 0.898209, 0.79588 ] kN 14 [ -0.565199, -0.565199 ] kN 15 [ -0.600344, -0.600344 ] kN 16 [ 0.396898, 0.40188 ] kN Siły osiowe

Wnioski 1) Zaprezentowane w pracy algorytmy umożliwiają projektowanie układów o parametrach, które są opisane przy pomocy: - współczynników bezpieczeństwa; - zmiennych losowych; - zbiorów rozmytych; - zbiorów losowych. 2) Zaprezentowane w pracy idee mogą zostać wykorzystane do uogólnienia istniejących norm projektowania konstrukcji tak, aby umożliwiały projektowanie układów o parametrach losowych i rozmytych. 3) Wykorzystane w pracy algorytmy mogą zostać wykorzystane do modelowania układów o dużej liczbie stopni swobody.